第八章　§8.9　圆锥曲线压轴小题突破练[培优课]

§8.9圆锥曲线压轴小题突破练[培优课]第八章直线和圆、圆锥曲线成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 例1(1)已知F是椭圆＝1(a>b>0)的右焦点，若直线x＝与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆的离心率的取值范围是√题型一离心率范围问题 由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等，∴ac－c2≤b2≤ac＋c2， (2)(2022·哈尔滨模拟)已知双曲线的方程是＝1(a>0，b>0)，点F1，F2为双曲线的两个焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线相交于点P(点P在第一象限)，若∠PF1F2≤，则双曲线离心率的取值范围是√ 所以0<|PF2|≤c，又|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，即(|PF2|＋2a)2＋|PF2|2＝4c2，所以4c2≤(c＋2a)2＋c2，整理得2a2＋2ac－c2≥0， 求解圆锥曲线离心率范围问题的策略(1)利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于a，b，c的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围.(2)利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组).(3)利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之间的关系.思维升华 √ 设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，不妨设|PF1|>|PF2|，由椭圆和双曲线的定义可得设|F1F2|＝2c，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2， √ 连接OP，当P不为椭圆的上、下顶点时，设直线PA，PB分别与圆O切于点A，B，∠OPA＝α，∵存在M，N使得∠MPN＝120°，∴∠APB≥120°，即α≥60°，又α<90°，∴sinα≥sin60°， 又P是C上任意一点，又0<e<1， 命题点1椭圆、双曲线中二级结论的应用例2(1)(2022·咸宁模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)，其左、右焦点分别为F1，F2，其离心率e＝已知△F1PF2的内切圆半径为r＝，则该椭圆的长轴长为A.2B.4C.6D.12√题型二圆锥曲线中二级结论的应用 在△F1PF2中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式，由a2＝b2＋c2，③ 所以该椭圆的长轴长为2a＝2×6＝12. (2)(2022·石家庄模拟)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)，过原点O的直线交C于A，B两点(点B在右支上)，双曲线右支上一点P(异于点B)满足＝0，直线PA交x轴于点D，若∠ADO＝∠AOD，则双曲线C的离心率为√ ∴BA⊥BP，令kAB＝k，∵∠ADO＝∠AOD，∴kAP＝－kAB＝－k， 焦点三角形的面积公式：P为椭圆(或双曲线)上异于长轴端点的一点，且∠F1PF2＝θ，周角定理：已知A，B为椭圆(或双曲线)上关于原点对称的两点，点P为椭圆(或双曲线)上异于A，B的任一点， 跟踪训练2(1)如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是√ 又四边形AF1BF2为矩形， (2)设椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A，B，直线AF2与该椭圆交于A，M两点，若∠F1AF2＝90°，则直线BM的斜率为√ ∵∠F1AF2＝90°，∴△F1AF2为等腰直角三角形，∴b＝c，∴a2＝2b2＝2c2，∴kMA＝－1， 例3(1)(2022·“四省八校”联考)已知抛物线y2＝4x过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，则2|AF|＋|BF|的最小值为√命题点2抛物线中二级结论的应用 因为p＝2， (2)(2023·长沙模拟)已知抛物线C：y2＝16x，倾斜角为的直线l过焦点F交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则△ABO的面积为_____.64 方法一(常规解法)依题意，抛物线C：y2＝16x的焦点为F(4,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 方法二(活用结论)依题意，抛物线y2＝16x，p＝8. 与抛物线的焦点弦有关的二级结论：若倾斜角为的直线l经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>y2)两点，则 ⑥以AB为直径的圆与准线相切，以FA为直径的圆与y轴相切. 跟踪训练3已知A，B是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的直线与抛物线的√ ∴F为AB的三等分点，令|BF|＝t，则|AF|＝2t， 例4(多选)油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸伞在地面上形成了一个椭圆形的影子(春分时，该市的阳光照射方向与地面的夹角为60°)，若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则√题型三圆锥曲线与其他知识的综合√ 如图，A，B分别是椭圆的左、右顶点，F1是椭圆的左焦点，BC是圆的直径，D为圆的圆心.因为∠A＝60°，∠B＝45°，|BC|＝2，|AB|＝2a， 高考对圆锥曲线的考查，经常出现一些与其他知识交汇的题目，如与平面向量交汇、与三角函数交汇、与不等式交汇、与导数交汇等等，这些问题的实质是圆锥曲线问题，体现出数学的应用性. 跟踪训练4(多选)(2022·福州质检)如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代金银细作的典范.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：＝1(a>0，b>0)的右支与直线x＝0，y＝4，y＝－2围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为下底外直径为双曲线C与坐标轴交于D，E两点，则 C.存在一点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点D.存在无数个点，使它与D，E两点的连线的斜率之积为3√√√ 对于C，由双曲线的性质可知，渐近线与双曲线没有交点，与渐近线平行的直线与双曲线有一个交点，故不存在点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点，故C错误；对于D，设双曲线上一点P(x0，y0)，y0≠0， 即存在无数个点，使它与D，E两点的连线的斜率之积为3，故D正确. 课时精练 1.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是12345678√ ∴点M的轨迹是以F1F2为直径的圆，其半径r＝c，依题意，该圆总在椭圆内部，∴c<b，即c2<b2＝a2－c2，12345678 √12345678 12345678如图，由对称性知MN与F1F2互相平分，∴四边形MF2NF1为平行四边形，∵F2为MM′的中点，且|MN|＝|M′N|，∴NF2⊥MF2，∴MF2NF1为矩形，∴＝4a2， 12345678即b2＝4a2，∴c2－a2＝4a2， 3.已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为F(－2,0)，过F的直线l与双曲线C交于A，B两点，且AB的中点为N(－3，－1)，则C的离心率为√12345678 12345678由F，N两点的坐标得直线l的斜率k＝1.∵双曲线一个焦点为(－2,0)，∴c＝2.则a2＋b2＝4. 12345678即a2＝3b2，易得a2＝3，b2＝1，c2＝4， 123456784.已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F作两条相互垂直的直线l1，l2，直线l1与C相交于A，B两点，直线l2与C相交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为A.16B.14C.12D.10√ 由抛物线的焦点弦弦长公式知12345678 等号成立，即|AB|＋|DE|的最小值为16.12345678 5.(多选)已知双曲线C：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C的右支上，若∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则下列命题正确的是A.若θ＝60°，则S＝B.若S＝4，则|PF2|＝C.若△PF1F2为锐角三角形，则S∈D.若△PF1F2的重心为G，随着点P的运动，点G的轨迹方程为12345678√√√ 12345678 12345678 12345678√√ 所以a＝2c，所以A错误；设P(x0，y0)，12345678 所以c>b，所以c2>a2－c2，所以B正确；若C上存在四个点P使得PF1⊥PF2，即C上存在四个点P使得△PF1F2的面积为b2，12345678 所以D正确.所以C错误；若|PF1|≤2b恒成立，所以a＋c≤2b，所以a2＋c2＋2ac≤4b2＝4(a2－c2)，所以5e2＋2e－3≤0，12345678 123456787.直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F(1,0)且与抛物线交于A，B两点， 所以抛物线的方程为y2＝4x，若直线l与x轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不符合题意；设直线l的方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2).12345678 12345678 12345678 12345678 8.(2023·苏州模拟)如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分，杯口宽，杯深8cm，称为抛物线酒杯.(1)在杯口放一个表面积为36πcm2的玻璃球，则球面上的点到杯底的最小距离为_____cm；(2)在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径的取值范围为________(单位：cm).612345678 因为杯口放一个表面积为36πcm2的玻璃球，所以|DE|＝2，又因为杯深8cm，即|OD|＝8，故最小距离为|OD|－|DE|＝6，12345678 图1设抛物线的方程为y＝mx2，故抛物线方程为y＝x2，图2当杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，如图2，设玻璃球轴截面所在圆的方程为x2＋(y－r)2＝r2，依题意，需满足抛物线上的点到圆心的距离大于等于半径恒成立，12345678 12345678图2则有x2(x2＋1－2r)≥0恒成立， 更多精彩内容请登录www.xinjiaoyu.com第八章直线和圆、圆锥曲线