2024届高考数学一轮复习（新教材人教A版强基版）第八章直线和圆、圆锥曲线8.9圆锥曲线压轴小题突破练课件

§8.9圆锥曲线压轴小题突破练[培优课]第八章直线和圆、圆锥曲线 例1(1)已知F是椭圆＝1(a>b>0)的右焦点，若直线x＝与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆的离心率的取值范围是√题型一离心率范围问题 由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等，∴ac－c2≤b2≤ac＋c2， (2)(2022·哈尔滨模拟)已知双曲线的方程是＝1(a>0，b>0)，点F1，F2为双曲线的两个焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线相交于点P(点P在第一象限)，若∠PF1F2≤，则双曲线离心率的取值范围是√ 所以0<|PF2|≤c，又|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，即(|PF2|＋2a)2＋|PF2|2＝4c2，所以4c2≤(c＋2a)2＋c2，整理得2a2＋2ac－c2≥0， 求解圆锥曲线离心率范围问题的策略(1)利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于a，b，c的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围.(2)利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组).(3)利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之间的关系.思维升华 √ 设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，不妨设|PF1|>|PF2|，由椭圆和双曲线的定义可得设|F1F2|＝2c，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2， (2)(2023·泉州模拟)已知椭圆C1：若在椭圆C1上存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是√ 由题意，如图，若在椭圆C1上存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，即8b2≤5a2，由a2＝b2＋c2，解得3a2≤8c2. 又0<e<1， 命题点1椭圆、双曲线中二级结论的应用例2(1)(2022·咸宁模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)，其左、右焦点分别为F1，F2，其离心率e＝已知△F1PF2的内切圆半径为r＝，则该椭圆的长轴长为A.2B.4C.6D.12√题型二圆锥曲线中二级结论的应用 在△F1PF2中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式，由a2＝b2＋c2，③ 所以该椭圆的长轴长为2a＝2×6＝12. (2)(2022·石家庄模拟)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)，过原点O的直线交C于A，B两点(点B在右支上)，双曲线右支上一点P(异于点B)满足＝0，直线PA交x轴于点D，若∠ADO＝∠AOD，则双曲线C的离心率为√ ∴BA⊥BP，令kAB＝k，∵∠ADO＝∠AOD，∴kAP＝－kAB＝－k， 焦点三角形的面积公式：P为椭圆(或双曲线)上异于长轴端点的一点，且∠F1PF2＝θ，周角定理：已知A，B为椭圆(或双曲线)上关于原点对称的两点，点P为椭圆(或双曲线)上异于A，B的任一点， 跟踪训练2(1)如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是√ 又四边形AF1BF2为矩形， (2)设椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A，B，直线AF2与该椭圆交于A，M两点，若∠F1AF2＝90°，则直线BM的斜率为√ ∵∠F1AF2＝90°，∴△F1AF2为等腰直角三角形，∴b＝c，∴a2＝2b2＝2c2，∴kMA＝－1， 例3(1)(2022·“四省八校”联考)已知抛物线y2＝4x过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，则2|AF|＋|BF|的最小值为√命题点2抛物线中二级结论的应用 因为p＝2， (2)(2023·长沙模拟)已知抛物线C：y2＝16x，倾斜角为的直线l过焦点F交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则△ABO的面积为_____.64 方法一(常规解法)依题意，抛物线C：y2＝16x的焦点为F(4,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 方法二(活用结论)依题意，抛物线y2＝16x，p＝8. 与抛物线的焦点弦有关的二级结论：若倾斜角为的直线l经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>y2)两点，则 ⑥以AB为直径的圆与准线相切，以FA为直径的圆与y轴相切. 跟踪训练3已知A，B是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的直线与抛物线的√ ∴F为AB的三等分点，令|BF|＝t，则|AF|＝2t， 例4(多选)油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸伞在地面上形成了一个椭圆形的影子(春分时，该市的阳光照射方向与地面的夹角为60°)，若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则√题型三圆锥曲线与其他知识的综合√ 如图，A，B分别是椭圆的左、右顶点，F1是椭圆的左焦点，BC是圆的直径，D为圆的圆心.因为∠A＝60°，∠B＝45°，|BC|＝2，|AB|＝2a， 高考对圆锥曲线的考查，经常出现一些与其他知识交汇的题目，如与平面向量交汇、与三角函数交汇、与不等式交汇、与导数交汇等等，这些问题的实质是圆锥曲线问题，体现出数学的应用性. 跟踪训练4(多选)(2022·福州质检)如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代金银细作的典范.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：＝1(a>0，b>0)的右支与直线x＝0，y＝4，y＝－2围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为下底外直径为双曲线C与坐标轴交于D，E两点，则 C.存在一点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点D.存在无数个点，使它与D，E两点的连线的斜率之积为3√√√ 对于C，由双曲线的性质可知，渐近线与双曲线没有交点，与渐近线平行的直线与双曲线有一个交点，故不存在点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点，故C错误；对于D，设双曲线上一点P(x0，y0)，y0≠0， 即存在无数个点，使它与D，E两点的连线的斜率之积为3，故D正确. 课时精练 1.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是12345678√ ∴点M的轨迹是以F1F2为直径的圆，其半径r＝c，依题意，该圆总在椭圆内部，∴c<b，即c2<b2＝a2－c2，12345678 √12345678 12345678如图，由对称性知MN与F1F2互相平分，∴四边形MF2NF1为平行四边形，∵F2为MM′的中点，且|MN|＝|M′N|，∴NF2⊥MF2，∴MF2NF1为矩形，∴＝4a2， 12345678即b2＝4a2，∴c2－a2＝4a2， 3.已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为F(－2,0)，过F的直线l与双曲线C交于A，B两点，且AB的中点为N(－3，－1)，则C的离心率为√12345678 12345678由F，N两点的坐标得直线l的斜率k＝1.∵双曲线一个焦点为(－2,0)，∴c＝2.则a2＋b2＝4. 12345678即a2＝3b2，易得a2＝3，b2＝1，c2＝4， 123456784.已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F作两条相互垂直的直线l1，l2，直线l1与C相交于A，B两点，直线l2与C相交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为A.16B.14C.12D.10√ 由抛物线的焦点弦弦长公式知12345678 等号成立，即|AB|＋|DE|的最小值为16.12345678 5.(多选)已知双曲线C：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C的右支上，若∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则下列命题正确的是A.若θ＝60°，则S＝B.若S＝4，则|PF2|＝C.若△PF1F2为锐角三角形，则S∈D.若△PF1F2的重心为G，随着点P的运动，点G的轨迹方程为12345678√√√ 12345678 12345678 12345678√√ 所以a＝2c，所以A错误；设P(x0，y0)，12345678 所以c>b，所以c2>a2－c2，所以B正确；若C上存在四个点P使得PF1⊥PF2，即C上存在四个点P使得△PF1F2的面积为b2，12345678 所以D正确.所以C错误；若|PF1|≤2b恒成立，所以a＋c≤2b，所以a2＋c2＋2ac≤4b2＝4(a2－c2)，所以5e2＋2e－3≤0，12345678 123456787.从椭圆的一个焦点F1发出的光线射到椭圆上的点P，反射后光线经过椭圆的另一个焦点F2，事实上，点P(x0，y0)处的切线＝1垂直于∠F1PF2的角平分线，已知椭圆C：＝1的两个焦点是F1，F2，点P是椭圆上除长轴端点外的任意一点，∠F1PF2的角平分线PT交椭圆C的长轴于点T(t,0)，则t的取值范围是_________. 12345678又由切线垂直∠F1PF2的角平分线， 123456788.直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F(1,0)且与抛物线交于A，B两点， 所以抛物线的方程为y2＝4x，若直线l与x轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不符合题意；设直线l的方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2).12345678 12345678 12345678 12345678