2024届高考数学一轮复习（新教材人教A版强基版）第八章直线和圆、圆锥曲线8.7抛物线课件

§8.7抛物线第八章直线和圆、圆锥曲线 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.了解抛物线的简单应用.考试要求 内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练 落实主干知识第一部分 1.抛物线的概念把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离______的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的______，直线l叫做抛物线的_____.相等焦点准线 标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R2.抛物线的标准方程和简单几何性质 焦点______________________________准线方程_________________________________对称轴__________顶点______离心率e＝___x轴y轴(0,0)1 1.通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p. 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线.()(2)方程y＝4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是(1,0).()(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.()(4)以(0,1)为焦点的抛物线的标准方程为x2＝4y.()××√× √ 2.过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于A.9B.8C.7D.6√抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8. 3.抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(3，y)到焦点F的距离|MF|＝4，则抛物线的方程为A.y2＝8xB.y2＝4xC.y2＝2xD.y2＝x√ 探究核心题型第二部分 例1(1)(2022·全国乙卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|等于题型一抛物线的定义及应用√ 方法一由题意可知F(1,0)，抛物线的准线方程为x＝－1.因为|BF|＝3－1＝2，解得y0＝±2，所以A(1,2)或A(1，－2).不妨取A(1,2)， 方法二由题意可知F(1,0)，故|BF|＝2，所以|AF|＝2.因为抛物线的通径长为2p＝4，所以AF的长为通径长的一半，所以AF⊥x轴， (2)已知点M(20,40)不在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，抛物线C的焦点为F.若对于抛物线上的一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________.42或22 当点M(20,40)位于抛物线内时，如图①，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为D，则|PF|＝|PD|，|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.当点M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小.① 当点M(20,40)位于抛物线外时，如图②，当点P，M，F三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小.解得p＝22或p＝58.当p＝58时，y2＝116x，点M(20,40)在抛物线内，故舍去.综上，p＝42或p＝22.② “看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解.“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径.思维升华 √ (2)已知点P为抛物线y2＝－4x上的动点，设点P到l：x＝1的距离为d1，到直线x＋y－4＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是√ 直线l：x＝1为抛物线y2＝－4x的准线，点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，过焦点F作直线x＋y－4＝0的垂线，如图所示，此时d1＋d2最小为点F到直线x＋y－4＝0的距离. 题型二抛物线的标准方程例2分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)准线方程为2y＋4＝0；准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x2＝2py(p＞0). (2)过点(3，－4)；∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0).把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)， (3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上.令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0).∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x. 求抛物线的标准方程的方法(1)定义法.(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论.思维升华 √跟踪训练2(1)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为 如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，设|BF|＝a，则|BC|＝2a，由抛物线的定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，∴在Rt△ACE中，2|AE|＝|AC|，∵|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，∴3＋3a＝6，解得a＝1，因此抛物线的方程为y2＝3x. √ 则抛物线方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1. 题型三抛物线的几何性质√ 解得p＝2(p＝－6舍去). √√√ 因为AE∥x轴，所以∠EAF＝60°，由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|，则△AEF为等边三角形，所以∠EFP＝∠AEF＝60°，则∠PEF＝30°，所以|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，得p＝4，故A正确； 因为|AE|＝|EF|＝2|PF|，且PF∥AE，因为∠DAE＝60°，所以∠ADE＝30°，所以|BD|＝2|BM|＝2|BF|，故C正确；因为|BD|＝2|BF|， 思维升华应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性. 跟踪训练3(1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为_________. 所以tan∠OPF＝tan∠PQF， |PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|， 16 易知焦点F的坐标为(4,0)，准线l的方程为x＝－4，如图，抛物线准线与x轴的交点为A，作MB⊥l于点B，NC⊥l于点C， 又|CN|＝4，|OF|＝4，所以|FN|＝16. 课时精练第三部分 1234567891011121314√基础保分练 2.(2023·榆林模拟)已知抛物线x2＝2py(p>0)上的一点M(x0,1)到其焦点的距离为2，则该抛物线的焦点到其准线的距离为A.6B.4C.3D.2√1234567891011121314 3.(2023·福州质检)在平面直角坐标系Oxy中，动点P(x，y)到直线x＝1的距离比它到定点(－2,0)的距离小1，则P的轨迹方程为A.y2＝2xB.y2＝4xC.y2＝－4xD.y2＝－8x√1234567891011121314由题意知动点P(x，y)到直线x＝2的距离与到定点(－2,0)的距离相等，由抛物线的定义知，P的轨迹是以(－2,0)为焦点，x＝2为准线的抛物线，所以p＝4，轨迹方程为y2＝－8x. 4.(2022·北京模拟)设M是抛物线y2＝4x上的一点，F是抛物线的焦点，O是坐标原点，若∠OFM＝120°，则|FM|等于1234567891011121314√ 1234567891011121314过点M作抛物线的准线l的垂线，垂足为点N，连接FN，如图所示，因为∠OFM＝120°，MN∥x轴，则∠FMN＝60°，由抛物线的定义可得|MN|＝|FM|，所以△FNM为等边三角形，则∠FNM＝60°，抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，设直线x＝－1交x轴于点E，则∠ENF＝30°，易知|EF|＝2，∠FEN＝90°，则|FM|＝|FN|＝2|EF|＝4. 5.(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为4，直线l过点F且与抛物线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若M(m,2)是线段AB的中点，则下列结论正确的是A.p＝4B.抛物线方程为y2＝16xC.直线l的方程为y＝2x－4D.|AB|＝101234567891011121314√√√ 1234567891011121314由焦点F到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知p＝4，故A正确；则抛物线的方程为y2＝8x，焦点F(2,0)，故B错误；若M(m,2)是线段AB的中点，则y1＋y2＝4，∴直线l的方程为y＝2x－4，故C正确； 1234567891011121314又由y1＋y2＝2(x1＋x2)－8＝4，得x1＋x2＝6，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋4＝10，故D正确. 1234567891011121314√√ 1234567891011121314 1234567891011121314 12345678910111213147.如图是抛物线形拱桥，当水面为l时，拱顶离水面2米，水面宽4米.则水位下降1米后，水面宽______米. 8.(2021·北京)已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，点M为抛物线C上的点，且|FM|＝6，则M的横坐标是_____，作MN⊥x轴于N，则S△FMN＝_______.12345678910111213145 1234567891011121314因为抛物线的方程为y2＝4x，故p＝2且F(1,0)，解得xM＝5， 9.过抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2.(1)求抛物线C的方程；1234567891011121314当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2，∴抛物线C的方程为x2＝4y. (2)若抛物线C上存在点M(－2，y0)，使得MA⊥MB，求直线l的方程.1234567891011121314 1234567891011121314∵点M(－2，y0)在抛物线C上，又直线l过点F(0,1)，∴设直线l的方程为y＝kx＋1.得x2－4kx－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4， 1234567891011121314∵MA⊥MB，∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，∴－4＋8k＋4－4k2＝0，解得k＝2或k＝0.当k＝0时，l过点M，不符合题意，∴k＝2，∴直线l的方程为y＝2x＋1. 10.已知在抛物线C：x2＝2py(p>0)的第一象限的点P(x,1)到其焦点的距离为2.(1)求抛物线C的方程和点P的坐标；1234567891011121314故抛物线的方程为x2＝4y，当y＝1时，x2＝4，又因为x>0，所以x＝2，所以点P的坐标为(2,1). 1234567891011121314 1234567891011121314由题意可得直线l的斜率存在，所以Δ＝16k2＋4(4k＋2)>0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4k－2，因为∠APB的角平分线与y轴垂直，所以kPA＋kPB＝0， 1234567891011121314即x1＋x2＋4＝0，所以k＝－1，x1＋x2＝－4，x1x2＝2， 11.(多选)(2023·衡阳联考)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，O为坐标原点，过F的直线与C分别交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则A.y1y2为定值B.∠AOB可能为直角C.以BF为直径的圆与y轴有两个交点D.对于确定的直线AB，在C的准线上存在三个不同的点P，使得△ABP为直角三角形1234567891011121314综合提升练√√ 1234567891011121314设lAB：x＝ty＋1，与y2＝4x联立可得y2－4ty－4＝0，y1y2＝－4，故A正确；则以BF为直径的圆与y轴相切，故C错误； 1234567891011121314故有以AB为直径的圆与C的准线相切，对于确定的直线AB，当∠P为直角时，P为切点；当∠A或∠B为直角时，P为过A(或B)的AB的垂线与准线的交点，故D正确. 123456789101112131412.(2023·茂名模拟)以抛物线C：y2＝4x的焦点F为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点，已知|AB|＝8，则|DE|＝________. 1234567891011121314∴F(1,0)，不妨设点A在第一象限，如图所示，由|AB|＝8，y2＝4x得A(4,4)， 1234567891011121314拓展冲刺练 1234567891011121314由题知，抛物线y2＝8x的焦点坐标为(2,0)，若直线AB的方程为x＝2，则|AB|＝8，与已知矛盾，故直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝k(x－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由于k≠0， 1234567891011121314又|AB|＝9，∴x1＋x2＋4＝9，∴(2－x1，－y1)＝λ(x2－2，y2)，∴2－x1＝λ(x2－2)， 1234567891011121314 1234567891011121314如图所示，作BE⊥l，AD⊥l，设|AF|＝a，|BF|＝b，由抛物线定义得|AF|＝|AD|，|BF|＝|BE|，在梯形ABED中，2|MN|＝|AD|＋|BE|＝a＋b，因为AF⊥AB，∠ABF＝30°，