2024届高考数学一轮复习（新教材人教A版强基版）第六章数列6.5数列求和（一）课件

§6.5数列求和(一)第六章数　列 1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.掌握分组求和、并项求和、与奇偶项有关的求和等几种常见的求和方法.考试要求 内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练 落实主干知识第一部分 数列求和的几种常用方法(1)公式法直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和.①等差数列的前n项和公式：Sn＝＝.②等比数列的前n项和公式：Sn＝na1，q＝1，________________________. (2)分组求和法若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减.(3)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解. 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(3)1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1).()(4)sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.()√√√√ 1.数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(2n－1)，则该数列的前100项之和为A.－200B.－100C.200D.100√S100＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100. A.0B.100C.－100D.10200√ 由题意，得a1＋a2＋a3＋…＋a100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－(4＋3)＋…－(99＋100)＋(101＋100)＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)＝－50×101＋50×103＝100. 3.若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和Sn＝_____________.2n＋1－2＋n2 探究核心题型第二部分 例1从①(3n－1)an＋1＝(3n＋2)an，②a2＝5,2an＋1＝an＋an＋2这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.已知数列{an}满足a1＝2，________.注：若选两个条件分别作答，则按第一个解答计分.(1)求{an}的通项公式；题型一分组求和 选①，由(3n－1)an＋1＝(3n＋2)an及a1＝2，可知an≠0，当n＝1时，a1＝2适合上式，故an＝3n－1. 选②，由2an＋1＝an＋an＋2，得an＋2－an＋1＝an＋1－an，所以{an}为等差数列，由a1＝2，a2＝5，得该数列的公差d＝a2－a1＝5－2＝3，所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋3(n－1)＝3n－1. (2)设bn＝，求数列{an＋bn}的前n项和Tn. (1)若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.(2)若数列{cn}的通项公式为cn＝其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前n项和.思维升华 跟踪训练1(2023·太原模拟)已知各项都不相等的等差数列{an}中，a6＝11，且a1，a2，a5成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式；设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，由a6＝11，知a1＋5d＝11，①因为a1，a2，a5成等比数列，所以＝a1a5，即(a1＋d)2＝a1(a1＋4d)，②由①②解得d＝2，a1＝1，故{an}的通项公式为an＝1＋(n－1)×2＝2n－1. (2)设bn＝＋an，求数列{bn}的前n项和Sn. 例2记数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝2an－2n＋1.(1)求数列{an}的通项公式；题型二并项求和当n＝1时，由Sn＝2an－2n＋1，可得a1＝S1＝2a1－2＋1，即有a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2n＋1－2an－1＋2(n－1)－1，即an＝2an－1＋2，可得an＋2＝2(an－1＋2)，显然an－1＋2≠0.所以数列{an＋2}是首项为3，公比为2的等比数列，则an＋2＝3·2n－1，即有an＝3·2n－1－2. 所以T100＝－1＋2－3＋4－…－99＋100＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋(－99＋100)＝50. 并项求和法的常见题型(1)数列{an}的通项公式为an＝(－1)nf(n)，求数列{an}的前n项和.(2)数列{an}是周期数列或ak＋ak＋1(k∈N*)为定值，求数列{an}的前n项和. 跟踪训练2(2022·安庆模拟)已知等差数列{an}满足an＋an＋1＝4n.(1)求{an}的通项公式；设等差数列{an}的公差为d，所以an＝a1＋(n－1)d＝nd＋a1－d，所以an＋an＋1＝2dn＋2a1－d＝4n，则an＝2n－1. (2)若bn＝ancosnπ，记{bn}的前n项和为Sn，求S2n.因为an＝2n－1且bn＝ancosnπ，所以b2k－1＋b2k＝－(4k－3)＋(4k－1)＝2，所以S2n＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋…＋(b2n－1＋b2n)＝2n. 例3已知数列{an}是正项等比数列，满足a3是2a1,3a2的等差中项，a4＝16.(1)求数列{an}的通项公式；题型三与奇偶项有关的求和问题 设等比数列{an}的公比为q，因为a3是2a1,3a2的等差中项，所以2a3＝2a1＋3a2，即2a1q2＝2a1＋3a1q.因为a1≠0，所以2q2－3q－2＝0， 因为数列{an}是正项等比数列，所以q＝2.因为a4＝16，即a4＝a1q3＝8a1＝16，解得a1＝2，所以an＝2×2n－1＝2n. (2)若bn＝(－1)nlog2a2n＋1，求数列{bn}的前n项和Tn. 由(1)可知，a2n＋1＝22n＋1，所以bn＝(－1)n·log2a2n＋1＝(－1)n·log222n＋1＝(－1)n·(2n＋1).①若n为偶数，则Tn＝－3＋5－7＋9－…－(2n－1)＋(2n＋1)＝(－3＋5)＋(－7＋9)＋…＋[－(2n－1)＋(2n＋1)] ②若n为奇数，当n≥3时，Tn＝Tn－1＋bn＝n－1－(2n＋1)＝－n－2，当n＝1时，T1＝－3适合上式. 分奇偶的数列求和的一般思路当n为偶数时，并项求其前n项和；当n为奇数时，则n－1为偶数，故代入先求出前n－1项的和再加第n项，即前n项的和.用式子表示为Sn 跟踪训练3已知等差数列{an}中，a2＝5，a3＋a5＝18.(1)求数列{an}的通项公式；设等差数列{an}的公差为d，因此an＝a1＋(n－1)d＝3＋2(n－1)＝2n＋1. (2)若数列{bn}满足bn＝an＋ncos(nπ)，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn. 因为bn＝an＋ncosnπ＝2n＋1＋(－1)nn，所以当n为偶数时，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝[3＋5＋7＋…＋(2n＋1)]＋[－1＋2－3＋4－…－(n－1)＋n] 当n为奇数时， 课时精练第三部分 123456基础保分练1.(2023·杭州模拟)已知单调递增的等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝20，a2，a4，a8成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式； 123456设数列{an}的公差为d(d>0)，所以an＝2＋(n－1)·2＝2n. 123456(2)bn＝2an＋1－3n＋2，求数列{bn}的前n项和Tn.由(1)得，an＝2n，所以bn＝4(n＋1)－3n＋2，所以Tn＝4×2－33＋4×3－34＋…＋4(n＋1)－3n＋2＝4[2＋3＋…＋(n＋1)]－(33＋34＋…＋3n＋2) 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，S3＋S4＝S5.(1)求数列{an}的通项公式；123456设等差数列{an}的公差为d，由S3＋S4＝S5可得a1＋a2＋a3＝a5，即3a2＝a5，∴3(1＋d)＝1＋4d，解得d＝2.∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1. (2)令bn＝(－1)n－1an，求数列{bn}的前n项和Tn.123456由(1)可得bn＝(－1)n－1·(2n－1).当n为偶数时，Tn＝1－3＋5－7＋…＋(2n－3)－(2n－1)＝－n.当n为奇数时，Tn＝Tn－1＋bn＝－(n－1)＋(－1)n－1(2n－1)＝－(n－1)＋(2n－1)＝n.综上，Tn＝(－1)n＋1n. 3.(2023·开封模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且nan＋1＋Sn＋1＝1(n∈N*).(1)证明：数列{nSn}为等差数列；123456∵数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且nan＋1＋Sn＋1＝1(n∈N*)，∴n(Sn＋1－Sn)＋Sn＋1＝1，即(n＋1)Sn＋1－nSn＝1，∴数列{nSn}为等差数列. (2)选取数列{Sn}的第2n(n∈N*)项构造一个新的数列{bn}，求{bn}的前n项和Tn.123456 123456由(1)知，nSn＝2＋1×(n－1)＝n＋1， (1)证明：数列{bn＋2}为等比数列，并求出{bn}的通项公式；123456 123456由题意知，bn＋1＝a2n＋1＝2a2n＝2(a2n－1＋1)＝2bn＋2，所以{bn＋2}是首项为4，公比为2的等比数列，则bn＋2＝4·2n－1＝2n＋1，所以bn＝2n＋1－2. 123456数列{an}的前2n项和为S2n＝a1＋a2＋a3＋…＋a2n＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a1＋a3＋…＋a2n－1＋n)＝2(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋n＝2(b1＋b2＋…＋bn)＋n＝2×(22＋23＋…＋2n＋1－2n)＋n(2)求数列{an}的前2n项和. 1234565.(2022·渭南模拟)在①数列{an}是各项均为正数的递增数列，＝an·an＋2，a3＝8且a2，a3，a4－4成等差数列；②Sn＝2an－2；③Sn＝2n＋1－2这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.问题：设数列{an}的前n项和为Sn，________.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.(1)求数列{an}的通项公式；综合提升练 123456则数列{an}是等比数列，因为a2，a3，a4－4成等差数列，所以a4－4＋a2＝2a3，又a3＝8，所以an＝a3qn－3＝8×2n－3＝2n. 123456若选②，Sn＝2an－2，当n＝1时S1＝a1＝2a1－2，解得a1＝2，当n≥2时Sn－1＝2an－1－2，则an＝Sn－Sn－1＝2an－2－2an－1＋2，即an＝2an－1，所以{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＝2n.若选③，Sn＝2n＋1－2，当n＝1时a1＝S1＝22－2＝2，当n≥2时Sn－1＝2n－2，所以an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2－2n＋2＝2n，当n＝1时an＝2n也成立，所以an＝2n. 123456(2)设bn＝log2an，求数列{a2n＋1＋bn}的前n项和Tn. 123456因为an＝2n，所以bn＝log2an＝log22n＝n，所以a2n＋1＋bn＝22n＋1＋n，所以Tn＝23＋1＋25＋2＋27＋3＋…＋22n＋1＋n＝(23＋25＋27＋…＋22n＋1)＋(1＋2＋3＋…＋n) 123456拓展冲刺练6.(2023·周口模拟)设正项数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn＝＋an.(1)求数列{an}的通项公式； 123456整理可得(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0，因为an>0，所以an－an－1－1＝0，即an－an－1＝1(n≥2)，所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n. 123456 123456所以T3n＝c1＋c2＋c3＋…＋cn