2024届高考数学一轮复习（新教材人教A版强基版）第六章数列6.1数列的概念课件

§6.1数列的概念第六章数　列 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.考试要求 内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练 落实主干知识第一部分 概念含义数列按照___________排列的一列数数列的项数列中的__________通项公式如果数列{an}的第n项an与它的之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式1.数列的有关概念确定的顺序每一个数序号n 递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式数列{an}的前n项和把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝________________a1＋a2＋…＋an 2.数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数______无穷数列项数______项与项间的大小关系递增数列an＋1an其中n∈N*递减数列an＋1an常数列an＋1＝an摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列有限无限>< 3.数列与函数的关系数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是，对应的函数值是，记为an＝f(n).序号n数列的第n项an 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)数列的项与项数是同一个概念.()(2)数列1,2,3与3,2,1是两个不同的数列.()(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.()(4)若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点.()√××√ 1.(多选)已知数列{an}的通项公式为an＝9＋12n，则在下列各数中，是{an}的项的是A.21B.33C.152D.153√由数列的通项公式得，a1＝21，a2＝33，a12＝153.√√ 2.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋n，则a2的值是A.2B.4C.5D.6由题意，S2＝22＋2＝6，S1＝1＋1＝2，所以a2＝S2－S1＝6－2＝4.√ 3.在数列1,1,2,3,5,8,13,21，x,55，…中，x＝____.34通过观察数列各项的规律，发现从第三项起，每项都等于它前两项之和，因此x＝13＋21＝34. 探究核心题型第二部分 例1(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，Sn＋1＝2Sn－1，则a10等于A.128B.256C.512D.1024√题型一由an与Sn的关系求通项公式 ∵Sn＋1＝2Sn－1，∴当n≥2时，Sn＝2Sn－1－1，两式相减得an＋1＝2an.当n＝1时，a1＋a2＝2a1－1，又a1＝2，∴a2＝1.∴数列{an}从第二项开始为等比数列，公比为2.则a10＝a2×28＝1×28＝256. (2)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2n＋2－3，则an＝____________.根据题意，数列{an}满足Sn＝2n＋2－3，当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝(2n＋2－3)－(2n＋1－3)＝2n＋1，当n＝1时，有a1＝S1＝8－3＝5，不符合an＝2n＋1， Sn与an的关系问题的求解思路(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解.(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解.思维升华 √ ∴an＝n2(n≥2)，①∴an＝n2，n∈N*. a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，所以an＝4n－5，n∈N*.(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则an＝_______.4n－5 题型二由数列的递推关系求通项公式命题点1累加法 … 例3在数列{an}中，a1＝1，an＝(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________.命题点2累乘法 以上(n－1)个式子相乘得， 跟踪训练2(1)设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为___________. 由题意得a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)，以上各式相加，得 log2an＝________. 当n＝1时，a1＝1适合此式， 例4设数列{an}的前n项和为Sn，且∀n∈N*，an＋1>an，Sn≥S6.请写出一个满足条件的数列{an}的通项公式an＝_________________________.题型三数列的性质n－6，n∈N*(答案不唯一)由∀n∈N*，an＋1>an可知数列{an}是递增数列，又Sn≥S6，故数列{an}从第7项开始为正.而a6≤0，因此不妨设数列是等差数列，公差为1，a6＝0，所以an＝n－6，n∈N*(答案不唯一).命题点1数列的单调性 命题点2数列的周期性√ 因此数列{an}是周期为4的周期数列， 命题点3数列的最值√ (1)解决数列的单调性问题的方法用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列.(2)解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值. 跟踪训练3(1)观察数列1，ln2，sin3,4，ln5，sin6,7，ln8，sin9，…，则该数列的第11项是A.1111B.11C.ln11D.sin11由数列得出规律，按照1，ln2，sin3，…，是按正整数的顺序排列，且以3为循环，由11÷3＝3余2，所以该数列的第11项为ln11.√ 3，－1 因此数列{an}前20项中的最大项与最小项分别为第11项，第10项.a11＝3，a10＝－1. 课时精练第三部分 12345678910111213141516基础保分练A.递减数列B.递增数列C.常数列D.摆动数列易知数列{an}是递增数列.√ 2.大衍数列来源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50，则大衍数列中奇数项的通项公式为12345678910111213141516√ 12345678910111213141516取特殊值代入即可求解结论.因为第一项为0，故D错；第三项为4，故A，C错. 3.已知数列{an}的前n项和Sn满足SnS1＝Sn＋1(n∈N*)，且a1＝2，那么a7等于A.128B.16C.32D.6412345678910111213141516√ 12345678910111213141516因为数列{an}的前n项和Sn满足SnS1＝Sn＋1(n∈N*)，a1＝2，所以数列{Sn}是以2为公比，以2为首项的等比数列，所以Sn＝2×2n－1＝2n.所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1.所以a7＝26＝64. 4.已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝nanan＋1(n∈N*)，则an等于12345678910111213141516√ 12345678910111213141516 123456789101112131415165.设数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝1－，记数列{an}的前n项之积为Pn，则P2024等于A.－2B.－1C.1D.2√ 12345678910111213141516所以数列{an}是周期为3的周期数列.且P3＝－1,2024＝3×674＋2，所以P2024＝(－1)674×a1a2＝1. 12345678910111213141516A.数列{an}的最小项是a1B.数列{an}的最大项是a4C.数列{an}的最大项是a5D.当n≥5时，数列{an}递减√√√ 12345678910111213141516又n∈N*，所以n＝4或n＝5， 12345678910111213141516故数列{an}中a4与a5均为最大项， 12345678910111213141516_________. 8.若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________，数列{nan}中数值最小的项是第_____项.123456789101112131415162n－113 12345678910111213141516∵Sn＝n2－10n，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－11；当n＝1时，a1＝S1＝－9也适合上式.∴an＝2n－11(n∈N*).记f(n)＝nan＝n(2n－11)＝2n2－11n，∴当n＝3时，f(n)取最小值.∴数列{nan}中数值最小的项是第3项. 123456789101112131415169.在①nan＋1－(n＋1)an＝n(n＋1)；②Sn＝2n2－1这两个条件中任选一个补充在下面的横线上，并解答.若数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{an}满足________.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.(1)求a2，a3； 12345678910111213141516选择①：a2－2a1＝1×2，则a2＝4.2a3－3a2＝2×3，则a3＝9.选择②：a2＝S2－S1＝2×22－1－1＝6.a3＝S3－S2＝2×32－1－2×22＋1＝10. 12345678910111213141516(2)求数列{an}的通项公式. 12345678910111213141516选择①：由nan＋1－(n＋1)an＝n(n＋1)，所以an＝n2.选择②：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－1－[2(n－1)2－1]＝4n－2；当n＝1时，a1＝S1＝1，不符合上式， 12345678910111213141516 12345678910111213141516所以cn≠1，cn≠0， 12345678910111213141516(2)求证：Sn<1. 12345678910111213141516所以Sn＝c1＋c2＋…＋cn 12345678910111213141516 11.在数列{an}中，a1＝1，a＝(n，an)，b＝(an＋1，n＋1)，且a⊥b，则a100等于12345678910111213141516综合提升练√ 12345678910111213141516因为a＝(n，an)，b＝(an＋1，n＋1)，且a⊥b，所以nan＋1＋(n＋1)an＝0，因为a1＝1，所以a100＝－100. 12.(2022·全国乙卷)嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星.为研究嫦娥二号绕日周期与地12345678910111213141516A.b1<b5B.b3<b8C.b6<b2D.b4<b7√ 12345678910111213141516方法一当n取奇数时，同理可得b3>b5，b5>b7，…，于是可得b1>b3>b5>b7>…，故A不正确； 12345678910111213141516同理可得b4<b6，b6<b8，…，于是可得b2<b4<b6<b8<…，故C不正确； 12345678910111213141516同理可得b3>b4，b5>b6，b7>b8，又b3>b7，所以b3>b8，故B不正确；故选D.方法二(特殊值法) 12345678910111213141516 12345678910111213141516逐一判断选项可知选D. 123456789101112131415163 14.已知[x]表示不超过x的最大整数，例如：[2.3]＝2，[－1.7]＝－2.在数列{an}中，an＝[lgn]，记Sn为数列{an}的前n项和，则a2024＝____；S2024＝________.1234567891011121314151634965 12345678910111213141516∵an＝[lgn]，∴当1≤n≤9时，an＝[lgn]＝0；当10≤n≤99时，an＝[lgn]＝1；当100≤n≤999时，an＝[lgn]＝2；当1000≤n≤9999时，an＝[lgn]＝3.∴a2024＝[lg2024]＝3，S2024＝9×0＋90×1＋900×2＋1025×3＝4965. 15.(2023·郑州模拟)已知数列{an}满足a2＝2，a2n＝a2n－1＋2n(n∈N*)，a2n＋1＝a2n＋(－1)n(n∈N*)，则数列{an}第2024项为A.21012－2B.21013－3C.21011－2D.21011－312345678910111213141516拓展冲刺练√ 12345678910111213141516由a2n＋1＝a2n＋(－1)n得a2n－1＝a2n－2＋(－1)n－1(n∈N*，n≥2)，又由a2n＝a2n－1＋2n得a2n＝a2n－2＋2n＋(－1)n－1(n∈N*，n≥2)，所以a4＝a2＋22＋(－1)，a6＝a4＋23＋(－1)2，a8＝a6＋24＋(－1)3，…，a2024＝a2022＋21012＋(－1)1011， 1234567891011121314151616.在数列{an}中，已知a1＝1，n2an－Sn＝n2an－1－Sn－1(n≥2，n∈N*)，记 12345678910111213141516由n2an－Sn＝n2an－1－Sn－1(n≥2，n∈N*)，得n2an－(Sn－Sn－1)＝n2an－1，所以(n2－1)an＝n2an－1， 12345678910111213141516又c1＝a1＝1，