2024届高考数学一轮复习（新教材人教A版强基版）第六章数列6.2等差数列课件

§6.2等差数列第六章数　列 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.考试要求 内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练 落实主干知识第一部分 1.等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差都等于____，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示，定义表达式为_______________________.(2)等差中项由三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A＝.同一个常数2dan－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)a＋b 2.等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝.a1＋(n－1)d(2)前n项和公式：Sn＝或Sn＝. 3.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n，m∈N*).(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为的等差数列.(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.(5)S2n－1＝(2n－1)an.(n－m)dak＋al＝am＋anmd 1.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.2.在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值.3.等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列.4.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).这里公差d＝2A. 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.()(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.()(3)在等差数列{an}中，若am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q.()(4)若无穷等差数列{an}的公差d>0，则其前n项和Sn不存在最大值.()√××√ 1.在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，则a10等于A.－2B.－1C.1D.2∴an＝－2n＋21.∴a10＝－2×10＋21＝1.√ 2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a9＋a10＋a11＋a12等于A.12B.8C.20D.16等差数列{an}中，S4，S8－S4，S12－S8仍为等差数列，即8,20－8，a9＋a10＋a11＋a12为等差数列，所以a9＋a10＋a11＋a12＝16.√ 3.设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝10，S4＝28，则Sn的最大值为___.30由a1＝10，S4＝4a1＋6d＝28，解得d＝－2，当n＝5或6时，Sn最大，最大值为30. 探究核心题型第二部分 例1(1)等差数列{an}的前n项和为Sn，且a8－a5＝9，S8－S5＝66，则a33等于A.82B.97C.100D.115题型一等差数列基本量的运算设等差数列{an}的公差为d，又a8－a5＝9，∴3d＝9，∴d＝3，√∴a1＝4，∴a33＝a1＋32d＝4＋32×3＝100. (2)(2020·全国Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块√ 设每一层有n环，由题意可知从内到外每环之间构成d＝9，a1＝9的等差数列.由等差数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，且(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝n2d，则9n2＝729，得n＝9， (1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”).(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.思维升华 跟踪训练1(1)《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影长之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为(一丈＝十尺＝一百寸)A.一尺五寸B.二尺五寸C.三尺五寸D.四尺五寸√ 由题意知，从冬至日起，依次为小寒、大寒等十二个节气日影长构成一个等差数列{an}，设公差为d，∵冬至、立春、春分日影长之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，∴芒种日影长为a12＝a1＋11d＝135－11×10＝25(寸)＝2尺5寸. (2)(2022·岳阳模拟)已知等差数列{an}满足a2＝4，a3＋a5＝4(a4－1)，则数列{an}的前5项和为A.10B.15C.20D.30√ 因为等差数列{an}中，a2＝4，a3＋a5＝2a4＝4(a4－1)，则a4＝2，设等差数列{an}的公差为d，则数列{an}的前5项和为5＋4＋3＋2＋1＝15. 例2(2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列{an}是等差数列；②数列{}是等差数列；③a2＝3a1.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.题型二等差数列的判定与证明 ①③⇒②.已知{an}是等差数列，a2＝3a1.设数列{an}的公差为d，则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，因为数列{an}的各项均为正数， ①②⇒③.设数列{an}的公差为d， ②③⇒①.所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1. 所以Sn＝n2d2，所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)，是关于n的一次函数，且a1＝d2满足上式，所以数列{an}是等差数列. 判断数列{an}是等差数列的常用方法(1)定义法.(2)等差中项法.(3)通项公式法.(4)前n项和公式法. 跟踪训练2已知数列{an}的各项都是正数，n∈N*.(1)若{an}是等差数列，公差为d，且bn是an和an＋1的等比中项，设cn＝－，n∈N*，求证：数列{cn}是等差数列；因此cn＋1－cn＝2d(an＋2－an＋1)＝2d2(常数)，∴{cn}是等差数列. ∵an＋an－1>0，∴an－an－1＝1，∴数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，可得an＝n. 例3(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＋a5＋a8＝9，则S9等于A.21B.27C.30D.36题型三等差数列的性质因为等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＋a5＋a8＝9＝3a5，所以a5＝3，命题点1等差数列项的性质√ (2)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝2，b1＝－3，a7－b7＝17，则a2024－b2024的值为________.令cn＝an－bn，因为{an}，{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列.设数列{cn}的公差为d，由已知，得c1＝a1－b1＝5，c7＝17，则5＋6d＝17，解得d＝2.故a2024－b2024＝c2024＝5＋2023×2＝4051.4051 等差数列项的性质的关注点(1)在等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般先考虑应用项的性质. 跟踪训练3(1)若等差数列{an}的前15项和S15＝30，则2a5－a6－a10＋a14等于A.2B.3C.4D.5∴a1＋a15＝4，∴2a8＝4，∴a8＝2.∴2a5－a6－a10＋a14＝a4＋a6－a6－a10＋a14＝a4－a10＋a14＝a10＋a8－a10＝a8＝2.√ √ 所以a6＝0，a3＋a9＝2a6＝0，因为a5≠0，a6＝0， 命题点2等差数列前n项和的性质√ 因为等差数列中，S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列，所以x,2x，S12－3x，S16－S12成等差数列， (2)已知等差数列{an}共有(2n＋1)项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则an＋1的值为A.30B.29C.28D.27√ ∴(n＋1)an＋1＝290.∴an＋1＝290－261＝29. 等差数列前n项和的常用的性质是：在等差数列{an}中，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列，且有S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；S2n－1＝(2n－1)an. 跟踪训练4(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5＝7，S10＝21，则S15等于A.35B.42C.49D.63在等差数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10成等差数列，即7,14，S15－21成等差数列，所以7＋(S15－21)＝2×14，解得S15＝42.√ A.2023B.－2023C.4046D.－4046√ ∴S2023＝2023×2＝4046，故选C. 课时精练第三部分 基础保分练1.首项为－21的等差数列从第8项起为正数，则公差d的取值范围是an＝－21＋(n－1)d，因为从第8项起为正数，所以a7＝－21＋6d≤0，a8＝－21＋7d>0，12345678910111213141516√ 2.(2023·江门模拟)已知等差数列{an}满足a5＋a7＋a9＝6，则a7等于A.3B.2C.D.－212345678910111213141516根据题意，由{an}是等差数列，得a5＋a7＋a9＝3a7＝6，得a7＝2.√ 3.一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则该数列的公差d为A.10B.5C.4D.812345678910111213141516√ 12345678910111213141516设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d. 4.中国古代数学名著《张邱建算经》中有如下问题：今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之(等差数列)，上三人先入，得金四斤，持出；下四人后入，得金三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给.则第一等人(得金最多者)得金斤数是12345678910111213141516√ 12345678910111213141516由题设知在等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝4，a7＋a8＋a9＋a10＝3. 123456789101112131415165.等差数列{an}中，已知|a6|＝|a11|，且公差d>0，则其前n项和取最小值时的n的值为A.6B.7C.8D.9√∵|a6|＝|a11|且公差d>0，∴a6＝－a11.∴a6＋a11＝a8＋a9＝0，且a8<0，a9>0，∴a1<a2<…<a8<0<a9<a10<…，∴使Sn取最小值的n的值为8. 12345678910111213141516√√√ 12345678910111213141516整理得2b2＝a2＋c2，即a2，b2，c2依次成等差数列， 12345678910111213141516这些数列都不一定是等差数列，除非a＝b＝c，但题目中未说明△ABC是等边三角形. 7.(2022·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若2S3＝3S2＋6，则公差d＝______.12345678910111213141516由2S3＝3S2＋6，可得2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6，化简得2a3＝a1＋a2＋6，即2(a1＋2d)＝2a1＋d＋6，解得d＝2.2 8.设Sn是等差数列{an}的前n项和，S10＝16，S100－S90＝24，则S100＝_____.12345678910111213141516200依题意，S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d.又S10＝16，S100－S90＝24，因此S100－S90＝24＝16＋(10－1)d＝16＋9d， 123456789101112131415169.已知{an}是公差为d的等差数列，其前n项和为Sn，且a5＝1，________.若存在正整数n，使得Sn有最小值.从①a3＝－1，②d＝2，③d＝－2这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在上面的问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.(1)求{an}的通项公式； 12345678910111213141516选择①作为补充条件：因为a5＝1，a3＝－1，所以d＝1，所以an＝1＋(n－5)×1＝n－4(n∈N*).选择②作为补充条件：因为a5＝1，d＝2，所以an＝1＋(n－5)×2＝2n－9(n∈N*).不可以选择③作为补充条件. 12345678910111213141516(2)求Sn的最小值. 12345678910111213141516选择①作为补充条件：由(1)可知a1＝－3，因为n∈N*，所以当n＝3或4时，Sn取得最小值，且最小值为－6.故存在正整数n＝3或4，使得Sn有最小值，且最小值为－6.选择②作为补充条件：由(1)可知a1＝－7， 12345678910111213141516所以当n＝4时，Sn取得最小值，且最小值为－16.故存在正整数n＝4，使得Sn有最小值，最小值为－16.不可以选择③作为补充条件. 10.在数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式；12345678910111213141516 12345678910111213141516∵an＋2－2an＋1＋an＝0，∴an＋2－an＋1＝an＋1－an，∴数列{an}是等差数列，设其公差为d，∵a1＝8，a4＝2，∴an＝a1＋(n－1)d＝10－2n，n∈N*. (2)设Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.12345678910111213141516 12345678910111213141516设数列{an}的前n项和为Sn，则由(1)可得，由(1)知an＝10－2n，令an＝0，得n＝5，∴当n>5时，an<0，则Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn＝2×(9×5－25)－(9n－n2)＝n2－9n＋40； 12345678910111213141516当n≤5时，an≥0，则Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝9n－n2， 11.(多选)已知数列{an}是公差不为0的等差数列，前n项和为Sn，满足a1＋5a3＝S8，下列选项正确的有A.a10＝0B.S10最小C.S7＝S12D.S20＝012345678910111213141516综合提升练√√ 12345678910111213141516根据题意，数列{an}是等差数列，若a1＋5a3＝S8，即a1＋5a1＋10d＝8a1＋28d，变形可得a1＝－9d.又由an＝a1＋(n－1)d＝(n－10)d，得a10＝0，故A正确；不能确定a1和d的符号，不能确定S10最小，故B不正确；得S7＝S12，故C正确； 12345678910111213141516因为d≠0，所以S20≠0，故D不正确. 12345678910111213141516√ 12345678910111213141516 13.将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________.123456789101112131415163n2－2n将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}是以1为首项，以6为公差的等差数列， 14.(2023·开封模拟)在等差数列{an}中，<－1，且它的前n项和Sn有最小值，则当Sn<0时，n的最大值为______.1234567891011121314151613 12345678910111213141516因为等差数列{an}的前n项和Sn有最小值，则d>0，所以当Sn<0时，n的最大值为13. 15.将正奇数排成一个三角形阵，按照如图排列的规律，则第15行第3个数为A.213B.215C.217D.21912345678910111213141516拓展冲刺练√ 12345678910111213141516则第15行第3个数是数阵的第108个数，即所求数字是首项为1，公差为2的等差数列的第108项，则a108＝1＋(108－1)×2＝215. 16.在等差数列{an}中，a1＝－9，a5＝－1.记Tn＝a1a2…an(n＝1,2，…)，则数列{Tn}A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项12345678910111213141516√ 12345678910111213141516设等差数列{an}的公差为d，∴an＝－9＋2(n－1)＝2n－11.可知数列{an}是单调递增数列，且前5项为负值，自第6项开始为正值. 12345678910111213141516可知T1＝－9<0，T2＝63>0，T3＝－315<0，T4＝945>0为最大项，自T5起均小于0，且逐渐减小.∴数列{Tn}有最大项，无最小项.