第八章　§8.9　圆锥曲线压轴小题突破练[培优课]

成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期§8.9　圆锥曲线压轴小题突破练题型一　离心率范围问题例1　(1)已知F是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，若直线x＝与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆的离心率的取值范围是(　　)A.B.C．[－1,1]D.答案　D解析　由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等，又|FA|＝－c＝，|PF|∈[a－c，a＋c]，∴∈[a－c，a＋c]，∴ac－c2≤b2≤ac＋c2，∴∴又∵e∈(0,1)，∴e∈.(2)(2022·哈尔滨模拟)已知双曲线的方程是－＝1(a>0，b>0)，点F1，F2为双曲线的两个焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线相交于点P(点P在第一象限)，若∠PF1F2≤，则双曲线离心率的取值范围是(　　)A.B．[＋1，＋∞)C.D．(1，＋1]答案　D解析　由题意＝sin∠PF1F2≤sin ＝，所以0<|PF2|≤c，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期又|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，即(|PF2|＋2a)2＋|PF2|2＝4c2，所以4c2≤(c＋2a)2＋c2，整理得2a2＋2ac－c2≥0，所以e2－2e－2≤0，又e>1，故解得1<e≤＋1.思维升华　求解圆锥曲线离心率范围问题的策略(1)利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于a，b，c的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围．(2)利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)．(3)利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之间的关系．跟踪训练1　(1)(2022·南京市宁海中学模拟)设e1，e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足∠F1PF2＝，则e1e2的最小值为(　　)A.B.C.D.答案　A解析　设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，不妨设|PF1|>|PF2|，由椭圆和双曲线的定义可得得设|F1F2|＝2c，因为∠F1PF2＝，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2，即4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cos ，整理得a＋3a＝4c2，故＋＝4.又4＝＋≥2＝，即2≥，所以e1e2≥，即e1e2的最小值为，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期当且仅当＝，即e1＝，e2＝时，等号成立．(2)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，点P是C上任意一点，若圆O：x2＋y2＝b2上存在点M，N，使得∠MPN＝120°，则C的离心率的取值范围是(　　)A.B.C.D.答案　C解析　连接OP，当P不为椭圆的上、下顶点时，设直线PA，PB分别与圆O切于点A，B，∠OPA＝α，∵存在M，N使得∠MPN＝120°，∴∠APB≥120°，即α≥60°，又α<90°，∴sinα≥sin60°，连接OA，则sinα＝＝≥，∴|OP|≤.又P是C上任意一点，则|OP|max≤，又|OP|max＝a，∴a≤，则由a2＝b2＋c2，得e2≤，又0<e<1，∴e∈.题型二　圆锥曲线中二级结论的应用命题点1　椭圆、双曲线中二级结论的应用成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期例2　(1)(2022·咸宁模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，其左、右焦点分别为F1，F2，其离心率e＝，点P为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2＝，已知△F1PF2的内切圆半径为r＝，则该椭圆的长轴长为(　　)A．2B．4C．6D．12答案　D解析　由e＝，得＝，即a＝2c.①在△F1PF2中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式，得＝b2tan ＝r(2a＋2c)，即b2＝(a＋c)，②由a2＝b2＋c2，③联立①②③，得c＝3，a＝6，b＝3，所以该椭圆的长轴长为2a＝2×6＝12.(2)(2022·石家庄模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，过原点O的直线交C于A，B两点(点B在右支上)，双曲线右支上一点P(异于点B)满足·＝0，直线PA交x轴于点D，若∠ADO＝∠AOD，则双曲线C的离心率为(　　)A.B．2C.D．3答案　A解析　如图，·＝0，∴BA⊥BP，令kAB＝k，∵∠ADO＝∠AOD，∴kAP＝－kAB＝－k，又BA⊥BP，∴kPB＝－，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期依题意，kPB·kPA＝，∴－·(－k)＝，∴＝1，即e＝.思维升华　焦点三角形的面积公式：P为椭圆(或双曲线)上异于长轴端点的一点，且∠F1PF2＝θ，则椭圆中＝b2·tan ，双曲线中＝.周角定理：已知A，B为椭圆(或双曲线)上关于原点对称的两点，点P为椭圆(或双曲线)上异于A，B的任一点，则椭圆中kPA·kPB＝－，双曲线中kPA·kPB＝.跟踪训练2　(1)如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是(　　)A.B.C.D.答案　D解析　设双曲线C2的方程为－＝1，则有a＋b＝c＝c＝4－1＝3.又四边形AF1BF2为矩形，所以△AF1F2的面积为btan45°＝，即b＝b＝1.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 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成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期S∈(4,4)，故C正确；设G(x，y)，P(x0，y0)(x0>1)，则x－＝1(x0>1)，由题设知F1(－，0)，F2(，0)，则所以点G的轨迹方程为9x2－＝1，故D正确．6．(多选)(2022·济宁模拟)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A1，A2，点P是C上异于A1，A2的一点，则下列结论正确的是(　　)A．若C的离心率为，则直线PA1与PA2的斜率之积为－B．若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为b2C．若C上存在四个点P使得PF1⊥PF2，则C的离心率的取值范围是D．若|PF1|≤2b恒成立，则C的离心率的取值范围是答案　BD解析　设P(x0，y0)，所以＋＝1，因为e＝＝，所以a＝2c，所以a2＝b2，所以＝－＝－，所以A错误；若PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为b2tan ＝b2，所以B正确；若C上存在四个点P使得PF1⊥PF2，即C上存在四个点P使得△PF1F2的面积为b2，所以·2c·b>b2，所以c>b，所以c2>a2－c2，故e∈，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期所以C错误；若|PF1|≤2b恒成立，所以a＋c≤2b，所以a2＋c2＋2ac≤4b2＝4(a2－c2)，所以5e2＋2e－3≤0，故0<e≤，所以D正确．7．直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F(1,0)且与抛物线交于A，B两点，则|AF|－的最小值为________．答案　2－2解析　方法一　已知＝1，即p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，若直线l与x轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不符合题意；设直线l的方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立可得y2－4my－4＝0，则所以＋＝＋＝＋＝＝＝＝1.所以＝1－，则|AF|－＝|AF|－2＝|AF|＋－2≥2－2＝2－2，当且仅当|AF|＝时，等号成立，故|AF|－的最小值为2－2.方法二　因为＝1，所以p＝2，又＋＝，所以＋＝1，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期所以＝1－，因为|AF|－＝|AF|－2＝|AF|＋－2≥2－2，当且仅当|AF|＝时，等号成立，所以|AF|－的最小值为2－2.8．(2023·苏州模拟)如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分，杯口宽4cm，杯深8cm，称为抛物线酒杯．(1)在杯口放一个表面积为36πcm2的玻璃球，则球面上的点到杯底的最小距离为_____cm；(2)在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径的取值范围为____________(单位：cm)．答案　(1)6　(2)解析　因为杯口放一个表面积为36πcm2的玻璃球，所以球的半径为3cm，又因为杯口宽4cm，所以|AB|＝4，|C1A|＝|C1B|＝3，C1D⊥AB，所以|AD|＝|BD|＝2，所以|C1D|＝＝＝1，所以|DE|＝2，又因为杯深8cm，即|OD|＝8，故最小距离为|OD|－|DE|＝6，如图1所示，建立直角坐标系，易知B(2，8)，设抛物线的方程为y＝mx2，所以将B(2，8)代入，得m＝1，故抛物线方程为y＝x2，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期　　　图1　　　　　　　　　　图2当杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，如图2，设玻璃球轴截面所在圆的方程为x2＋(y－r)2＝r2，依题意，需满足抛物线上的点到圆心的距离大于等于半径恒成立，即≥r，则有x2(x2＋1－2r)≥0恒成立，解得1－2r≥0，可得0<r≤.所以玻璃球的半径的取值范围为.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期