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全国通用版2022高考数学二轮复习压轴大题突破练二直线与圆锥曲线2文
全国通用版2022高考数学二轮复习压轴大题突破练二直线与圆锥曲线2文
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(二)直线与圆锥曲线(2)1.(2022·威海模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,直线y=4与y轴的交点为P,与抛物线C的交点为Q,且|QF|=2|PQ|.(1)求p的值;(2)已知点T(t,-2)为C上一点,M,N是C上异于点T的两点,且满足直线TM和直线TN的斜率之和为-,证明直线MN恒过定点,并求出定点的坐标.解 (1)设Q(x0,4),由抛物线定义知|QF|=x0+,又|QF|=2|PQ|,即2x0=x0+,解得x0=,将点Q代入抛物线方程,解得p=4.(2)由(1)知,C的方程为y2=8x,所以点T坐标为,设直线MN的方程为x=my+n,点M,N,由得y2-8my-8n=0,Δ=64m2+32n>0.所以y1+y2=8m,y1y2=-8n,6\n所以kMT+kNT=+=+===-,解得n=m-1,所以直线MN的方程为x+1=m(y+1),恒过定点(-1,-1).2.(2022·南昌模拟)已知动圆C过点F(1,0),且与直线x=-1相切.(1)求动圆圆心C的轨迹方程E;(2)已知点P(4,-4),Q(8,4),过点Q的直线l交曲线E于点A,B,设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,求证:k1k2为定值,并求出此定值.解 (1)设C(x,y),由=,得动圆圆心C的轨迹方程E为y2=4x,(2)依题意知直线AB的斜率不为0,设AB方程为x-8=m(y-4),即x=my-4m+8,设A(x1,y1),B(x2,y2),由得y2-4my+16m-32=0,且Δ>0恒成立,∴y1+y2=4m,y1y2=16m-32,∴kPA·kPB=·=·====-1(定值).3.(2022·四省名校大联考)如图,在平面直角坐标系中,已知点F(1,0),过直线l:x=4左侧的动点P作PH⊥l于点H,∠HPF的角平分线交x轴于点M,且|PH|=2|MF|,记动点P的轨迹为曲线C.6\n(1)求曲线C的方程;(2)过点F作直线l′交曲线C于A,B两点,设=λ,若λ∈,求|AB|的取值范围.解 (1)设P(x,y),由题意可知|MF|=|PF|,所以==,即=,化简整理得+=1,即曲线C的方程为+=1.(2)由题意,得直线l′的斜率k≠0,设直线l′的方程为x=my+1,由得(3m2+4)y2+6my-9=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),所以Δ=(6m)2+36(3m2+4)=144(m2+1)>0恒成立,且y1+y2=,y1y2=-,①又因为=λ,所以-y1=λy2,②联立①②,消去y1,y2,得=,因为=λ+-2∈,所以0≤≤,解得0≤m2≤.又|AB|=|y1-y2|===4-,6\n因为4≤3m2+4≤,所以|AB|=4-∈.所以|AB|的取值范围是.4.(2022·合肥模拟)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,短轴长为4.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设A为椭圆C的左顶点,P为椭圆C上位于x轴上方的点,直线PA交y轴于点M,点N在y轴上,且·=0,设直线AN交椭圆C于另一点Q,求△APQ面积的最大值.解 (1)由题意得解得所以椭圆C的标准方程为+=1.(2)由题意可设直线PA的方程为y=k(x+4),k>0,则M(0,4k),又F(2,0),且·=0,所以MF⊥FN,所以直线FN的方程为y=(x-2),则N,联立消去y并整理得(1+2k2)x2+16k2x+32k2-16=0,解得x1=-4,x2=,则P,直线AN的方程为y=-(x+4),6\n同理可得Q,所以P,Q关于原点对称,即PQ过原点,所以△APQ的面积S=OA·|yP-yQ|=2·=≤8,当且仅当2k=,即k=时,等号成立,所以△APQ面积的最大值为8.5.(2022·峨眉山模拟)如图,圆C与x轴相切于点T(2,0),与y轴正半轴相交于两点M,N(点M在点N的下方),且|MN|=3.(1)求圆C的方程;(2)过点M任作一条直线与椭圆+=1相交于两点A,B,连接AN,BN,求证:∠ANM=∠BNM.(1)解 由题意可知圆心的坐标为.∵|MN|=3,∴r2=2+22=,r=,∴圆C的方程为(x-2)2+2=.(2)证明 由圆C方程可得M(0,1),N(0,4),①当AB斜率不存在时,∠ANM=∠BNM=0°;②当AB斜率存在时,设直线AB方程为y=kx+1.设A(x1,y1),B(x2,y2),联立得(1+2k2)x2+4kx-6=0,x1+x2=-,x1x2=-,∴kAN+kBN=+6\n===0,∴kAN+kBN=0,综上所述,∠ANM=∠BNM.6
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-25 23:49:20
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文章作者:U-336598
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