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【考前三个月】(江苏专用)2022高考数学 压轴大题突破练 直线与圆锥曲线(一)

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压轴大题突破练压轴大题突破练——直线与圆锥曲线(一)1.(2022·课标全国Ⅰ)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程;(2)l是与圆P、圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A、B两点,当圆P的半径最长时,求AB.解 (1)设圆P的半径为r,则PM=1+r,PN=3-r,∴PM+PN=4>MN,∴P的轨迹是以M、N为焦点的椭圆,左顶点除外,且2a=4,2c=2,∴a=2,c=1,∴b2=a2-c2=3.∴P的轨迹曲线C的方程为+=1(x≠-2).(2)由(1)知:2r=(PM-PN)+2≤MN+2=4,∴圆P的最大半径为r=2.此时P的坐标为(2,0).圆P的方程为(x-2)2+y2=4.①当l的方程为x=0时,AB=2,②设l的方程为y=kx+b(k∈R),解之得:或.∴l的方程为y=x+,y=-x-.联立方程化简:7x2+8x-8=0.∴x1+x2=-,x1x2=-,∴AB==.综上,AB=2或.2.已知椭圆的一个顶点为A(0,-1),焦点在x轴上,中心在原点.若右焦点到直线x-y+2=0的距离为3.(1)求椭圆的标准方程;(2)设直线y=kx+m(k≠0)与椭圆相交于不同的两点M,N.当AM=AN时,求m的取值范围.解 (1)依题意可设椭圆方程为+y2=1,-4-\n则右焦点F(,0),由题设=3,解得a2=3.故所求椭圆的方程为+y2=1.(2)设P(xP,yP),M(xM,yM),N(xN,yN),P为弦MN的中点,由得(3k2+1)x2+6mkx+3(m2-1)=0,∵直线与椭圆相交,∴Δ=(6mk)2-4(3k2+1)×3(m2-1)>0⇒m2<3k2+1.①∴xP==-,从而yP=kxP+m=,∴kAP==-,又∵AM=AN,∴AP⊥MN,则-=-,即2m=3k2+1.②把②代入①得m2<2m,解得0<m<2;由②得k2=>0,解得m>.综上求得m的取值范围是<m<2.3.(2022·福建)如图,抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上,以C为圆心,CO为半径作圆,设圆C与准线l交于不同的两点M,N.(1)若点C的纵坐标为2,求MN;(2)若AF2=AM·AN,求圆C的半径.解 (1)抛物线y2=4x的准线l的方程为x=-1.由点C的纵坐标为2,得点C的坐标为(1,2),所以点C到准线l的距离d=2,又CO=,所以MN=2=2=2.-4-\n(2)设C(,y0),则圆C的方程为(x-)2+(y-y0)2=+y,即x2-x+y2-2y0y=0.由x=-1,得y2-2y0y+1+=0,设M(-1,y1),N(-1,y2),则由AF2=AM·AN,得|y1y2|=4,所以+1=4,解得y0=±,此时Δ>0.所以圆心C的坐标为(,)或(,-),从而CO2=,CO=,即圆C的半径为.4.已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,点M(0,2)是椭圆的一个顶点,△F1MF2是等腰直角三角形.(1)求椭圆的方程;(2)过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点,设两直线的斜率分别为k1,k2,且k1+k2=8,证明:直线AB过定点.(1)解 由已知,可得b=2,a2=(b)2=8,所求椭圆方程为+=1.(2)证明 设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),若直线AB的斜率存在,设方程为y=kx+m,由得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0.则x1+x2=-,x1x2=.由k1+k2=8,得+=8,所以+=8,即2k+(m-2)·=8.所以k-=4,整理得m=k-2.故直线AB的方程为y=kx+k-2,即y=k-2.所以直线AB过定点.-4-\n若直线AB的斜率不存在,设AB的方程为x=x0,设A(x0,y0),B(x0,-y0),由已知+=8,得x0=-.此时AB的方程为x=-,显然过点.综上,直线AB过定点.-4-

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发布时间:2022-08-26 00:16:25 页数:4
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文章作者:U-336598

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