【考前三个月】(江苏专用)2022高考数学 压轴大题突破练 概率与统计
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中档大题规范练——概率与统计1.第12届全运会已于2022年8月31日在辽宁沈阳举行,组委会在沈阳某大学招募了12名男志愿者和18名女志愿者,将这30名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图(单位:cm),身高在175cm以上(包括175cm)定义为“高个子”,身高在175cm以下(不包括175cm)定义为“非高个子”.(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中共抽取5人,再从这5人中选2人,求至少有一人是“高个子”的概率;(2)若从身高180cm以上(包括180cm)的志愿者中选出男、女各一人,求这2人身高相差5cm以上的概率.解 (1)根据茎叶图知,“高个子”有12人,“非高个子”有18人,用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率是=,所以抽取的5人中,“高个子”有12×=2人,“非高个子”有18×=3人.“高个子”用A,B表示,“非高个子”用a,b,c表示,则从这5人中选2人的情况有(A,B),(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),(a,b),(a,c),(b,c),共10种,至少有一名“高个子”被选中的情况有(A,B),(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),共7种.因此,至少有一人是“高个子”的概率是P=.(2)由茎叶图知,有5名男志愿者身高在180cm以上(包括180cm),身高分别为181cm,182cm,184cm,187cm,191cm;有2名女志愿者身高为180cm以上(包括180cm),身高分别为180cm,181cm.抽出的2人用身高表示,则有(181,180),(181,181),(182,180),(182,181),(184,180),(184,181),(187,180),(187,181),(191,180),(191,181),共10种情况,身高相差5cm以上的有(187,180),(187,181),(191,180),(191,181),共4种情况,故这2人身高相差5cm以上的概率为=.2.(2022·北京)如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.-3-\n(1)求此人到达当日空气质量优良的概率;(2)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率;(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)解 (1)在3月1日至3月13日到达这13天中,1日,2日,3日,7日,12日,13日共6天的空气质量优良.所以,此人到达当日空气质量优良的概率P=.(2)事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”发生,则该人到达日期应在4日,5日,7日或8日.所以,只有一天空气重度污染的概率P=.(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.3.先后随机投掷2枚正方体骰子,其中x表示第1枚骰子出现的点数,y表示第2枚骰子出现的点数.(1)求点P(x,y)在直线y=x-2上的概率;(2)求点P(x,y)满足y2<2x的概率.解 每枚骰子出现的点数都有6种情况,所以,基本事件总数为6×6=36(个).(1)记“点P(x,y)在直线y=x-2上”为事件A,则事件A有4个基本事件:(3,1),(4,2),(5,3),(6,4),所以,P(A)==.(2)记“点P(x,y)满足y2<2x”为事件B,则事件B有12个基本事件:(1,1),(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(5,1),(5,2),(5,3),(6,1),(6,2),(6,3),所以,P(B)==.4.从一批苹果中,随机抽取50个作为样本,其重量(单位:克)的频数分布表如下:分组(重量)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100)频数(个)5102015(1)根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率;(2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个,其中重量在[80,85)的有几个?(3)在(2)中抽出的4个苹果中,任取2个,求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率.解 (1)苹果的重量在[90,95)的频率为=0.4.(2)重量在[80,85)的有×4=1个.(3)设[80,85)段中的苹果为A,[95,100)段中的苹果为B、C、D,从中任取两个,其一切可能的基本事件有(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D)共6种,设“重量在[80,85)和[95,100)中各有1个”为事件E,其包括(A,B),(A,C),(A,D)共3种.则P(E)==.-3-\n5.有编号为1,2,3的三个白球,编号为4,5,6的三个黑球,这六个球除编号和颜色外完全相同,现从中任意取出两个球.(1)求取得的两个球颜色相同的概率;(2)求取得的两个球颜色不相同的概率.解 从六个球中取出两个球的基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共计15个基本事件.(1)记事件A为“取出的两个球是白球”,则这个事件包含的基本事件的是(1,2),(1,3),(2,3),共计3个基本事件,故P(A)==.记事件B为“取出的两个球是黑球”,同理可得P(B)=.记事件C为“取出的两个球的颜色相同”,则C=A+B,且A,B互斥,根据互斥事件的概率加法公式,得P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=.(2)记事件D为“取出的两个球的颜色不相同”,则事件C,D互斥,根据互斥事件概率之间的关系,得P(D)=1-P(C)=1-=.6.(2022·福建)根据世行2022年新标准,人均GDP低于1035美元为低收入国家;人均GDP为1035~4085美元为中等偏下收入国家;人均GDP为4085~12616美元为中等偏上收入国家;人均GDP不低于12616美元为高收入国家.某城市有5个行政区,各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表:行政区区人口占城市人口比例区人均GDP(单位:美元)A25%8000B30%4000C15%6000D10%3000E20%10000(1)判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准;(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个,求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率.解 (1)设该城市人口总数为a,则该城市人均GDP为(8000×0.25a+4000×0.30a+6000×0.15a+3000×0.10a+10000×0.20a)=6400.因为6400∈[4085,12616),所以该城市人均GDP达到了中等偏上收入国家标准.(2)“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{B,C},{B,D},{B,E},{C,D},{C,E},{D,E},共10个.设事件“抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准”为M,则事件M包含的基本事件是:{A,C},{A,E},{C,E},共3个,所以所求概率为P(M)=.-3-
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