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【考前三个月】(江苏专用)2022高考数学 压轴大题突破练 三角函数

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中档大题规范练中档大题规范练——三角函数1.已知函数f(x)=.(1)求f(x)的定义域及最小正周期;(2)求f(x)的单调递增区间.解 (1)由sinx≠0得x≠kπ(k∈Z),故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ,k∈Z}.因为f(x)==2cosx(sinx-cosx)=sin2x-2cos2x=sin2x-(1+cos2x)=sin-1,所以f(x)的最小正周期T==π.(2)函数y=sinx的单调递增区间为(k∈Z).由2kπ-≤2x-≤2kπ+,x≠kπ(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+,x≠kπ(k∈Z).所以f(x)的单调递增区间为和(k∈Z).2.已知△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,角B所对的边b=,且函数f(x)=2sin2x+2sinxcosx-在x=A处取得最大值.(1)求f(x)的值域及周期;(2)求△ABC的面积.解 (1)因为A,B,C成等差数列,所以2B=A+C,又A+B+C=π,所以B=,即A+C=.因为f(x)=2sin2x+2sinxcosx-=(2sin2x-1)+sin2x=sin2x-cos2x=2sin,所以T==π.-9-\n又因为sin∈[-1,1],所以f(x)的值域为[-2,2].(2)因为f(x)在x=A处取得最大值,所以sin=1.因为0<A<π,所以-<2A-<π,故当2A-=时,f(x)取到最大值,所以A=π,所以C=.由正弦定理,知=⇒c=.又因为sinA=sin=,所以S△ABC=bcsinA=.3.已知函数f(x)=sin2x+2cos2x+a.(1)求函数f(x)的最小正周期以及单调递增区间;(2)当x∈[0,]时,函数f(x)有最大值4,求实数a的值.解 f(x)=sin2x+2cos2x+a=cos2x+sin2x+1+a=2sin(2x+)+a+1.(1)函数f(x)的最小正周期为=π,由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.故函数f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z).(2)∵x∈[0,],∴2x+∈[,],从而sin(2x+)∈[,1].∴f(x)=2sin(2x+)+a+1∈[a+2,a+3],∵f(x)有最大值4,∴a+3=4,故a=1.4.设向量a=(sinx,sinx),b=(cosx,sinx),x∈[0,].-9-\n(1)若|a|=|b|,求x的值;(2)设函数f(x)=a·b,求f(x)的最大值.解 (1)由|a|2=(sinx)2+(sinx)2=4sin2x,|b|2=(cosx)2+(sinx)2=1,由|a|=|b|,得4sin2x=1.又x∈[0,],从而sinx=,所以x=.(2)f(x)=a·b=sinx·cosx+sin2x=sin2x-cos2x+=sin(2x-)+.当x=∈[0,]时,sin(2x-)取最大值1,所以f(x)的最大值为.5.已知函数f(x)=4cosωx·sin(ωx-)+1(ω>0)的最小正周期是π.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)求f(x)在[,]上的最大值和最小值.解 (1)f(x)=4cosωx·sin(ωx-)+1=2sinωxcosωx-2cos2ωx+1=sin2ωx-cos2ωx=2sin(2ωx-).最小正周期是=π,所以ω=1,从而f(x)=2sin(2x-).令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z.解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间为[-+kπ,+kπ](k∈Z).(2)当x∈[,]时,2x-∈[,],f(x)=2sin(2x-)∈[,2],所以f(x)在[,]上的最大值和最小值分别为2,.-9-\n6.在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为15°,如图所示,向山顶前进100m后,又从B点测得斜度为45°,设建筑物的高为50m.求此山对于地平面的斜度θ的余弦值.解 在△ABC中,∠BAC=15°,∠CBA=180°-45°=135°,AB=100m,所以∠ACB=30°.由正弦定理,得=,即BC=.在△BCD中,因为CD=50,BC=,∠CBD=45°,∠CDB=90°+θ,由正弦定理,得=,解得cosθ=-1.因此,山对地面的斜度的余弦值为-1.-9-\n中档大题规范练——数列1.已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足:a2a4=64,a1+a5=18.(1)若1<i<21,a1,ai,a21是某等比数列的连续三项,求i的值.(2)设bn=,是否存在一个最小的常数m使得b1+b2+…+bn<m对于任意的正整数n均成立,若存在,求出常数m;若不存在,请说明理由.解 (1)数列{an}为等差数列,因为a1+a5=a2+a4=18,又a2a4=65,所以a2,a4是方程x2-18x+65=0的两个根,又公差d>0,所以a2<a4,所以a2=5,a4=13.所以①所以a1=1,d=4.所以an=4n-3.由1<i<21,a1,ai,a21是某等比数列的连续三项,所以a1a21=a,即1×81=(4i-3)2,解得i=3.(2)由(1)知,Sn=n×1+×4=2n2-n,所以bn==(-),②所以b1+b2+…+bn=(1-+-+…+-)=,因为=-<,③所以存在m=使b1+b2+…+bn<m对于任意的正整数n均成立.2.设Sn为数列{an}的前n项和,已知a1≠0,2an-a1=S1·Sn,n∈N*.(1)求a1,a2,并求数列{an}的通项公式;(2)求数列{nan}的前n项和.解 (1)令n=1,得2a1-a1=a,即a1=a.因为a1≠0,所以a1=1.令n=2,得2a2-1=S2=1+a2,解得a2=2.当n≥2时,由2an-1=Sn,2an-1-1=Sn-1,两式相减得2an-2an-1=an,即an=2an-1.于是数列{an}是首项为1,公比为2的等比数列.因此,an=2n-1.所以数列{an}的通项公式为an=2n-1.(2)由(1)知,nan=n·2n-1.记数列{n·2n-1}的前n项和为Bn,于是Bn=1+2×2+3×22+…+n×2n-1,①2Bn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n.②①-②,得-Bn=1+2+22+…+2n-1-n·2n=2n-1-n·2n.-9-\n从而Bn=1+(n-1)·2n.即数列{nan}的前n项和为1+(n-1)·2n.3.设数列{an}的前n项和为Sn,满足2Sn=an+1-2n+1+1,n∈N*,且a1=1,设数列{bn}满足bn=an+2n.(1)求证数列{bn}为等比数列,并求出数列{an}的通项公式;(2)若数列cn=,Tn是数列{cn}的前n项和,证明:Tn<3.(1)解 当n≥2时,由⇒2an=an+1-an-2n⇒an+1=3an+2n,从而bn+1=an+1+2n+1=3(an+2n)=3bn,故{bn}是以3为首项,3为公比的等比数列,bn=an+2n=3×3n-1=3n,an=3n-2n(n≥2),因为a1=1也满足,于是an=3n-2n.(2)证明 cn==,则Tn=+++…++,①Tn=+++…++,②①-②,得Tn=+++…+-=1+·-=2--=2-,故Tn=3-<3.4.已知单调递增数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=(a+n).(1)求数列{an}的通项公式;(2)设cn=求数列{cn}的前n项和Tn.解 (1)n=1时,a1=(a21+1),得a1=1,由Sn=(a+n),①则当n≥2时,Sn-1=(a+n-1),②-9-\n①-②得an=Sn-Sn-1=(a-a+1),化简得(an-1)2-a=0,an-an-1=1或an+an-1=1(n≥2),又{an}是单调递增数列,故an-an-1=1,所以{an}是首项为1,公差为1的等差数列,故an=n.(2)cn=当n为偶数时,Tn=(c1+c3+…+cn-1)+(c2+c4+…+cn)=(++…+)+3×(21+23+…+2n-1)+=++…++3×+=×(-+-+…+-)+2×(4-1)+=2n+1+.当n为奇数时,Tn=(c1+c3+…+cn)+(c2+c4+…+cn-1)=[++…+]+3×(21+23+…+2n-2)+=×(-+-+…+-)+2×(4-1)+=2n+.所以Tn=5.已知函数f(x)=,数列{an}满足a1=1,an+1=f(),n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式;(2)令bn=(n≥2),b1=3,Sn=b1+b2+…+bn,若Sn<对一切n∈N*恒成立,求最小正整数m.解 (1)∵an+1=f()===an+,∴{an}是以1为首项,为公差的等差数列.∴an=1+(n-1)×=n+.(2)当n≥2时,bn==-9-\n==(-),又b1=3=(1-),∴Sn=b1+b2+…+bn=(1-+-+…+-)=(1-)=,∵Sn<对一切n∈N*恒成立,即<对一切n∈N*恒成立,又<,∴≥,即m≥2023.∴最小正整数m为2023.6.某工厂为扩大生产规模,今年年初新购置了一条高性能的生产线,该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加,第一年的维护费用是4万元,从第二年到第七年,每年的维护费用均比上年增加2万元,从第八年开始,每年的维护费用比上年增加25%.(1)设第n年该生产线的维护费用为an,求an的表达式;(2)若该生产线前n年每年的平均维护费用大于12万元时,需要更新生产线.求该生产线前n年每年的平均维护费用,并判断第几年年初需要更新该生产线?解 (1)由题意知,当n≤7时,数列{an}是首项为4,公差为2的等差数列,所以an=4+(n-1)×2=2n+2.当n≥8时,数列{an}从a7开始构成首项为a7=2×7+2=16,公比为1+25%=的等比数列,则此时an=16×n-7,所以an=(2)设Sn为数列{an}的前n项和,当1≤n≤7时,Sn=4n+×2=n2+3n,当n≥8时,由S7=72+3×7=70,则Sn=70+16××=80×n-7-10,∴该生产线前n年的每年平均维护费用为=当1≤n≤7时,为递增数列,当n≥8时,-9-\n∵-=-=>0,∴>.∴也为递增数列.又∵=10<12,==11.25<12,=≈12.78>12,则第9年年初需更新生产线.-9-

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发布时间:2022-08-26 00:16:27 页数:9
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文章作者:U-336598

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