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【考前三个月】(江苏专用)2022高考数学 压轴大题突破练 导数的应用

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中档大题规范练——导数的应用1.已知函数f(x)=x3-2x+1,g(x)=lnx.(1)求F(x)=f(x)-g(x)的单调区间和极值;(2)是否存在实常数k和m,使得x>0时,f(x)≥kx+m且g(x)≤kx+m?若存在,求出k和m的值;若不存在,请说明理由.解 (1)由F(x)=x3-2x+1-lnx(x>0),得F′(x)=(x>0),令F′(x)=0得x=1,易知F(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,从而F(x)的极小值为F(1)=0.(2)易知f(x)与g(x)有一个公共点(1,0),而函数g(x)在点(1,0)处的切线方程为y=x-1,下面只需验证都成立即可.设h(x)=x3-2x+1-(x-1)(x>0),则h′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)(x>0).易知h(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以h(x)的最小值为h(1)=0,所以f(x)≥x-1恒成立.设k(x)=lnx-(x-1),则k′(x)=(x>0).易知k(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以k(x)的最大值为k(1)=0,所以g(x)≤x-1恒成立.故存在这样的实常数k=1和m=-1,使得x>0时,f(x)≥kx+m且g(x)≤kx+m.2.设函数f(x)=ax3+bx2+cx在区间[0,1]上单调递增,在区间(-∞,0),(1,+∞)上单调递减,又f′()=.(1)求f(x)的解析式;(2)若在区间[0,m](m>0)上恒有f(x)≤x成立,求m的取值范围.解 (1)f′(x)=3ax2+2bx+c,由已知f′(0)=f′(1)=0,即解得所以f′(x)=3ax2-3ax,所以f′()=-=,所以a=-2,b=3,所以f(x)=-2x3+3x2.(2)令f(x)≤x,即-2x3+3x2-x≤0,所以x(2x-1)(x-1)≥0,所以0≤x≤或x≥1.又f(x)≤x在区间[0,m]上恒成立,所以0<m≤.-5-\n3.已知函数f(x)=ax3+x2+bx(其中常数a,b∈R),g(x)=f(x)+f′(x)是奇函数.(1)求f(x)的表达式;(2)讨论g(x)的单调性,并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值.解 (1)由题意得f′(x)=3ax2+2x+b,因此g(x)=f(x)+f′(x)=ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b.因为函数g(x)是奇函数,所以g(-x)=-g(x),即对任意实数x,有a(-x)3+(3a+1)(-x)2+(b+2)(-x)+b=-[ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b],从而3a+1=0,b=0,解得a=-,b=0,因此f(x)的表达式为f(x)=-x3+x2.(2)由(1)知g(x)=-x3+2x,所以g′(x)=-x2+2.令g′(x)=0,解得x1=-,x2=,则当x<-或x>时,g′(x)<0,从而g(x)在区间(-∞,-),(,+∞)上是减函数;当-<x<时,g′(x)>0,从而g(x)在区间(-,)上是增函数.由上述讨论知,g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x=1,,2时取得,而g(1)=,g()=,g(2)=,因此g(x)在区间[1,2]上的最大值为g()=,最小值为g(2)=.4.甲方是一农场,乙方是一工厂.由于乙方生产需占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入,在乙方不赔付甲方的情况下,乙方的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系x=2000.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方S元(以下称S为赔付价格).(1)将乙方的年利润ω(元)表示为年产量t(吨)的函数,并求出乙方获得最大利润的年产量;(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y=0.002t2(元),在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格S是多少?解 (1)因为赔付价格为S元/吨,所以乙方的实际年利润为ω=2000-St.ω′=-S=,令ω′=0,得t=t0=()2.当t<t0时,ω′>0;当t>t0时,ω′<0,所以t=t0时,ω取得最大值.因此乙方获得最大利润的年产量t0=()2(吨).-5-\n(2)设甲方净收入为v元,则v=St-0.002t2将t=()2代入上式,得到甲方净收入v与赔付价格S之间的函数关系式:v=-.又v′=-+=,令v′=0,得S=20.当S<20时,v′>0;当S>20时,v′<0,所以S=20时,v取得最大值.因此甲方向乙方要求的赔付价格S=20(元/吨)时,获得最大净收入.5.已知函数f(x)=lnx+,a∈R.(1)若函数f(x)在[2,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围;(2)若函数f(x)在[1,e]上的最小值为3,求实数a的值.解 (1)∵f(x)=lnx+,∴f′(x)=-.∵f(x)在[2,+∞)上是增函数,∴f′(x)=-≥0在[2,+∞)上恒成立,即a≤在[2,+∞)上恒成立.令g(x)=,则a≤g(x)min,x∈[2,+∞),∵g(x)=在[2,+∞)上是增函数,∴g(x)min=g(2)=1.∴a≤1.∴实数a的取值范围为(-∞,1].(2)由(1)得f′(x)=,x∈[1,e].①若2a<1,则x-2a>0,即f′(x)>0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上是增函数.∴f(x)min=f(1)=2a=3,解得a=(舍去).②若1≤2a≤e,令f′(x)=0,得x=2a.当1<x<2a时,f′(x)<0,∴f(x)在(1,2a)上是减函数,当2a<x<e时,f′(x)>0,∴f(x)在(2a,e)上是增函数.∴f(x)min=f(2a)=ln(2a)+1=3,解得a=(舍去).③若2a>e,则x-2a<0,即f′(x)<0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上是减函数.-5-\n∴f(x)min=f(e)=1+=3,得a=e.适合题意.综上a=e.6.已知函数f(x)=alnx+ax2+bx(a≠0).(1)若函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为y=3x-b,求a、b的值;(2)若a=2时,函数f(x)是增函数,求实数b的取值范围;(3)设函数g(x)=lnx的图象C1与函数h(x)=f(x)-ag(x)的图象C2交于点P、Q,过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N,问是否存在点R,使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行?若存在,求出R的横坐标;若不存在,请说明理由.解 (1)函数f(x)=alnx+ax2+bx的定义域为(0,+∞),f′(x)=+ax+b=,当x=1时,f′(1)=2a+b=3,f(1)=a+b,所以函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为y-(a+b)=3(x-1),即y=3x+(a+b-3),所以a+b-3=-b,解方程组得a=b=1.(2)由(1)知,f′(x)=+2x+b,则f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,即b≥--2x在(0,+∞)上恒成立,因为+2x≥2=4(当且仅当x=1时等号成立),所以--2x≤-4,所以b≥-4,故实数b的取值范围为[-4,+∞).(3)设点P、Q的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),且0<x1<x2,则点M、N的横坐标均为x=.C1在点M处的切线斜率为k1=|x==.C2在点N处的切线斜率为k2=(ax+b)|x==+b.假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行,则k1=k2,则=+b,-5-\n即=+b(x2-x1)=(x+bx2)-(x+bx1)=y2-y1=lnx2-lnx1=ln,所以ln==,令u=>1,则lnu=,u>1,①令r(u)=lnu-,u>1,则r′(u)=-=.因为u>1,所以r′(u)>0,所以r(u)在(1,+∞)上单调递增,故r(u)>r(1)=0,则lnu>,这与①矛盾,故假设不成立.即不存在满足题意的点R.-5-

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发布时间:2022-08-26 00:16:26 页数:5
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文章作者:U-336598

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