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【考前三个月】(江苏专用)2022高考数学 压轴大题突破练 数列

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中档大题规范练——数列1.已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足:a2a4=64,a1+a5=18.(1)若1<i<21,a1,ai,a21是某等比数列的连续三项,求i的值.(2)设bn=,是否存在一个最小的常数m使得b1+b2+…+bn<m对于任意的正整数n均成立,若存在,求出常数m;若不存在,请说明理由.解 (1)数列{an}为等差数列,因为a1+a5=a2+a4=18,又a2a4=65,所以a2,a4是方程x2-18x+65=0的两个根,又公差d>0,所以a2<a4,所以a2=5,a4=13.所以①所以a1=1,d=4.所以an=4n-3.由1<i<21,a1,ai,a21是某等比数列的连续三项,所以a1a21=a,即1×81=(4i-3)2,解得i=3.(2)由(1)知,Sn=n×1+×4=2n2-n,所以bn==(-),②所以b1+b2+…+bn=(1-+-+…+-)=,因为=-<,③所以存在m=使b1+b2+…+bn<m对于任意的正整数n均成立.2.设Sn为数列{an}的前n项和,已知a1≠0,2an-a1=S1·Sn,n∈N*.(1)求a1,a2,并求数列{an}的通项公式;(2)求数列{nan}的前n项和.解 (1)令n=1,得2a1-a1=a,即a1=a.因为a1≠0,所以a1=1.令n=2,得2a2-1=S2=1+a2,解得a2=2.当n≥2时,由2an-1=Sn,2an-1-1=Sn-1,两式相减得2an-2an-1=an,即an=2an-1.于是数列{an}是首项为1,公比为2的等比数列.因此,an=2n-1.所以数列{an}的通项公式为an=2n-1.(2)由(1)知,nan=n·2n-1.记数列{n·2n-1}的前n项和为Bn,于是Bn=1+2×2+3×22+…+n×2n-1,①2Bn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n.②①-②,得-5-\n-Bn=1+2+22+…+2n-1-n·2n=2n-1-n·2n.从而Bn=1+(n-1)·2n.即数列{nan}的前n项和为1+(n-1)·2n.3.设数列{an}的前n项和为Sn,满足2Sn=an+1-2n+1+1,n∈N*,且a1=1,设数列{bn}满足bn=an+2n.(1)求证数列{bn}为等比数列,并求出数列{an}的通项公式;(2)若数列cn=,Tn是数列{cn}的前n项和,证明:Tn<3.(1)解 当n≥2时,由⇒2an=an+1-an-2n⇒an+1=3an+2n,从而bn+1=an+1+2n+1=3(an+2n)=3bn,故{bn}是以3为首项,3为公比的等比数列,bn=an+2n=3×3n-1=3n,an=3n-2n(n≥2),因为a1=1也满足,于是an=3n-2n.(2)证明 cn==,则Tn=+++…++,①Tn=+++…++,②①-②,得Tn=+++…+-=1+·-=2--=2-,故Tn=3-<3.4.已知单调递增数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=(a+n).(1)求数列{an}的通项公式;(2)设cn=求数列{cn}的前n项和Tn.解 (1)n=1时,a1=(a21+1),得a1=1,由Sn=(a+n),①则当n≥2时,Sn-1=(a+n-1),②-5-\n①-②得an=Sn-Sn-1=(a-a+1),化简得(an-1)2-a=0,an-an-1=1或an+an-1=1(n≥2),又{an}是单调递增数列,故an-an-1=1,所以{an}是首项为1,公差为1的等差数列,故an=n.(2)cn=当n为偶数时,Tn=(c1+c3+…+cn-1)+(c2+c4+…+cn)=(++…+)+3×(21+23+…+2n-1)+=++…++3×+=×(-+-+…+-)+2×(4-1)+=2n+1+.当n为奇数时,Tn=(c1+c3+…+cn)+(c2+c4+…+cn-1)=[++…+]+3×(21+23+…+2n-2)+=×(-+-+…+-)+2×(4-1)+=2n+.所以Tn=5.已知函数f(x)=,数列{an}满足a1=1,an+1=f(),n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式;(2)令bn=(n≥2),b1=3,Sn=b1+b2+…+bn,若Sn<对一切n∈N*恒成立,求最小正整数m.解 (1)∵an+1=f()===an+,∴{an}是以1为首项,为公差的等差数列.∴an=1+(n-1)×=n+.(2)当n≥2时,bn==-5-\n==(-),又b1=3=(1-),∴Sn=b1+b2+…+bn=(1-+-+…+-)=(1-)=,∵Sn<对一切n∈N*恒成立,即<对一切n∈N*恒成立,又<,∴≥,即m≥2023.∴最小正整数m为2023.6.某工厂为扩大生产规模,今年年初新购置了一条高性能的生产线,该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加,第一年的维护费用是4万元,从第二年到第七年,每年的维护费用均比上年增加2万元,从第八年开始,每年的维护费用比上年增加25%.(1)设第n年该生产线的维护费用为an,求an的表达式;(2)若该生产线前n年每年的平均维护费用大于12万元时,需要更新生产线.求该生产线前n年每年的平均维护费用,并判断第几年年初需要更新该生产线?解 (1)由题意知,当n≤7时,数列{an}是首项为4,公差为2的等差数列,所以an=4+(n-1)×2=2n+2.当n≥8时,数列{an}从a7开始构成首项为a7=2×7+2=16,公比为1+25%=的等比数列,则此时an=16×n-7,所以an=(2)设Sn为数列{an}的前n项和,当1≤n≤7时,Sn=4n+×2=n2+3n,当n≥8时,由S7=72+3×7=70,则Sn=70+16××=80×n-7-10,∴该生产线前n年的每年平均维护费用为=当1≤n≤7时,为递增数列,当n≥8时,-5-\n∵-=-=>0,∴>.∴也为递增数列.又∵=10<12,==11.25<12,=≈12.78>12,则第9年年初需更新生产线.-5-

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发布时间:2022-08-26 00:16:26 页数:5
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文章作者:U-336598

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