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【考前三个月】(江苏专用)2022高考数学 压轴大题突破练 直线与圆

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中档大题规范练——直线与圆1.已知圆O:x2+y2=4和点M(1,a).(1)若过点M有且只有一条直线与圆O相切,求实数a的值,并求出切线方程.(2)若a=,过点M的圆的两条弦AC,BD互相垂直,求AC+BD的最大值.解 (1)由条件知点M在圆O上,所以1+a2=4,则a=±.当a=时,点M为(1,),kOM=,k切=-,此时切线方程为y-=-(x-1).即x+y-4=0,当a=-时,点M为(1,-),kOM=-,k切=.此时切线方程为y+=(x-1).即x-y-4=0.所以所求的切线方程为x+y-4=0或x-y-4=0.(2)设O到直线AC,BD的距离分别为d1,d2(d1,d2≥0),则d+d=OM2=3.又有AC=2,BD=2,所以AC+BD=2+2.则(AC+BD)2=4×(4-d+4-d+2·)=4×[5+2]=4×(5+2).因为2d1d2≤d+d=3,所以dd≤,当且仅当d1=d2=时取等号,所以≤,所以(AC+BD)2≤4×(5+2×)=40.所以AC+BD≤2,即AC+BD的最大值为2.2.已知圆C:(x+1)2+y2=8.(1)设点Q(x,y)是圆C上一点,求x+y的取值范围;(2)在直线x+y-7=0上找一点P(m,n),使得过该点所作圆C的切线段最短.解 (1)设x+y=t,因为Q(x,y)是圆上的任意一点,所以该直线与圆相交或相切,即≤2,解得-5≤t≤3,即x+y的取值范围是[-5,3].(2)因为圆心C到直线x+y-7=0的距离d==4>2=r,-4-\n所以直线与圆相离,因为切线、圆心与切点的连线、切线上的点与圆心的连线,组成一直角三角形且半径为定值;所以只有当过圆心向直线x+y-7=0作垂线,过其垂足作的切线段最短,其垂足即为所求.设过圆心作直线x+y-7=0的垂线为x-y+c=0.又因为该线过圆心(-1,0),所以-1-0+c=0,即c=1,而x+y-7=0与x-y+1=0的交点为(3,4),即点P坐标为(3,4).3.已知点P(0,5)及圆C:x2+y2+4x-12y+24=0.(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4,求l的方程;(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.解 (1)如图所示,AB=4,将圆C方程化为标准方程为(x+2)2+(y-6)2=16,∴圆C的圆心坐标为(-2,6),半径r=4,设D是线段AB的中点,则CD⊥AB,又AD=2,AC=4.在Rt△ACD中,可得CD=2.设所求直线l的斜率为k,则直线l的方程为y-5=kx,即kx-y+5=0.由点C到直线l的距离公式:=2,得k=.故直线l的方程为3x-4y+20=0.又直线l的斜率不存在时,也满足题意,此时方程为x=0.∴所求直线l的方程为x=0或3x-4y+20=0.(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x,y),则CD⊥PD,即·=0,∴(x+2,y-6)·(x,y-5)=0,化简得所求轨迹方程为x2+y2+2x-11y+30=0.4.a为何值时,(1)直线l1:x+2ay-1=0与直线l2:(3a-1)x-ay-1=0平行?(2)直线l3:2x+ay=2与直线l4:ax+2y=1垂直?解 (1)①当a=0时,两直线的斜率不存在,直线l1:x-1=0,直线l2:x+1=0,此时,l1∥l2.②当a≠0时,l1:y=-x+,l2:y=x-,直线l1的斜率为k1=-,-4-\n直线l2的斜率为k2=,要使两直线平行,必须解得a=.综合①②可得当a=0或a=时,两直线平行.(2)方法一 ①当a=0时,直线l3的斜率不存在,直线l3:x-1=0,直线l4:y-=0,此时,l3⊥l4.②当a≠0时,直线l3:y=-x+与直线l4:y=-x+,直线l3的斜率为k3=-,直线l4的斜率为k4=-,要使两直线垂直,必须k3·k4=-1,即-·=-1,不存在实数a使得方程成立.综合①②可得当a=0时,两直线垂直.方法二 要使直线l3:2x+ay=2和直线l4:ax+2y=1垂直,根据两直线垂直的充要条件,必须A1A2+B1B2=0,即2a+2a=0,解得a=0,所以,当a=0时,两直线垂直.5.已知圆C的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0,一定点为A(1,2),且过定点A(1,2)作圆的切线有两条,求a的取值范围.解 将圆C的方程配方有(x+)2+(y+1)2=,∴>0,①∴圆心C的坐标为(-,-1),半径r=.当点A在圆外时,过点A可作圆的两条切线,∴AC>r,即>,化简得a2+a+9>0.②由①②得-<a<,∴a的取值范围是-<a<.6.已知以点C(t,)(t∈R,t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A,与y轴交于点O、B,其中O为原点.(1)求证:△AOB的面积为定值;(2)设直线2x+y-4=0与圆C交于点M、N,若OM=ON,求圆C的方程;(3)在(2)的条件下,设P、Q分别是直线l:x+y+2=0和圆C上的动点,求PB+PQ的最小值及此时点P的坐标.-4-\n(1)证明 由题设知,圆C的方程为(x-t)2+(y-)2=t2+,化简得x2-2tx+y2-y=0,当y=0时,x=0或2t,则A(2t,0);当x=0时,y=0或,则B(0,),所以S△AOB=OA·OB=|2t|·||=4为定值.即△AOB的面积为定值.(2)解 ∵OM=ON,则原点O在MN的中垂线上,设MN的中点为H,则CH⊥MN,∴C、H、O三点共线,则直线OC的斜率k===,∴t=2或t=-2.∴圆心为C(2,1)或C(-2,-1),∴圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5或(x+2)2+(y+1)2=5.由于当圆方程为(x+2)2+(y+1)2=5时,圆心到直线2x+y-4=0的距离d>r,此时不满足直线与圆相交,故舍去,∴圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.(3)解 点B(0,2)关于直线x+y+2=0的对称点B′(-4,-2),则PB+PQ=PB′+PQ≥B′Q,又B′到圆上点Q的最短距离为B′C-r=-=3-=2.所以PB+PQ的最小值为2,直线B′C的方程为y=x,则直线B′C与直线x+y+2=0的交点P的坐标为(-,-).-4-

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发布时间:2022-08-26 00:16:25 页数:4
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文章作者:U-336598

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