2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第4章　必刷大题9　解三角形

必刷大题9　解三角形1．(2023·郑州模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2ccosC＝acosB－bcos(B＋C)．(1)求角C；(2)若c＝6，△ABC的面积S＝6bsinB，求S.解　(1)因为A＋B＋C＝π，所以cos(B＋C)＝－cosA，所以2ccosC＝acosB＋bcosA，由正弦定理得2sinCcosC＝sinAcosB＋sinBcosA＝sin(A＋B)．因为sin(A＋B)＝sinC，所以2sinCcosC＝sinC.因为C∈(0，π)，所以sinC≠0，所以cosC＝，则C＝.(2)由S＝6bsinB，根据面积公式得6bsinB＝acsinB＝3asinB，所以a＝2b.由余弦定理得cosC＝＝，整理得a2＋b2－ab＝36，即3b2＝36，所以b＝2，a＝4.所以△ABC的面积S＝absinC＝×4×2sin ＝6.2.(2023·唐山模拟)如图，在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝bsin2C＋2c(sinA－sinBcosC)．(1)求sinC的值；(2)在BC的延长线上有一点D，使得∠DAC＝，AD＝10，求AC，CD.解　(1)在锐角△ABC中，a＝bsin2C＋2c(sinA－sinBcosC)，由正弦定理得sinA＝2sinBsinCcosC＋2sinC(sinA－sinBcosC)＝2sinAsinC，而sinA>0，所以sinC＝.6 (2)因为△ABC是锐角三角形，由(1)得cos∠ACB＝＝＝，sin∠ADC＝sin＝(sin∠ACB－cos∠ACB)＝×＝，在△ACD中，由正弦定理得＝＝，即＝＝＝5，解得CD＝，AC＝，所以CD＝，AC＝.3．(2023·德州模拟)在①asinB＝bsin；②(a＋b)(sinA－sinB)＝(b＋c)sinC；③bsin ＝asinB三个条件中任选一个补充在下面横线上，并解决问题．问题：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足________．(1)求角A；(2)若A的角平分线AD长为1，且b＋c＝6，求sinBsinC的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解　(1)选①：由asinB＝bsin得，sinAsinB＝sinBsin.即sinA＝sin，则A＝A－(舍)或A＋A－＝π，所以A＝.选②：由(a＋b)(sinA－sinB)＝(b＋c)sinC得，(a＋b)(a－b)＝(b＋c)c，即b2＋c2－a2＝－bc，由余弦定理得cosA＝＝－，又A∈(0，π)，所以A＝.6 选③：由bsin ＝asinB得，sin ＝sinA，即cos ＝2sin cos ，因为cos ≠0，所以sin＝，又A∈(0，π)，所以A＝.(2)由S△ABD＋S△ADC＝S△ABC得，(b＋c)＝bc，即bc＝b＋c＝6，在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－bc＝36－6＝30，解得a＝，由正弦定理得＝＝＝2R＝2，即R＝，所以sinBsinC＝＝＝.所以sinBsinC的值为.4．已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且满足bcosC＋bsinC－a－c＝0.(1)求B；(2)若b＝2，求锐角△ABC的周长l的取值范围．解　(1)由bcosC＋bsinC－a－c＝0，可得sinBcosC＋sinBsinC－sinA－sinC＝0⇒sinBcosC＋sinBsinC－sin(B＋C)－sinC＝0⇒sinBcosC＋sinBsinC－sinBcosC－cosBsinC－sinC＝0⇒sinBsinC－cosBsinC－sinC＝0⇒sinB－cosB＝1⇒sin＝，因为B∈，所以B＝.(2)因为B＝，b＝2，6 利用正弦定理得＝＝＝＝，所以a＝sinA，c＝sinC，所以l＝a＋b＋c＝2＋(sinA＋sinC)，所以l＝2＋＝2＋4sin，因为△ABC是锐角三角形，所以0<A<，A＋B＝A＋>，所以<A<，<A＋<，所以sin∈，所以2＋2<2＋4sin≤6，所以△ABC的周长l的取值范围为(2＋2，6]．5.(2022·沈阳模拟)如图，某水域的两条直线型岸边l1，l2的夹角为60°，某渔民准备安装一直线型隔离网BC(B，C分别在l1，l2上)，围出养殖区△ABC.(1)若BC＝6km，求养殖区△ABC的面积(单位：km2)的最大值；(2)若△ABC是锐角三角形，且AB＝4km，求养殖区△ABC面积(单位：km2)的取值范围．解　(1)由题意可知∠BAC＝60°，BC＝6.在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC，即AB2＋AC2－AB·AC＝36.因为AB2＋AC2≥2AB·AC，当且仅当AB＝AC＝6时等号成立，所以AB2＋AC2－AB·AC≥AB·AC，即AB·AC≤36.故△ABC的面积S＝AB·ACsin∠BAC≤×36×＝9.即养殖区△ABC面积的最大值为9km2.6 (2)因为AB＝4，∠BAC＝60°，所以△ABC的面积S＝AB·ACsin∠BAC＝AC.在△ABC中，由正弦定理可得＝，则AC＝＝＝＋2.因为△ABC是锐角三角形，所以所以30°<∠ACB<90°，所以tan∠ACB>，所以0<<，则2<＋2<8，即2<AC<8.故S＝AC∈(2，8)，即△ABC面积的取值范围是(2，8)．6．(2023·广州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC.(1)求角A的大小；(2)若a＝1时b＋λc存在最大值，求正数λ的取值范围．解　(1)已知sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC，由正弦定理得a2＝b2＋c2＋bc，所以b2＋c2－a2＝－bc.由余弦定理得cosA＝＝＝－.又A∈(0，π)，所以A＝.(2)由正弦定理＝＝＝，得b＋λc＝(sinB＋λsinC)＝[sin(A＋C)＋λsinC]＝＝sin(C＋φ)，φ∈，其中tanφ＝＝.因为C∈，要使b＋λc存在最大值，即C＋φ＝有解，所以φ∈，从而>，即0<2λ－1<3，6 所以正数λ的取值范围为.6