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2024年高考数学一轮复习(新高考版) 第4章 必刷大题9 解三角形

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必刷大题9 解三角形1.(2023·郑州模拟)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2ccosC=acosB-bcos(B+C).(1)求角C;(2)若c=6,△ABC的面积S=6bsinB,求S.解 (1)因为A+B+C=π,所以cos(B+C)=-cosA,所以2ccosC=acosB+bcosA,由正弦定理得2sinCcosC=sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B).因为sin(A+B)=sinC,所以2sinCcosC=sinC.因为C∈(0,π),所以sinC≠0,所以cosC=,则C=.(2)由S=6bsinB,根据面积公式得6bsinB=acsinB=3asinB,所以a=2b.由余弦定理得cosC==,整理得a2+b2-ab=36,即3b2=36,所以b=2,a=4.所以△ABC的面积S=absinC=×4×2sin =6.2.(2023·唐山模拟)如图,在锐角△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=bsin2C+2c(sinA-sinBcosC).(1)求sinC的值;(2)在BC的延长线上有一点D,使得∠DAC=,AD=10,求AC,CD.解 (1)在锐角△ABC中,a=bsin2C+2c(sinA-sinBcosC),由正弦定理得sinA=2sinBsinCcosC+2sinC(sinA-sinBcosC)=2sinAsinC,而sinA>0,所以sinC=.6 (2)因为△ABC是锐角三角形,由(1)得cos∠ACB===,sin∠ADC=sin=(sin∠ACB-cos∠ACB)=×=,在△ACD中,由正弦定理得==,即===5,解得CD=,AC=,所以CD=,AC=.3.(2023·德州模拟)在①asinB=bsin;②(a+b)(sinA-sinB)=(b+c)sinC;③bsin =asinB三个条件中任选一个补充在下面横线上,并解决问题.问题:在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足________.(1)求角A;(2)若A的角平分线AD长为1,且b+c=6,求sinBsinC的值.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.解 (1)选①:由asinB=bsin得,sinAsinB=sinBsin.即sinA=sin,则A=A-(舍)或A+A-=π,所以A=.选②:由(a+b)(sinA-sinB)=(b+c)sinC得,(a+b)(a-b)=(b+c)c,即b2+c2-a2=-bc,由余弦定理得cosA==-,又A∈(0,π),所以A=.6 选③:由bsin =asinB得,sin =sinA,即cos =2sin cos ,因为cos ≠0,所以sin=,又A∈(0,π),所以A=.(2)由S△ABD+S△ADC=S△ABC得,(b+c)=bc,即bc=b+c=6,在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-bc=36-6=30,解得a=,由正弦定理得===2R=2,即R=,所以sinBsinC===.所以sinBsinC的值为.4.已知a,b,c分别为锐角△ABC三个内角A,B,C的对边,且满足bcosC+bsinC-a-c=0.(1)求B;(2)若b=2,求锐角△ABC的周长l的取值范围.解 (1)由bcosC+bsinC-a-c=0,可得sinBcosC+sinBsinC-sinA-sinC=0⇒sinBcosC+sinBsinC-sin(B+C)-sinC=0⇒sinBcosC+sinBsinC-sinBcosC-cosBsinC-sinC=0⇒sinBsinC-cosBsinC-sinC=0⇒sinB-cosB=1⇒sin=,因为B∈,所以B=.(2)因为B=,b=2,6 利用正弦定理得====,所以a=sinA,c=sinC,所以l=a+b+c=2+(sinA+sinC),所以l=2+=2+4sin,因为△ABC是锐角三角形,所以0<A<,A+B=A+>,所以<A<,<A+<,所以sin∈,所以2+2<2+4sin≤6,所以△ABC的周长l的取值范围为(2+2,6].5.(2022·沈阳模拟)如图,某水域的两条直线型岸边l1,l2的夹角为60°,某渔民准备安装一直线型隔离网BC(B,C分别在l1,l2上),围出养殖区△ABC.(1)若BC=6km,求养殖区△ABC的面积(单位:km2)的最大值;(2)若△ABC是锐角三角形,且AB=4km,求养殖区△ABC面积(单位:km2)的取值范围.解 (1)由题意可知∠BAC=60°,BC=6.在△ABC中,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC,即AB2+AC2-AB·AC=36.因为AB2+AC2≥2AB·AC,当且仅当AB=AC=6时等号成立,所以AB2+AC2-AB·AC≥AB·AC,即AB·AC≤36.故△ABC的面积S=AB·ACsin∠BAC≤×36×=9.即养殖区△ABC面积的最大值为9km2.6 (2)因为AB=4,∠BAC=60°,所以△ABC的面积S=AB·ACsin∠BAC=AC.在△ABC中,由正弦定理可得=,则AC===+2.因为△ABC是锐角三角形,所以所以30°<∠ACB<90°,所以tan∠ACB>,所以0<<,则2<+2<8,即2<AC<8.故S=AC∈(2,8),即△ABC面积的取值范围是(2,8).6.(2023·广州模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC.(1)求角A的大小;(2)若a=1时b+λc存在最大值,求正数λ的取值范围.解 (1)已知sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC,由正弦定理得a2=b2+c2+bc,所以b2+c2-a2=-bc.由余弦定理得cosA===-.又A∈(0,π),所以A=.(2)由正弦定理===,得b+λc=(sinB+λsinC)=[sin(A+C)+λsinC]==sin(C+φ),φ∈,其中tanφ==.因为C∈,要使b+λc存在最大值,即C+φ=有解,所以φ∈,从而>,即0<2λ-1<3,6 所以正数λ的取值范围为.6

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发布时间:2024-09-11 13:40:02 页数:6
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文章作者:180****8757

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