备考2024届高考数学一轮复习大题规范练3解三角形

大题规范3　解三角形考情综述　解三角形解答题，常出现在大题的前两题位置，难度中等偏易，是高考得分的基本组成部分.主要考查正、余弦定理的应用，常需要结合三角恒等变换进行求解，注重考查基础知识、基本方法在解题中的灵活运用，以及数学抽象、数学运算和逻辑推理素养.从近几年的命题情况来看，高频命题角度有求三角形的边、角、面积、周长问题，解三角形中的最值与范围问题，三角形中的高线、中线模型等.在解题过程中，要注意灵活使用三角恒等变换公式，注意挖掘题目中隐含的各种限制条件，选择合理的解决方法，灵活地实现问题的转化.在书写表达方面，应注意推理的充分性，确保“会而不失分”！示例　[2023新高考卷Ⅰ/10分]已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin（A－C）＝sinB.（1）求sinA；（2）设AB＝5，求AB边上的高.思维导引　（1）A＋B＝3CA+B+C=π求出角C2sin（A－C）＝sinBB往A转化求解sinA的值（2）AB＝5由1得C与sinA的值用正弦定理得BC余弦定理得AC等面积法得AB边上的高规范答题（1）在△ABC中，A＋B＋C＝π，因为A＋B＝3C，所以3C＋C＝π，所以C＝π4.（1分）→注意三角形的内角和为π在解题中的应用.因为2sin（A－C）＝sinB，所以2sin（A－π4）＝sin（3π4－A），（2分）→将含有三个角的三角等式，往要求的角A转化.展开并整理得2（sinA－cosA）＝22（cosA＋sinA），（3分）→两角差的正弦公式与两角差的余弦公式不要搞混.得sinA＝3cosA，（4分）又sin2A＋cos2A＝1，且sinA＞0，所以sinA＝31010.（5分）→注意条件“sin2A＋cos2A＝1”在解题中的应用.（2）由正弦定理，得BCsinA＝ABsinC，得BC＝ABsinC×sinA＝522×31010＝35，（6分）由（1）知，sinA＝31010，cosA＝1010，则sinB＝sin（A＋C）＝sin（A＋π4）＝sinAcosπ4＋cosAsinπ4＝31010×22＋1010×22＝255.（8分）→第（1）问中没有别的条件，其结论可以在第（2）问中合理使用. 设AB边上的高为h，则h＝BC×sinB＝35×255＝6，所以AB边上的高为6.（10分）感悟升华解三角形问题的答题策略1.转化思想的运用.即会把已知三角等式，利用正弦、余弦定理进行转化，若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑用正弦定理实现“角化边”；若式子中含有边的齐次式，优先考虑用正弦定理实现“边化角”；若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑用余弦定理实现“角化边”.另外，还需注意三角形内角和、大边对大角等在解题中的应用.2.会作图.根据题意作出草图，借助图形的直观性，可快速找到思维突破口.3.活用方法.求高问题可利用等面积法，求范围、最值问题可利用基本不等式、单调性法等进行求解.4.正确运用三角公式.牢记三角的有关公式，如同角三角函数基本关系式，诱导公式，二倍角公式，两角和（差）的正弦、余弦、正切公式，辅助角公式等，并能灵活运用这些公式求解.训练　[2024广东七校联考/10分]已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，3cbcosA＝tanA＋tanB.（1）求B；（2）若c＝4，求△ABC面积的取值范围.解析　（1）由正弦定理可得3cbcosA＝3sinCsinBcosA，（1分）又tanA＋tanB＝sinAcosA＋sinBcosB＝sinAcosB＋cosAsinBcosAcosB＝sin（A＋B）cosAcosB＝sin（π－C）cosAcosB＝sinCcosAcosB，3cbcosA＝tanA＋tanB，（3分）所以3sinCsinBcosA＝sinCcosAcosB，由C∈（0，π），可得sinC＞0，所以tanB＝3，又B∈（0，π），所以B＝π3.（求角时一定要先确定角的范围）（5分）（2）解法一　由（1）知B＝π3，又c＝4，所以S△ABC＝12acsinB＝3a，（6分）由B＝π3，A＋B＋C＝π，可得A＋C＝23π，则A＝2π3－C，因为△ABC是锐角三角形，所以0＜C＜π2，0＜A＝2π3－C＜π2，所以π6＜C＜π2，（注意锐角三角形的限制）（7分）由正弦定理asinA＝csinC且c＝4，得a＝csinAsinC＝4sinAsinC＝4sin（2π3－C）sinC＝23tanC＋2，（8分）因为π6＜C＜π2，所以tanC＞33，所以0＜1tanC＜3，所以2＜23tanC＋2＜8，（9分）所以23＜S△ABC＜83，即△ABC面积的取值范围为（23，83）.（10分） 解法二　由（1）知B＝π3，又c＝4，所以S△ABC＝12acsinB＝3a.（6分）由B＝π3，c＝4，结合余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosπ3＝a2－4a＋16，（7分）△ABC为锐角三角形应满足cosA>0，cosB>0，cosC>0，即b2＋c2＞a2，a2＋c2＞b2，a2＋b2＞c2，即a2－4a+16+16>a2，a2+16>a2－4a+16，a2＋a2－4a+16>16，解得2＜a＜8，（9分）所以23＜S△ABC＜83，即△ABC面积的取值范围为（23，83）.（10分）