2024年高考数学一轮复习讲练测：三角函数、解三角形 第04讲 解三角形（八大题型）（课件）

第04讲解三角形导师：稻壳儿高考一轮复习讲练测2024 01020304目录CONTENTS考情分析网络构建知识梳理题型归纳真题感悟 01PARTONE考情分析 稿定PPT稿定PPT，海量素材持续更新，上千款模板选择总有一款适合你02考点要求考题统计考情分析（1）掌握正弦定理、余弦定理及其变形．（2）能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．（3）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．2023年I卷II卷第17题，10分2023年甲卷第16题，5分2023年乙卷第18题，12分2022年I卷II卷第18题，12分高考对本节的考查不会有大的变化，仍将以考查正余弦定理的基本使用、面积公式的应用为主．从近五年的全国卷的考查情况来看，本节是高考的热点，主要以考查正余弦定理的应用和面积公式为主． 02PARTONE网络构建 03PARTONE知识梳理题型归纳 定理正弦定理余弦定理内容＝＝＝2Ra2＝；b2＝；c2＝_________________1.正弦定理与余弦定理b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC 变形(1)a＝2RsinA，b＝，c＝；(2)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝_____________；cosB＝____________；cosC＝____________2RsinB2RsinC 2.三角形中常用的面积公式 术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角.方位角θ的范围是0°≤θ<360°3.测量中的几个有关术语 方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α例：(1)北偏东α：(2)南偏西α：坡角与坡比坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tanθ 常用结论在△ABC中，常有以下结论：(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.(3)a>b⇔A>B⇔sinA>sinB，cosA<cosB.(5)三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB. 【例1】（2023·福建龙岩·高三校联考期中）在中，角所对的边分别为，若，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，因为，所以．故选：C．题型一：正弦定理的应用 【对点训练1】（2023·河南·襄城高中校联考三模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且，，则（）A．B．C．8D．4【答案】D【解析】在中，由可得，即所以，因为，所以，且，所以，又，可得，由正弦定理可得．故选：D．题型一：正弦定理的应用 【对点训练2】（2023·全国·高三专题练习）在中，内角的对边分别是，若，且，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意结合正弦定理可得，即，整理可得，由于，故，据此可得，则．故选：C．【解题方法总结】（1）已知两角及一边求解三角形；（2）已知两边一对角；（3）两边一对角，求第三边．题型一：正弦定理的应用 【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知的内角所对的边分别为满足且，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题，，又，，，故选：A．题型二：余弦定理的应用 【对点训练3】（2023·河南·高三统考阶段练习）在中，角的对边分别为，若，则（）A．B．C．或D．或【答案】C【解析】由正弦定理，得，又，所以，所以，因为，所以或，故选：C．【解题方法总结】（1）已知两边一夹角或两边及一对角，求第三边．（2）已知三边求角或已知三边判断三角形的形状，先求最大角的余弦值，若余弦值题型二：余弦定理的应用 【例3】（2023·甘肃酒泉·统考三模）在中内角的对边分别为，若，则的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】由正弦定理，余弦定理及得，，即，则，即或为等腰三角形或直角三角形．故选：D．题型三：判断三角形的形状 【对点训练4】（2023·全国·高三专题练习）在中，角，，的对边分别为，，，且，则形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【答案】C【解析】，所以由正弦定理可得所以，所以，所以，所以，在三角形中，所以，所以为钝角，故选：C．题型三：判断三角形的形状 【对点训练5】（2023·北京·高三101中学校考阶段练习）设的内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为（）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等边三角形【答案】C【解析】已知等式利用正弦定理化简得：，整理得：，即，，即，，，，，则或，即为等腰三角形或直角三角形．故选：C．【解题方法总结】（1）求最大角的余弦，判断是锐角、直角还是钝角三角形．（2）用正弦定理或余弦定理把条件的边和角都统一成边或角，判断是等腰、等边还是直角三角形．题型三：判断三角形的形状 【例4】（2023·河南南阳·统考二模）锐角是单位圆的内接三角形，角的对边分别为，且，则等于（）A．2B．C．D．1【答案】C【解析】由，得，由余弦定理，可得，又由正弦定理，可得，所以，得，又，所以，所以．又，所以，故选：C题型四：正、余弦定理与的综合 【对点训练6】（2023·重庆·统考三模）已知的内角、、的对边分别为、、，．（1）求；（2）若，求．【解析】（1）因为，所以，所以，即，由正弦定理可得，由余弦定理可得，所以，即，所以．（2）由题意可知，又，可得，所以，即为等腰三角形，由，解得或，因为，所以，所以，所以．【解题方法总结】先利用平面向量的有关知识如向量数量积将向量问题转化为三角函数形式，再利用三角函数转化求解．题型四：正、余弦定理与的综合 【例5】（2023·全国·高三专题练习）山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标（如图1），其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“”完美嵌入其中，寓意无限未知､无限发展､无限可能和无限的科技创新．如图2，为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为45°和60°（A，B，C，D在同一铅垂面内），则A，B两点之间的距离为______米．【答案】【解析】由题意，，所以，所以在中，，，又，所以，在中，由正弦定理得，，所以，在中，，由余弦定理得，，所以．故答案为：题型五：解三角形的实际应用 【对点训练7】（2023·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期中）一游客在处望见在正北方向有一塔，在北偏西45°方向的处有一寺庙，此游客骑车向西行后到达处，这时塔和寺庙分别在北偏东30°和北偏西15°，则塔与寺庙的距离为______．【答案】【解析】如图，在中，由题意可知，，可得．在中，，，，∴，∴．在中，，∴．故答案为：．题型五：解三角形的实际应用 【对点训练8】（2023·重庆·统考模拟预测）如图，某中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高度，先在山脚处测得山顶处的仰角为，又利用无人机在离地面高的处（即），观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，则山高_________m．【答案】【解析】依题意，则，，，故，，在中，由正弦定理得，即，解得，则．故答案为：题型五：解三角形的实际应用 【对点训练9】（2023·全国·高三专题练习）为了培养学生的数学建模和应用能力，某校数学兴趣小组对学校雕像“月亮上的读书女孩”进行测量，在正北方向一点测得雕塑最高点仰角为30°，在正东方向一点测得雕塑最高点仰角为45°，两个测量点之间距离约为米，则雕塑高为______【答案】【解析】如图所示，正北方向测量点为C，正东方向测量点为D，雕塑最高点为B，其中A，C，D三点位于同一水平面，由题意可知且，设，在直角中，可得，在直角中，可得，在直角中，可得，解得，故雕塑高为．故答案为：题型五：解三角形的实际应用 【对点训练10】（2023·全国·高三专题练习）当太阳光线与水平面的倾斜角为时，一根长为的竹竿，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角________．【答案】【解析】作出示意图如下如，设竹竿与地面所成的角为，影子长为，依据正弦定理可得，所以，因为，所以要使最大，只需，即，所以时，影子最长．题型五：解三角形的实际应用 【对点训练11】（2023·全国·高三专题练习）游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路．线路1是从A沿直线步行到C，线路2是先从A沿直线步行到景点B处，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C处．经测量，AB＝1040m，BC＝500m，则sin∠BAC等于________．【答案】【解析】依题意，设乙的速度为xm/s，则甲的速度为xm/s，因为AB＝1040m，BC＝500m，所以＝，解得AC＝1260m．在△ABC中，由余弦定理得，cos∠BAC＝＝＝，所以sin∠BAC＝＝＝．故答案为：．【解题方法总结】根据题意画出图形，将题设已知、未知显示在图形中，建立已知、未知关系，利用三角知识求解．题型五：解三角形的实际应用 【例6】（2023·全国·高三专题练习）记的内角的对边分别为，已知．（1）证明：；（2）若，求的面积．【解析】（1）证明：由及正弦定理得：，整理得，．因为，所以，所以或，所以或（舍），所以．（2）由及余弦定理得：，整理得，又因为，可解得，则，所以△是直角三角形，所以△的面积为．题型六：倍角关系 【对点训练12】（2023·全国·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c（a，b，c互不相等），且满足．（1）求证：；（2）若，求．【解析】（1）证明：因为，由正弦定理，得，所以，所以．又因为，，所以或．若，又，所以，与a，b，c互不相等矛盾，所以．（2）由（1）知，所以．因为，所以，则，可得．又因为所以．因为，所以，所以，所以，解得，又，得．题型六：倍角关系 【例7】（2023·贵州·统考模拟预测）中，角的对边分别是，，．若这个三角形有两解，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由正弦定理可得，．要使有两解，即有两解，则应有，且，所以，所以．故选：B．题型七：三角形解的个数 【对点训练13】（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，a=18，b=24，∠A=45°，此三角形解的情况为（）A．一个解B．二个解C．无解D．无法确定【答案】B【解析】因为，如图所示：所以，即，所以三角形解的情况为二个解．故选：B题型七：三角形解的个数 【对点训练14】（2023·河南南阳·高三统考期中）在中，，，．若满足条件的有且只有一个，则的可能取值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由正弦定理，即，所以，因为只有一解，若，则，若显然满足题意，所以或，所以或，解得或；故选：D【解题方法总结】三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．题型七：三角形解的个数 【例8】（2023·四川成都·校考模拟预测）在中，，，分别为角，，的对边，已知，，且，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，由正弦定理可得，整理可得，所以，为三角形内角，，∴，∵，，则，故B错误；∵，，，解得，由余弦定理得，解得或（舍去），故C正确，D错误．又，所以，则三角形为等边三角形，所以，则，故A错误．故选：C．题型八：三角形中的面积与周长问题 【对点训练15】（2023·河北石家庄·统考三模）已知中，角，，的对边长分别是，，，，且．（1）证明：；（2）若，求外接圆的面积【解析】（1）由已知，，∴，∴，∴，∴，易知上式中，，，∴由上式得，即．（2）∵，∴由正弦定理和余弦定理得，，化简得，∴．又∵，，∴，是以为斜边，为直角的直角三角形，∴外接圆的直径，外接圆的半径，∴外接圆的面积．题型八：三角形中的面积与周长问题 【对点训练16】（2023·全国·高三专题练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）证明：是等腰三角形；（2）若的面积为，且，求的周长．【解析】（1）在中，，由射影定理得，，所以是等腰三角形．（2）在中，因且，则，又，即，由（1）知，则有，在中，由余弦定理得：，解得，又，则a，b，c能构成三角形，符合题意，，所以的周长为．【解题方法总结】解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．题型八：三角形中的面积与周长问题 04PARTONE真题感悟 1．（2023•北京）在中，，则A．B．C．D．2．（2023•乙卷（文））在中，内角，，的对边分别是，，，若，且，则A．B．C．D．3．（2023•甲卷（理））在中，，，，为上一点，为的平分线，则．B2C 感谢观看THANKYOU