2024年高考数学一轮复习讲练测：三角函数、解三角形 第03讲 三角函数的图象与性质（十大题型）（课件）

第03讲三角函数的图象与性质导师：稻壳儿高考一轮复习讲练测2024 01020304目录CONTENTS考情分析网络构建知识梳理题型归纳真题感悟 01PARTONE考情分析 稿定PPT稿定PPT，海量素材持续更新，上千款模板选择总有一款适合你02考点要求考题统计考情分析（1）理解正、余弦函数在区间内的性质．理解正切函数在区间内的单调性．（2）了解函数的物理意义，能画出的图像，了解参数对函数图像的影响．（3）了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数，会用三角函数解决一些简单的实际问题．2023年甲卷第12题，5分2023年天津卷第5题，5分2023年I卷第15题，5分本节命题趋势仍是突出以三角函数的图像、周期性、单调性、奇偶性、对称性、最值等重点内容展开，并结合三角公式、化简求值、平面向量、解三角形等内容综合考查，因此复习时要注重三角知识的工具性，以及三角知识的应用意识． 02PARTONE网络构建 03PARTONE知识梳理题型归纳 1.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，，，(2π，0).(2)在余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，，，(2π，1).(π，0)(π，－1) 2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR 值域_____________________周期性_______________奇偶性__________________奇函数递增区间[－1,1][－1,1]R2π2ππ奇函数偶函数[2kπ－π，2kπ] 递减区间_______________________________对称中心________________________对称轴方程_______________________[2kπ，2kπ＋π](kπ，0)x＝kπ 3.简谐运动的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0振幅周期频率相位初相AT＝_____f＝ωx＋φφ 4.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特征点ωx＋φ0π2πxy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0 5.函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径|φ|AA 常用结论1.对称性与周期性(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.奇偶性若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z).(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z). 3.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.4.由y＝sinωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度.5.函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标.常用结论 【例1】（2023·北京·高一首都师范大学附属中学校考阶段练习）已知函数（1）用“五点作图法”在给定坐标系中画出函数在上的图像；（2）求，的单调递增区间；（3）当时，的取值范围为，直接写出m的取值范围．【解析】（1）因为，当时，，列表如下：作图如下：（2）因为，令，解得，令，解得，所以的递增区间为（3），，又，由（1）的图象可知，，的取值范围是．题型一：五点作图法 【对点训练1】（2023·广东东莞·高一东莞市东华高级中学校联考阶段练习）函数．（1）请用五点作图法画出函数在上的图象；（先列表，再画图）（2）设，，当时，试研究函数的零点的情况．【解析】（1），按五个关键点列表：描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图所示：（2）因为，所以的零点个数等价于与图象交点的个数，设，，则当，即时，有2个零点；当，即时，有1个零点；当，即时，有0个零点．【解题方法总结】（1）在正弦函数，的图象中，五个关键点是：．（2）在余弦函数，的图象中，五个关键点是：．题型一：五点作图法 【例2】（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）使函数为偶函数，则的一个值可以是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，因为为偶函数，可得，所以，令，可得．故选：A．题型二：函数的奇偶性 【对点训练2】（2023·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，若函数是偶函数，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函数的图像向左平移个单位，得的图像，又函数是偶函数，则有，，解得，；所以．故选：C．题型二：函数的奇偶性 【对点训练3】（2023·山东·高三专题练习）设函数，如果，则的值是（）A．-10B．8C．-8D．-7【答案】B【解析】令，由奇函数定义可知，化简计算可求得结果．令，则，所以，由可知，，即，，故选：B．【解题方法总结】由是奇函数和是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：（1）若为奇函数，则；（2）若为偶函数，则；（3）若为奇函数，则；（4）若为偶函数，则；若为奇函数，则，该函数不可能为偶函数．题型二：函数的奇偶性 【例3】（2023·高三课时练习）函数（）的图像的相邻两支截直线所得线段长为，则的值是______．【答案】【解析】因为函数（）的图像的相邻两支截直线所得线段长为，所以该函数的最小正周期为，因为，所以，即，因此题型三：函数的周期性 【对点训练4】（2023·河北衡水·高三河北深州市中学校考阶段练习）下列函数中，最小正周期为的奇函数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】对于A：最小正周期为，故A错误；对于B：，最小正周期，且为奇函数，故B正确；对于C：，最小正周期为的偶函数，故C错误；对于D：，则，故为偶函数，故D错误．故选：B题型三：函数的周期性 【对点训练5】（2023·全国·高三专题练习）已知函数．则__________．【答案】【解析】由条件，可得，，…，共506组，所以．故答案为：1012．【解题方法总结】关于三角函数周期的几个重要结论：（1）函数的周期分别为，．（2）函数，的周期均为（3）函数的周期均．题型三：函数的周期性 【例4】（2023·全国·模拟预测）将函数的图象上各点向右平移个单位长度得函数的图象，则的单调递增区间为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】将的图象向右平移个单位长度后，得到，即的图象，令，，解得，，所以的单调递增区间为，．故选：C．题型四：函数的单调性 【对点训练6】（2023·四川泸州·统考三模）将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数（）A．在区间上单调递减B．在区间上单调递减C．在区间上单调递增D．在区间上单调递增【答案】B【解析】函数的最小正周期是，选项AC中区间长度是一个周期，因此不可能单调，图象左右平移后也不可能单调，AC错；函数的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为，选项B，时，，在此区间上是减函数，B正确；选项D，时，，在此区间上不是单调函数，D错误．故选：B．题型四：函数的单调性 【对点训练7】（2023·四川凉山·高一校联考期中）函数的单调递增区间为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】令，解得，所以函数的单调递增区间为．故选：C【解题方法总结】三角函数的单调性，需将函数看成由一次函数和正弦函数组成的复合函数，利用复合函数单调区间的单调方法转化为解一元一次不等式．如函数的单调区间的确定基本思想是吧看做是一个整体，如由解出的范围，所得区间即为增区间；由解出的范围，所得区间即为减区间．若函数中，可用诱导公式将函数变为，则的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的的增区间．对于函数的单调性的讨论与以上类似处理即可．题型四：函数的单调性 【例5】（2023·全国·高三对口高考）设函数的图象关于点成中心对称，若，则______．【答案】【解析】因为函数的图象关于点成中心对称，所以，所以，所以因为，所以时，．故答案为：题型五：函数的对称性（对称轴、对称中心） 【对点训练8】（2023·新疆喀什·校考模拟预测）函数向左平移个单位长度之后关于对称，则的最小值为______．【答案】1【解析】向左平移个单位长度后，得，因为函数关于对称，所以，，，，所以的最小值为1．故答案为：1题型五：函数的对称性（对称轴、对称中心） 【对点训练9】（2023·河北石家庄·统考模拟预测）曲线的一个对称中心为______（答案不唯一）．【答案】（答案不唯一）【解析】，令或，则或，令，则．所以函数的一个对称中心是．故答案为：（答案不唯一）．【解题方法总结】关于三角函数对称的几个重要结论；（1）函数的对称轴为，对称中心为；（2）函数的对称轴为，对称中心为；（3）函数函数无对称轴，对称中心为；（4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得，即对称中心为．（5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为题型五：函数的对称性（对称轴、对称中心） 【例6】（2023·河北·校联考一模）函数的最小值为__________．【答案】【解析】因为，所以当时，，此时的最小值为．故答案为：题型六：函数的定义域、值域（最值） 【对点训练10】（2023·湖南长沙·长郡中学校考模拟预测）若函数的最小值为，则常数的一个取值为___________．（写出一个即可）【答案】（答案不唯一）．【解析】可化为，所以，设，则，设，则，因为函数的最小值为，所以，，所以或，其中，故答案为：（答案不唯一）．题型六：函数的定义域、值域（最值） 【对点训练11】（2023·全国·高三专题练习）设，则的最小值为__________．【答案】【解析】设，由，得，又由，得，所以，令，，当时，时，即当时，原函数取到最小值．故答案为：．题型六：函数的定义域、值域（最值） 【对点训练12】（2023·江西·校联考模拟预测）函数的最大值为________．【答案】【解析】∵，∴，由题意得，当且仅当，即时取等号，故的最大值为．故答案为：【解题方法总结】求三角函数的最值，通常要利用正、余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处理．题型六：函数的定义域、值域（最值） 【例7】（多选题）（2023·海南海口模拟预测）已知函数（）的图象与函数的图象的对称中心完全相同，且在上，有极小值，则（）A．B．C．函数是偶函数D．在上单调递增【答案】AD【解析】由题意，函数与的最小正周期相同，则，且．当时，，其一个对称中心为，也是的一个对称中心，所以，所以，，又，所以，所以，，，有极大值，无极小值，不合题意；当时，，其一个对称中心为，也是的一个对称中心，所以，所以，，又，所以，所以，，，有极小值，满足题意．，，A项正确，B项不正确；，不是偶函数，C项不正确；当时，，函数在上单调递减，则在上单调递增，D项正确．故选：AD题型七：三角函数性质的综合 【对点训练13】（2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测），，，（1）若，求的值；（2）若函数的最小正周期为①求的值；②当时，对任意，不等式恒成立，求的取值范围【解析】（1）依题意，，当时，，（2）①由（1）知，最小正周期，得，②当时，，当时，，当，即时，的最大值为2，不等式恒成立，即恒成立，整理为，恒成立，当时，恒成立，当时，，得，综上可得，，当时，，当时，，当，即时，的最大值为0不等式恒成立，即恒成立，整理为，恒成立，当时，恒成立，当时，，得，综上可得，，综上可知，当时，，当时，．.题型七：三角函数性质的综合 【对点训练14】（多选题）（2023·全国·高三专题练习）声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论不正确的是（）A．是偶函数B．的最小正周期为C．在区间上单调递增D．的最小值为1【答案】BC【解析】因为，，所以是偶函数，A正确；显然是周期函数，因为，所以B错误；因为当时，所以在区间上单调递增，在上单调递减，C错误；因为当时，设，则，同理：当时，，由B中解答知，是的周期，所以的最小值为1，D正确．故选：BC．【解题方法总结】三角函数的性质（如奇偶性、周期性、单调性、对称性）中，尤为重要的是对称性．因为对称性奇偶性（若函数图像关于坐标原点对称，则函数为奇函数；若函数图像关于轴对称，则函数为偶函数）；对称性周期性（相邻的两条对称轴之间的距离是；相邻的对称中心之间的距离为；相邻的对称轴与对称中心之间的距离为）；对称性单调性（在相邻的对称轴之间，函数单调，特殊的，若，函数在上单调，且，设，则深刻体现了三角函数的单调性与周期性、对称性之间的紧密联系）题型七：三角函数性质的综合 【例8】（2023·甘肃金昌·高三统考阶段练习）已知函数（，，）的部分图象如图所示，设使成立的a的最小正值为m，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】使成立的a即为的对称中心的横坐标，∴a的最小正值为，由图可知，，，∴，将点代入，得，∴，，，，∵，∴取，∴，∴，∴．故选：B．题型八：根据条件确定解析式 【对点训练15】（2023·全国·高三专题练习）函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由图象可得，可得，，可得，由于函数在附近单调递减，且，，由图象可知，函数的最小正周期满足，可得，，则，所以，解得，，所以，，因此．故选：D．题型八：根据条件确定解析式 【对点训练16】（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）某函数满足以下三个条件：①是偶函数；②；③的最大值为4．请写出一个满足上述条件的函数的解析式______．【答案】（答案不唯一）【解析】因为是偶函数，所以的图象关于y轴对称，因为，所以，即所以的图象关于点对称，所以4为的一个周期，又的最大值为4，所以满足条件．故答案为：（答案不唯一）题型八：根据条件确定解析式 【对点训练17】（2023·河北·校联考模拟预测）已知函数的图象过点，且相邻两个零点的距离为．若将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则函数的解析式为___________．【答案】【解析】的相邻两个零点的距离为，的最小正周期，；又，，解得：，又，，，．故答案为：．【解题方法总结】根据函数必关于轴对称，在三角函数中联想到的模型，从图象、对称轴、对称中心、最值点或单调性来求解．题型八：根据条件确定解析式 【例9】（2023·全国·高三专题练习）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】A【解析】由题意，由于函数，观察发现可由函数向左平移个单位长度，得到函数的图象，故选：A．题型九：三角函数图像变换 【对点训练18】（2023·全国·高三专题练习）若要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】D【解析】因为，故将已知转化为要得到函数的图象，又，所以将的图象向右平移个单位长度即可得到的图象．故选：D【解题方法总结】由函数的图像变换为函数的图像．方法：先相位变换，后周期变换，再振幅变换．的图像的图像的图像的图像题型九：三角函数图像变换 【例10】（2023·全国·高三专题练习）2019年长春市新地标——“长春眼”在摩天活力城Mall购物中心落成，其楼顶平台上的空中摩天轮的半径约为40m，圆心O距地面的高度约为60m，摩天轮逆时针匀速转动，每15min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处，已知在时刻t（min）时P距离地面的高度，当距离地面的高度在以上时可以看到长春的全貌，则在转一圈的过程中可以看到整个城市全貌的时间约为（）A．2．0minB．2．5minC．2．8minD．3．0min【答案】B【解析】由题意可知摩天轮运动一周距离底面的最高点为（60+40）米与最低点（60-40）米，相差80米，∴；运动一周15分钟，即；由，可得，故．要看到全景需，解之得：，故时间长为min．故选：B题型十：三角函数模型 【对点训练19】（2023·全国·高三专题练习）一个大风车的半径为8m，匀速旋转的速度是每12min旋转一周．它的最低点离地面2m，风车翼片的一个端点从开始按逆时针方向旋转，点离地面距离与时间之间的函数关系式是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】以过风车中心垂直于地面的竖直向上的直线为y轴，该直线与地面的交点为原点，建立坐标系，如图，依题意，设函数解析式为，显然，则，，函数的周期，则，因当时，，即有，则，于是得，所以点离地面距离与时间之间的函数关系式是．故选：C题型十：三角函数模型【解题方法总结】三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题． 04PARTONE真题感悟 1.（2023•甲卷）已知为函数向左平移个单位所得函数，则与的交点个数为A．1B．2C．3D．42.（2023•乙卷）已知函数在区间，单调递增，直线和为函数的图像的两条对称轴，则A．B．C．D．3.（2023•上海）已知，记在，的最小值为，在，的最小值为，则下列情况不可能的是A．，B．，C．，D．，CDD 感谢观看THANKYOU