2024年高考数学一轮复习讲练测：三角函数、解三角形 第03讲 三角函数的图象与性质（练习）（解析版）

第03讲三角函数的图象与性质（模拟精练+真题演练）1．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则下列正确的是（    ）A．直线是图像的一条对称轴B．的最小正周期为C．的图像关于点对称D．在上单调递增【答案】C【解析】由，则图像向右平移个单位长度可得，，因为，所以不是图像的一条对称轴，A错；由，得的最小正周期为，B错；由，所以点是图像的一个对称中心，C正确；由，则，所以在上有增有减，D错.故选：C2．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）函数图象的对称轴可以是（    ）21 A．直线B．直线C．直线D．直线【答案】A【解析】，令，解得，所以的对称轴为直线，当时，.故选：A.3．（2023·河南·襄城高中校联考三模）将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在区间上的值域为（    ）A．B．C．D．【答案】C【解析】将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变得到的图象，再将图象上所有点向左平移个单位长度得到的图象．当时，，．故选：C.4．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数，若对于任意实数x，都有，则的最小值为（    ）A．2B．C．4D．8【答案】C【解析】因为对于任意实数x，都有，则有函数图象关于点对称，因此，解得，而，所以当时，取得最小值4.故选：C21 5．（2023·河南·校联考模拟预测）某次实验得交变电流（单位：A）随时间（单位：s）变化的函数解析式为，其中且，其图象如图所示，则下列说法错误的是（    ）  A．B．C．当时，D．当时，【答案】D【解析】由题知，则，又，则，所以当时，，则，又，则，因此，所以当时，，当时，，因此ABC正确，D错误，故选：D.6．（2023·北京西城·北师大实验中学校考三模）在下列四个函数中，在定义域内单调递增的有（    ）A．B．C．D．【答案】C【解析】A.的增区间为，在整个定义域上不单调，故错误；B.的增区间是，在整个定义域上不单调，故错误；C.在R上递增，故正确；D.的增区间是，在整个定义域上不单调，故错误；21 故选：C7．（2023·北京大兴·校考三模）已知函数，，将函数的图象经过下列变换可以与的图象重合的是（    ）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【答案】D【解析】因为，所以将向右平移个单位得到.故选：D8．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知函数，则关于的下列结论不正确的是（    ）A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称C．在区间上是单调递减函数D．将的图象向左平移个单位即可得到的图象【答案】D【解析】∵，∴的图象关于直线对称，故A正确；∵，∴的图象关于点对称，故B正确；令，则，函数在区间上是减函数，根据复合函数的单调性知，在区间上是单调递减函数，故C正确；∵，∴将的图象向左平移个单位即可得到的图象，21 而时，，故D错误，故选：D.9．（多选题）（2023·福建漳州·统考模拟预测）把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ）A．在上单调递减B．在上有2个零点C．的图象关于直线对称D．在上的值域为【答案】BC【解析】把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可得到的图象；再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，时，，则在单调递减，在单调递增，故A错误；令，得，即，因为，所以，解得，因为，所以或，所以在上有2个零点，故B正确；因为，为的最大值，所以直线是的图象的一条对称轴，故C正确；当时，，，故D错误.故选：BC10．（多选题）（2023·江苏盐城·盐城市伍佑中学校考模拟预测）已知函数的图象向左平移）个单位长度后对应的函数为，若在上单调，则的可取（    ）21 A．B．C．D．【答案】CD【解析】依题意，，于是，当时，，当在上单调递增时，，即，解得，不存在整数使得取得ABCD选项中的值；当在上单调递减时，，即，解得，当时，，CD符合，不存在整数使得取得AB选项中的值.故选：CD11．（多选题）（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知函数的初相为，则下列结论正确的是（    ）A．的图象关于直线对称B．函数的一个单调递减区间为C．若把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则为偶函数D．若函数在区间上的值域为【答案】AB【解析】由题意知，所以．对于选项A，，所以的图象关于直线对称，故A项正确；21 对于选项B，由，，得，，则当时，函数的一个单调递减区间为，故B项正确；对于选项C，的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，所以为奇函数，故C项错误；对于选项D，因为，所以，所以，所以，即：在区间上的值域为，故D项错误．故选：AB.12．（多选题）（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）已知函数，其图象相邻对称轴间的距离为，点是其中的一个对称中心，则下列结论正确的是（    ）A．函数的最小正周期为B．函数图象的一条对称轴方程是C．函数在区间上单调递增D．将函数图象上所有点横坐标伸长原来的2倍，纵坐标缩短原来的一半，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到正弦函数的图象【答案】ACD【解析】因为函数图象相邻对称轴间的距离为，则，即，所以正确；因为，则，即，且点是对称中心，当时，，即，又，所以，即.21 令,解得，所以函数的对称轴为，所以错误；令,解得，函数的单调增区间为：，所以C正确；函数图象上所有点横坐标伸长原来的2倍，纵坐标缩短原来的一半，得到的图象，再把得到的图象向左平移个单位长度，得函数，所以正确.故选:ACD.13．（2023·河北沧州·校考模拟预测）若函数为奇函数，则的最小值为______.【答案】【解析】因为函数为R上的奇函数，所以，所以，所以，又，所以的最小值为.故答案为：14．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知，当（其中）时，有且只有一个解，则的取值范围是____________.【答案】【解析】由于，所以有且只有一个解，即有且只有一个解，因为，所以，由题意知，解得，21 即的取值范围是为，故答案为：15．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）写出一个同时具有下列性质①②③，且定义域为实数集的函数__________.①最小正周期为2；②；③无零点.【答案】（答案不唯一）【解析】的定义域为，最小正周期为，因为，所以，所以无零点，综上，符合题意故答案为：.16．（2023·上海徐汇·位育中学校考模拟预测）若函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，若对满足的，，有的最小值为，则________．【答案】【解析】由函数的图像向右平移，可得由可知一个取得最大值一个取得最小值，不妨设取得最大值，取得最小值，，，．可得，所以，21 的最小值为，，得，故答案为：.17．（2023·湖南岳阳·统考模拟预测）已知函数的部分图象如图所示.(1)求的最小正周期及解析式；(2)将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值.【解析】（1）由图象可知的最大值为1，最小值-1，故；又∴，将点代入，∴，∵∴故答案为：，.（2）由的图象向右平移个单位长度得到函数∵∴∴当时，即，；21 当时，即，故答案为：18．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知函数，其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，______，从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中.①函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称且；②函数的图象的一个对称中心为且.(1)求函数的解析式；(2)将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在区间上恰有3个零点，求t的取值范围.【解析】（1）由题意可得，，由于其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，故,故若选①，函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的函数为，由题意知该函数为偶函数，故，由于且，即，故，故；若选②，函数的图象的一个对称中心为且，则，由于且，即，故，故；21 （2）由题意可得，由于在区间上恰有3个零点，故，即.19．（2023·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）已知函数在区间上恰有3个零点，其中为正整数.(1)求函数的解析式；(2)将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，求函数的单调区间.【解析】（1）由，得，因为函数在区间上恰有3个零点，于是，解得，而为正整数，因此，所以.（2）由（1）知，，由，得，即有，因此，由，解得，所以函数的单调减区间为.20．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函图象上所有点的横坐标变为原来的（ω＞0）倍（纵坐标不变），得到函数的图象．(1)若，求函数在区间上的最大值；(2)若函数在区间上没有零点，求ω的取值范围．21 【解析】（1）函数的图象先向右平移个单位长度，则解析式变为：，再将所得函图象上所有点的横坐标变为原来的（ω＞0）倍（纵坐标不变），则解析式变为.则.当时，，因函数在上单调递减，在上单调递增，，.∴，∴在区间上的最大值为．（2），当时，，要使在上无零点，则，.，，，，当时，；当时，，当时，舍去．综上：的取值范围为．1．（2023•天津）已知函数的一条对称轴为直线，一个周期为4，则的解析式可能为　　A．B．C．D．【答案】【解析】：若，则，令，，则，，显然不是对称轴，不符合题意；21 ：若，则，令，，则，，故是一条对称轴，符合题意；，则，不符合题意；，则，不符合题意．故选：．2．（2022•天津）已知，关于该函数有下列四个说法：①的最小正周期为；②在，上单调递增；③当，时，的取值范围为，；④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．以上四个说法中，正确的个数为　　A．1B．2C．3D．4【答案】【解析】对于，它的最小正周期为，故①错误；在，，，，函数单调递增，故②正确；当，时，，，的取值范围为，，故③错误；的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，故④错误，故选：．3．（2022•浙江）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点　　A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度21 C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】【解析】把图象上所有的点向右平移个单位可得的图象．故选：．4．（2022•新高考Ⅰ）记函数的最小正周期为．若，且的图像关于点，中心对称，则　　A．1B．C．D．3【答案】【解析】函数的最小正周期为，则，由，得，，的图像关于点，中心对称，，且，则，．，，取，可得．，则．故选：．5．（2022•甲卷）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线，若关于轴对称，则的最小值是　　A．B．C．D．【答案】【解析】将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线，则对应函数为，的图象关于轴对称，，，21 即，，则令，可得的最小值是，故选：．6．（2022•甲卷）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是　　A．，B．，C．，D．，【答案】【解析】当时，不能满足在区间极值点比零点多，所以；函数在区间恰有三个极值点、两个零点，，，，求得，故选：．7．（多选题）（2022•新高考Ⅱ）已知函数的图像关于点，中心对称，则　　A．在区间单调递减B．在区间，有两个极值点C．直线是曲线的对称轴D．直线是曲线的切线【答案】【解析】因为的图象关于点，对称，所以，，所以，21 因为，所以，故，令，解得，故在单调递减，正确；，，，，根据函数的单调性，故函数在区间，只有一个极值点，故错误；令，，得，，显然错误；，求导可得，，令，即，解得或，故函数在点处的切线斜率为，故切线方程为，即，故正确．直线显然与相切，故直线显然是曲线的切线，故正确．故选：．8．（2023•新高考Ⅱ）已知函数，如图，，是直线与曲线的两个交点，若，则　　．【答案】21 【解析】由题意：设，，，，则，由的图象可知：，即，，又，，，即，，观察图象，可知当时，满足条件，．故答案为：．9．（2023•新高考Ⅰ）已知函数在区间，有且仅有3个零点，则的取值范围是　　　　．【答案】，【解析】，，函数的周期为，，可得，函数在区间，有且仅有3个零点，可得，所以．故答案为：，．10．（2022•上海）函数的周期为　　．【答案】【解析】，．故答案为：．21 11．（2022•乙卷）记函数，的最小正周期为．若，为的零点，则的最小值为　　．【答案】3．【解析】函数，的最小正周期为，若，，则，所以．因为为的零点，所以，故，，所以，，因为，则的最小值为3．故答案为：3．12．（2023•北京）已知函数，，．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若在，上单调递增，且，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求、的值．条件①：；条件②：；条件③：在，上单调递减．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】（Ⅰ）因为函数，所以，又因为，所以．（Ⅱ）若选①：；21 因为，所以在和时取得最大值1，这与在，上单调递增矛盾，所以、的值不存在．若选②：；因为在，上单调递增，且，所以在时取得最小值，时取得最大值1，所以的最小正周期为，计算，又因为，所以，，解得，；又因为，所以；若选③：在，上单调递减，因为在，上单调递增，且，所以在时取得最小值，时取得最大值1，所以的最小正周期为，所以，又因为，所以，，解得，；又因为，所以．21 21