2024年高考数学一轮复习讲练测：三角函数、解三角形 第02讲 三角恒等变换（九大题型）（课件）

第02讲三角恒等变换导师：稻壳儿高考一轮复习讲练测2024 01020304目录CONTENTS考情分析网络构建知识梳理题型归纳真题感悟 01PARTONE考情分析 稿定PPT稿定PPT，海量素材持续更新，上千款模板选择总有一款适合你02考点要求考题统计考情分析（1）会推导两角差的余弦公式（2）会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式（3）掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用（4）能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换2023年II卷第7题，5分2023年I卷II卷第8题，5分2022年II卷第6题，5分2021年甲卷（文）第11题，5分三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上，高考会侧重综合推理能力和运算能力的考查，体现三角恒等变换的工具性作用，以及会有一些它们在数学中的应用．这就需要同学熟练运用公式，进一步提高运用联系转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想、换元的思想、方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的作用． 02PARTONE网络构建 03PARTONE知识梳理题型归纳 1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝；(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝；(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝；(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝；cosαcosβ＋sinαsinβcosαcosβ－sinαsinβsinαcosβ－cosαsinβsinαcosβ＋cosαsinβ (5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝；(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝.2.辅助角公式asinα＋bcosα＝，其中sinφ＝，cosφ＝ 3.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S2α：sin2α＝.(2)公式C2α：cos2α＝＝＝.(3)公式T2α：tan2α＝.4.常用的部分三角公式(1)1－cosα＝，1＋cosα＝.(升幂公式)(2)1±sinα＝.(升幂公式)(3)sin2α＝，cos2α＝，tan2α＝.(降幂公式)2sinαcosαcos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α 常用结论两角和与差的公式的常用变形：(1)sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ.(2)cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ.(3)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ). 【例1】（2023·辽宁·高一辽宁实验中学校考期中）某数学学习小组研究得到了以下的三倍角公式：①；②根据以上研究结论，回答：（1）在①和②中任选一个进行证明：（2）求值：．【解析】（1）若选①，证明如下：．若选②，证明如下：．（2）由题，，因为，则，所以由公式②及正弦的二倍角公式得，又因为，所以，所以，整理得解得或，又，所以．题型一：两角和与差公式的证明 【对点训练1】（2023·全国·高三专题练习）如图，考虑点，，，，从这个图出发．（1）推导公式：；（2）利用（1）的结果证明：，并计算的值．【解析】（1）因为，根据图象，可得，即，即．即．（2）由（1）可得，①②由①+②可得：所以，所以．【解题方法总结】推证两角和与差公式就是要用这两个单角的三角函数表示和差角的三角公式，通过余弦定理或向量数量积建立它们之间的关系，这就是证明的思路．题型一：两角和与差公式的证明 【例2】（2023·福建三明·高三统考期末）已知，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据题意，，即，故，故选：A题型二：两角和与差的三角函数公式 【对点训练2】（2023·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习），，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，则有，，．故选：B．题型二：两角和与差的三角函数公式 【对点训练3】（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）设，则等于（）A．-2B．2C．-4D．4【答案】C【解析】因为，所以，故，故选：C．【解题方法总结】两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．题型二：两角和与差的三角函数公式 【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，，两式相加得，．故选：C．题型三：两角和与差的三角函数公式的逆用与变形 【对点训练4】（2023·河南平顶山·高三校联考阶段练习）若，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，可得，即，化简可得，即，所以，，即，，可得．故选：C．题型三：两角和与差的三角函数公式的逆用与变形 【对点训练5】（2023·全国·高三专题练习）已知第二象限角满足，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，且为第二象限角，所以，于是．故选：D．【解题方法总结】运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力．题型三：两角和与差的三角函数公式的逆用与变形 【例4】（2023·江西·校联考二模）已知，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以，所以，即，所以，则，所以．故选：D题型四：角的变换问题 【对点训练6】（2023·全国·高三专题练习）已知，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以，所以；．故选：A．题型四：角的变换问题 【对点训练7】（2023·山东日照·高三校考阶段练习）已知，，，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为=-．，；，，所以，故．故选：D．【解题方法总结】常用的拆角、配角技巧：；；；；；等．题型四：角的变换问题 【例5】（2023·重庆·统考模拟预测）式子化简的结果为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】原式．故选：B．题型五：给角求值 【对点训练8】（2023·全国·高三专题练习）计算：（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以原式故选：C题型五：给角求值 【对点训练9】（2023·陕西西安·西安中学校考模拟预测）若，则实数的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知可得．故选：A．【解题方法总结】（1）给角求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法．（2）给角求值问题的一般步骤①化简条件式子或待求式子；②观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手；③将已知条件代入所求式子，化简求值．题型五：给角求值 【例6】（2023·江西·校联考模拟预测）已知，则______．【答案】【解析】由题意可得，．故答案为：题型六：给值求值 【对点训练10】（2023·江苏盐城·盐城中学校考模拟预测）若，则__________．【答案】【解析】因为，所以，所以，即．所以，解得．所以．故答案为：．题型六：给值求值 【对点训练11】（2023·山东泰安·统考二模）已知，则_______．【答案】【解析】因为，故可得，则【解题方法总结】给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这些关系来选择公式．题型六：给值求值 【例7】（2023·江西·高三校联考阶段练习）已知，，且，，则的值是___________．【答案】【解析】因为，，且，，所以，，且，则，所以．题型七：给值求角 【对点训练12】（2023·上海嘉定·高三校考期中）若为锐角，，则角__________．【答案】【解析】由于为锐角，所以，所以，所以，所以．题型七：给值求角 【对点训练13】（2023·全国·高三专题练习）已知，，则______．【答案】【解析】由题知则，即，即，即，则或，．因为，所以，所以，解得．【解题方法总结】给值求角：解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助三角函数图像、诱导公式求角．题型七：给值求角 【例8】（2023·全国·高三对口高考）的值是__________．【答案】1【解析】因为，所以，故．故答案为：．题型八：正切恒等式及求非特殊角 【对点训练14】（2023·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考期中）已知，满足，则______．【答案】【解析】∵，即，∴，即，∴．故答案为：．题型八：正切恒等式及求非特殊角 【对点训练15】（2023·江苏南通·高三校考期中）在中，若，则_________．【答案】【解析】因为，所以，，由题意可得，若，则，不妨设为锐角，则，则，不合乎题意，所以，，故，因此，．故答案为：．题型八：正切恒等式及求非特殊角 【对点训练16】（2023·全国·高三专题练习）____________．【答案】【解析】．故答案为：．【解题方法总结】正切恒等式：当时，．证明：因为，，所以故．题型八：正切恒等式及求非特殊角 【例9】（2023·陕西咸阳·校考二模）已知函数（1）求函数的对称轴和对称中心；（2）当，求函数的值域．【解析】（1）因为，令，解得；令，解得；所以函数的对称轴为，对称中心．（2）因为，则，当，即时，函数取到最大值；当，即时，函数取到最小值；所以函数的值域为．题型九：三角恒等变换的综合应用 【对点训练17】（2023·上海松江·高三上海市松江二中校考阶段练习）已知．（1）求在上的单调递减区间；（2）若，求的值．【解析】（1），由，解得，又，函数在上的单调递减区间为．（2）由（1）知，又，，，．【解题方法总结】（1）进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．（2）形如化为，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．题型九：三角恒等变换的综合应用 04PARTONE真题感悟 1.（2023•新高考Ⅱ）已知为锐角，，则A．B．C．D．2.（2023•新高考Ⅰ）已知，，则A．B．C．D．3.（2022•新高考Ⅱ）若，则A．B．C．D．DBC 感谢观看THANKYOU