2024年高考数学一轮复习讲练测：三角函数、解三角形 第04讲 解三角形（练习）（解析版）

第04讲解三角形（模拟精练+真题演练）1．（2023·北京海淀·中央民族大学附属中学校考模拟预测）在中，若，则一定是（    ）A．正三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等腰三角形【答案】D【解析】由及余弦定理得：，即.故选：D2．（2023·四川南充·统考三模）在中，角的对边分别是，若，则（    ）A．B．C．D．【答案】A【解析】由得，所以，由于,故选：A3．（2023·辽宁·校联考二模）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（    ）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，由，得，所以.故选：C.4．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）抚松县第一中学全体师生为庆祝2023年高考圆梦成功，选定大方鼎雕塑为吉祥物，为高考鼎立助威.若在处分别测得雕塑最高点的仰角为和，且，则该雕塑的高度约为（    ）（参考数据）20   A．4.93B．5.076C．6.693D．7.177【答案】A【解析】在中，结合图形可知，，由正弦定理得：，在中，；故选：A5．（2023·广西·校联考模拟预测）在中，若，，则（    ）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，由正弦定理可得，且，由余弦定理可得：.故选：C．6．（2023·四川·校考模拟预测）如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走米到，在处测得山顶的仰角为，则山高（    ）A．B．C．D．【答案】D【解析】在中，，由正弦定理得，可得，过点作，可得20 所以.故选：D.  7．（2023·重庆·统考模拟预测）我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设的三个内角所对的边分别为，，，面积为S，则“三斜求积”公式为，若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为（    ）A．B．C．D．1【答案】A【解析】由得，由得，故，股癣：A8．（2023·全国·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则（    ）A．B．C．D．【答案】A【解析】由及正弦定理，可得．由，可得．又，∴．20 又，解得，则，∴B为钝角，C为锐角．∴，．故，∴．故选:A.9．（多选题）（2023·重庆·统考三模）如图，为了测量障碍物两侧A，B之间的距离，一定能根据以下数据确定AB长度的是（    ）A．a，b，B．，，C．a，，D．，，b【答案】ACD【解析】法一、根据三角形全等的条件可以确定A、C、D三项正确，它们都可以唯一确定三角形；法二、对于A项，由余弦定理可知，可求得，即A正确；对于B项，知三个内角，此时三角形大小不唯一，故B错误；对于C项，由正弦定理可知，即C正确；对于D项，同上由正弦定理得，即D正确；故选：ACD.10．（多选题）（2023·山东聊城·统考一模）在中，若，则（    ）A．B．C．D．【答案】ABD20 【解析】在中，若，由三角形中大边对大角，可得，又由正弦定理，可知，故A选项正确；又由余弦函数在上单调递减，可知，故B选项正确；由和，当时，，所以，故C选项错误；由，，由A选项可知正确，故D选项正确.故选：ABD11．（多选题）（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B的值为（    ）A．B．C．D．【答案】BD【解析】根据余弦定理可知，代入，可得，即，因为，所以或，故选：BD.12．（多选题）（2023·海南省直辖县级单位·校联考一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，若满足要求的△ABC有且只有1个，则b的取值可以是（）A．1B．C．2D．3【答案】ABC【解析】由，及，得.若满足要求的△ABC有且只有1个，则或，即或，解得或.故选：ABC13．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）在中，角的对边分别为，若，则外接圆的面积为______.【答案】【解析】由正弦定理得，20 因为，所以，即，可得.因为，所以，得，解得.，化简得，由正弦定理､余弦定理，得，化简得，由正弦定理可得，得，因此外接圆的面积为.故答案为：14．（2023·河南·河南省实验中学校考模拟预测）在锐角中，，，若在上的投影长等于的外接圆半径R，则R=______.【答案】2【解析】由题意得，，，即，即，因为，所以，故，故.故答案为：215．（2023·上海嘉定·校考三模）在中，已知，则角的大小为__________.【答案】【解析】因为，由正弦定理得，即，又因为，所以，所以，所以.故答案为：.16．（2023·陕西西安·统考一模）在中，，则___________.20 【答案】【解析】因为，所以，所以，由余弦定理.故答案为：.17．（2023·河南·校联考模拟预测）在中，角的对边分别为，.(1)若，求；(2)若，点在边上，且平分，求的面积.【解析】（1）因为，则，，又，，则，又，所以，则.（2）由（1）知，则，由得，即，则，即，解得，所以的面积.18．（2023·广东·校联考模拟预测）已知函数.(1)求；(2)若的面积为且，求的周长.20 【解析】（1），因为，所以，解得；（2）在中，由（1）可得，∵，即，因为，则，由正弦定理可得即，由余弦定理得∴，则，∴三角形周长.19．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）记的内角的对边分别为，分别以为边长的三个正三角形的面积依次为，已知.(1)求的面积；(2)若，求.【解析】（1）由题意得，，，则，即，由余弦定理得，整理得，则，又，则，所以，则；（2）由正弦定理得，20 所以，则或（舍去），所以.20．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）在中，角是锐角，角所对的边分别记作，满足，.(1)求；(2)若，求的值.【解析】（1）因为，又，所以，又因为角是锐角，即，所以，所以，故；（2）因为，又，所以，因为，，由正弦定理，得，所以，由余弦定理得，，得，因为，所以所以，即，因为，所以，20 所以.1．（2023•上海）已知中，角，，所对的边，，，则．【答案】．【解析】，，，由余弦定理得，，又，，．故答案为：．2．（2022•甲卷（理））已知中，点在边上，，，．当取得最小值时，．【答案】．【解析】设，，在三角形中，，可得：，在三角形中，，可得：，要使得最小，即最小，，其中，此时，当且仅当时，即或（舍去），即时取等号，故答案为：．3．（2023•乙卷（文））在中，已知，，．（1）求；（2）若为上一点．且，求的面积．【解析】（1）在中，由余弦定理可知，20 ，由余弦定理可得，又，，（2）由（1）知：，，，，，的面积为．4．（2023•甲卷（文））记的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求；（2）若，求面积．【解析】（1）因为，所以；（2），所以，所以，所以，即，由为三角形内角得，面积．5．（2023•天津）在中，角，，的对边分别为，，．已知，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值；20 （Ⅲ）求的值．【解析】（Ⅰ），，，则；（Ⅱ），，，则，化简整理可得，，解得（负值舍去）；（Ⅲ），，，，则，故，所以．6．（2023•新高考Ⅱ）记的内角，，的对边分别为，，，已知面积为，为的中点，且．（1）若，求；（2）若，求，．【解析】（1）为中点，，则，过作，垂足为，如图所示：中，，，，解得，，，故；20 （2），，，，则，①，，即②，由①②解得，，，又，．7．（2023•新高考Ⅰ）已知在中，，．（1）求；（2）设，求边上的高．【解析】（1），，，，，，，，，，即，又，，解得，又，，；20 （2）由（1）可知，，，，，，设边上的高为，则，，解得，即边上的高为6．8．（2022•天津）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．【解析】解（1）因为，，，由余弦定理可得，解得：；（2），，所以，由，可得，由正弦定理可得，即，可得，所以；（3）因为，，20 所以，，，可得，所以，所以的值为．9．（2022•浙江）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的面积．【解析】（Ⅰ）因为，所以，且，由正弦定理可得：，即有；（Ⅱ）因为，所以，故，又因为，所以，所以；由正弦定理可得：，所以，所以．10．（2022•北京）在中，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，且的面积为，求的周长．【解析】（Ⅰ），，又，，20 ，，；（Ⅱ）的面积为，，又，，，，又，，，，的周长为．11．（2022•乙卷）记的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）若，求；（2）证明：．【解析】（1）由，又，，，，即（舍去）或，联立，解得；证明：（2）由，得，由正弦定理可得，由余弦定理可得：，整理可得：．20 12．（2022•新高考Ⅰ）记的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）若，求；（2）求的最小值．【解析】（1），，．，化为：，，，，，，．（2）由（1）可得：，，，，为钝角，，都为锐角，．，，当且仅当时取等号．的最小值为．13．（2022•新高考Ⅱ）记的内角，，的对边分别为，，，分别以，，为边长的三个正三角形的面积依次为，，．已知，．（1）求的面积；（2）若，求．【解析】（1），20 ，，，解得：，，，即，，，解得：，．的面积为．（2）由正弦定理得：，，，由（1）得，已知，，，解得：．14．（2022•乙卷（文））记的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）证明：；（2）若，，求的周长．【解析】（1）证明：中，，所以，20 所以，即，所以，由正弦定理得，由余弦定理得，所以；（2）当，时，，，所以，解得，所以的周长为．20 20