2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第3章　必刷大题6　导数的综合问题

必刷大题6　导数的综合问题1．(2023·温州模拟)已知函数f(x)＝x2－(a＋1)lnx.(1)当a＝0时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)≥(a2－a)lnx对∀x∈(1，＋∞)恒成立，求a的取值范围．解　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝0时，f′(x)＝2x－＝.当x∈时，f′(x)<0，则f(x)的单调递减区间为，当x∈时，f′(x)>0，则f(x)的单调递增区间为.(2)由f(x)≥(a2－a)lnx对∀x∈(1，＋∞)恒成立，得a2＋1≤对∀x∈(1，＋∞)恒成立．设h(x)＝(x>1)，则h′(x)＝.当x∈(1，)时，h′(x)<0；当x∈(，＋∞)时，h′(x)>0.所以h(x)min＝h()＝2e，则a2＋1≤2e，解得－≤a≤，故a的取值范围是[－，]．2．设f(x)＝2xlnx＋1.(1)求f(x)的最小值；(2)证明：f(x)≤x2－x＋＋2lnx.(1)解　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2(lnx＋1)，当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，5 所以当x＝时，f(x)取得最小值f ＝1－.(2)证明　令F(x)＝x2－x＋＋2lnx－f(x)＝x(x－1)－－2(x－1)lnx＝(x－1)，令g(x)＝x－－2lnx，则g′(x)＝1＋－＝≥0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，又g(1)＝0，所以当0<x<1时，g(x)<0，F(x)>0当x>1时，g(x)>0，F(x)>0，当x＝1时，F(x)＝0，所以(x－1)≥0，即f(x)≤x2－x＋＋2lnx.3．(2023·邢台质检)2022年2月4日，第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场举行，拉开了冬奥会的帷幕．冬奥会发布的吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”得到了大家的广泛喜爱，达到一墩难求的地步．当地某旅游用品商店获批经销此次奥运会纪念品，其中某个挂件纪念品每件的成本为5元，并且每件纪念品需向税务部门上交a元(10≤a≤13)的税收，预计当每件产品的售价定为x元(13≤x≤17)时，一年的销售量为(18－x)2万件．(1)求该商店一年的利润f(x)(万元)与每件纪念品的售价x的函数关系式；(2)求出f(x)的最大值Q(a)．解　(1)由题意，预计当每件产品的售价为x元(13≤x≤17)时，一年的销售量为(18－x)2万件，而每件产品的成本为5元，且每件产品需向税务部门上交a元(10≤a≤13)，∴商店一年的利润f(x)(万元)与售价x的函数关系式为f(x)＝(x－5－a)(18－x)2，x∈[13,17]．(2)∵f(x)＝(x－5－a)(18－x)2，x∈[13,17]，∴f′(x)＝(28＋2a－3x)(18－x)，令f′(x)＝0，解得x＝或x＝18，而10≤a≤13，则16≤≤18，①若16≤<17，即10≤a<11.5，当x∈时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，5 当x∈时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，∴f(x)max＝f ＝(13－a)3；②若17≤≤18，即11.5≤a≤13，则f′(x)≥0，即f(x)在[13,17]上单调递增，∴f(x)max＝f(17)＝12－a，综上，Q(a)＝4．(2022·重庆质检)已知函数f(x)＝x2＋2x－aln ，a∈R.(1)当a＝4时，求f(x)的极值；(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝ax在(0,4]上有且只有一个交点，求a的取值范围．解　(1)由题意，f(x)＝x2＋2x－4ln ，x>0，则f′(x)＝2x＋2－＝(x2＋x－2)＝(x－1)(x＋2)，故f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，有极小值f(1)＝3－4ln ，无极大值．(2)设g(x)＝f(x)－ax＝x2＋(2－a)x－aln ，x∈(0,4]，则g′(x)＝2x＋(2－a)－＝[2x2＋(2－a)x－a]＝(x＋1)(2x－a)，①当a＝0时，g(x)＝x2＋2x，在(0,4]上无零点，不符合题意；②当a<0时，g(x)在(0,4]上单调递增，g(2)＝4＋(2－a)×2>0，x→0时，g(x)<0，由零点存在定理得，g(x)在(0,4]内只有一个零点，即曲线y＝f(x)与直线y＝ax在(0,4]上有且只有一个交点．③当a>0时，g(x)在上单调递减，在上单调递增，若<4，即0<a<8，则只能g＝a－a2－aln ＝a＝0⇒a＝4，若a≥8，则g(x)在(0,4]上单调递减，当x→0时，g(x)>0，5 则要g(4)＝16＋4(2－a)－aln2<0，则a>，故a≥8，综上，a的取值范围为(－∞，0)∪{4}∪[8，＋∞)．5．(2023·济宁质检)已知函数f(x)＝acosx＋bex(a，b∈R)，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝－x.(1)求实数a，b的值；(2)当x∈时，f(x)≤c(c∈Z)恒成立，求c的最小值．解　(1)因为f′(x)＝－asinx＋bex，所以解得(2)因为f(x)＝cosx－ex，x∈，所以f′(x)＝－sinx－ex，设g(x)＝－sinx－ex，g′(x)＝－cosx－ex＝－(cosx＋ex)．当x∈时，cosx≥0，ex>0，所以g′(x)<0，当x∈(0，＋∞)时，－1≤cosx≤1，ex>1，所以g′(x)<0.所以，当x∈时，g′(x)<0，g(x)即f′(x)单调递减．因为f′(0)＝－1<0，f′＝－＝－，因为>e>2，所以<，所以f′>0.所以∃x0∈，使得f′(x0)＝－sinx0－＝0，即＝－sinx0.所以，当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．5 所以f(x)max＝f(x0)＝cosx0－＝cosx0＋sinx0＝sin.因为x0∈，所以x0＋∈，所以sin∈，所以f(x0)∈(0,1)．由题意知，c≥f(x0)，所以整数c的最小值为1.5