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2024年高考数学一轮复习(新高考版) 第3章 必刷大题6 导数的综合问题

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必刷大题6 导数的综合问题1.(2023·温州模拟)已知函数f(x)=x2-(a+1)lnx.(1)当a=0时,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)≥(a2-a)lnx对∀x∈(1,+∞)恒成立,求a的取值范围.解 (1)f(x)的定义域为(0,+∞),当a=0时,f′(x)=2x-=.当x∈时,f′(x)<0,则f(x)的单调递减区间为,当x∈时,f′(x)>0,则f(x)的单调递增区间为.(2)由f(x)≥(a2-a)lnx对∀x∈(1,+∞)恒成立,得a2+1≤对∀x∈(1,+∞)恒成立.设h(x)=(x>1),则h′(x)=.当x∈(1,)时,h′(x)<0;当x∈(,+∞)时,h′(x)>0.所以h(x)min=h()=2e,则a2+1≤2e,解得-≤a≤,故a的取值范围是[-,].2.设f(x)=2xlnx+1.(1)求f(x)的最小值;(2)证明:f(x)≤x2-x++2lnx.(1)解 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=2(lnx+1),当x∈时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈时,f′(x)>0,f(x)单调递增,5 所以当x=时,f(x)取得最小值f =1-.(2)证明 令F(x)=x2-x++2lnx-f(x)=x(x-1)--2(x-1)lnx=(x-1),令g(x)=x--2lnx,则g′(x)=1+-=≥0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,又g(1)=0,所以当0<x<1时,g(x)<0,F(x)>0当x>1时,g(x)>0,F(x)>0,当x=1时,F(x)=0,所以(x-1)≥0,即f(x)≤x2-x++2lnx.3.(2023·邢台质检)2022年2月4日,第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场举行,拉开了冬奥会的帷幕.冬奥会发布的吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”得到了大家的广泛喜爱,达到一墩难求的地步.当地某旅游用品商店获批经销此次奥运会纪念品,其中某个挂件纪念品每件的成本为5元,并且每件纪念品需向税务部门上交a元(10≤a≤13)的税收,预计当每件产品的售价定为x元(13≤x≤17)时,一年的销售量为(18-x)2万件.(1)求该商店一年的利润f(x)(万元)与每件纪念品的售价x的函数关系式;(2)求出f(x)的最大值Q(a).解 (1)由题意,预计当每件产品的售价为x元(13≤x≤17)时,一年的销售量为(18-x)2万件,而每件产品的成本为5元,且每件产品需向税务部门上交a元(10≤a≤13),∴商店一年的利润f(x)(万元)与售价x的函数关系式为f(x)=(x-5-a)(18-x)2,x∈[13,17].(2)∵f(x)=(x-5-a)(18-x)2,x∈[13,17],∴f′(x)=(28+2a-3x)(18-x),令f′(x)=0,解得x=或x=18,而10≤a≤13,则16≤≤18,①若16≤<17,即10≤a<11.5,当x∈时,f′(x)≥0,f(x)单调递增,5 当x∈时,f′(x)≤0,f(x)单调递减,∴f(x)max=f =(13-a)3;②若17≤≤18,即11.5≤a≤13,则f′(x)≥0,即f(x)在[13,17]上单调递增,∴f(x)max=f(17)=12-a,综上,Q(a)=4.(2022·重庆质检)已知函数f(x)=x2+2x-aln ,a∈R.(1)当a=4时,求f(x)的极值;(2)若曲线y=f(x)与直线y=ax在(0,4]上有且只有一个交点,求a的取值范围.解 (1)由题意,f(x)=x2+2x-4ln ,x>0,则f′(x)=2x+2-=(x2+x-2)=(x-1)(x+2),故f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,有极小值f(1)=3-4ln ,无极大值.(2)设g(x)=f(x)-ax=x2+(2-a)x-aln ,x∈(0,4],则g′(x)=2x+(2-a)-=[2x2+(2-a)x-a]=(x+1)(2x-a),①当a=0时,g(x)=x2+2x,在(0,4]上无零点,不符合题意;②当a<0时,g(x)在(0,4]上单调递增,g(2)=4+(2-a)×2>0,x→0时,g(x)<0,由零点存在定理得,g(x)在(0,4]内只有一个零点,即曲线y=f(x)与直线y=ax在(0,4]上有且只有一个交点.③当a>0时,g(x)在上单调递减,在上单调递增,若<4,即0<a<8,则只能g=a-a2-aln =a=0⇒a=4,若a≥8,则g(x)在(0,4]上单调递减,当x→0时,g(x)>0,5 则要g(4)=16+4(2-a)-aln2<0,则a>,故a≥8,综上,a的取值范围为(-∞,0)∪{4}∪[8,+∞).5.(2023·济宁质检)已知函数f(x)=acosx+bex(a,b∈R),曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=-x.(1)求实数a,b的值;(2)当x∈时,f(x)≤c(c∈Z)恒成立,求c的最小值.解 (1)因为f′(x)=-asinx+bex,所以解得(2)因为f(x)=cosx-ex,x∈,所以f′(x)=-sinx-ex,设g(x)=-sinx-ex,g′(x)=-cosx-ex=-(cosx+ex).当x∈时,cosx≥0,ex>0,所以g′(x)<0,当x∈(0,+∞)时,-1≤cosx≤1,ex>1,所以g′(x)<0.所以,当x∈时,g′(x)<0,g(x)即f′(x)单调递减.因为f′(0)=-1<0,f′=-=-,因为>e>2,所以<,所以f′>0.所以∃x0∈,使得f′(x0)=-sinx0-=0,即=-sinx0.所以,当x∈时,f′(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(x0,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.5 所以f(x)max=f(x0)=cosx0-=cosx0+sinx0=sin.因为x0∈,所以x0+∈,所以sin∈,所以f(x0)∈(0,1).由题意知,c≥f(x0),所以整数c的最小值为1.5

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发布时间:2024-09-11 10:00:02 页数:5
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文章作者:180****8757

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