导数综合问题--2024届新高考满分突破压轴大题（学生版）

导数综合问题压轴秘籍1.导函数与原函数的关系f(x)>0,k>0,f(x)单调递增，f(x)<0,k<0,f(x)单调递减2.极值（1）极值的定义f(x)在x=x0处先↗后↘，f(x)在x=x0处取得极大值f(x)在x=x0处先↘后↗，f(x)在x=x0处取得极小值3.两招破解不等式的恒成立问题(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.(1)分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．(2)函数思想法第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解．4.常用函数不等式：xx12①e≥x+1，其加强不等式e≥x+x+1；2xx2②e≥ex，其加强不等式e≥ex+(x-1).x−1③e≥x，lnx≤x−1，ln(x+1)≤x11112(x−1)123放缩1−<x−<x−<lnx<<−x+2x−<x−1(0<x<1)x2xxx+12211232(x−1)1111−<−x+2x−<<lnx<x−<x−<x−1(1<x<2)x22x+1x2x12312(x−1)111−x+2x−<1−<<lnx<x−<x−<x−1(x>2)22xx+1x2xx11xx+1<e<(x<1)，<x+1<e(x>1)1−x1−x5.利用导数证明不等式问题：(1)直接构造函数法：证明不等式fx>gx(或fx<gx)转化为证明fx-gx>0(或fx-gx<0)，进而构造辅助函数hx=fx-gx；(2)转化为证不等式h(x)>0(或h(x)<0)，进而转化为证明h(x)min>0(h(x)max>0)，因此只需在所给区间内判断h(x)的符号，从而得到函数h(x)的单调性，并求出函数h(x)的最小值即可.1 6.证明极值点偏移的相关问题，一般有以下几种方法：(1)证明x1+x2<2a(或x1+x2>2a)：①首先构造函数gx=fx-f2a-x，求导，确定函数y=fx和函数y=gx的单调性；②确定两个零点x1<a<x2，且fx1=fx2，由函数值gx1与ga的大小关系，得gx1=fx1-f2a-x1=fx2-f2a-x1与零进行大小比较；③再由函数y=fx在区间a,+∞上的单调性得到x2与2a-x1的大小，从而证明相应问题；22(2)证明x1x2<a(或x1x2>a)(x1、x2都为正数)：2a①首先构造函数gx=fx-fx，求导，确定函数y=fx和函数y=gx的单调性；②确定两个零点x1<a<x2，且fx1=fx2，由函数值gx1与ga的大小关系，得gx1=fx1-22aaf=fx2-f与零进行大小比较；x1x12a③再由函数y=fx在区间a,+∞上的单调性得到x2与的大小，从而证明相应问题；x1x1-x2x1+x2(3)应用对数平均不等式x1x2<<证明极值点偏移：lnx1-lnx22①由题中等式中产生对数；x1-x2②将所得含对数的等式进行变形得到；lnx1-lnx2③利用对数平均不等式来证明相应的问题.题型训练一、问答题7(2023·吉林·统考一模)已知函数fx=-2x+lnx．(1)求曲线y=fx在1,f1处的切线方程；2(2)若对∀x∈0,+∞，fx≤ax-2x恒成立．求实数a的取值范围．2 8(2023·云南红河·统考一模)已知函数f(x)=mx-lnx-1(m∈R)．(1)讨论函数f(x)的单调性；x-1(2)若关于x的不等式e+alnx-(a+1)x+a≥0恒成立，求实数a的取值范围．x9(2023·全国·模拟预测)已知函数fx=2e-x．(1)求fx的最值；x2x(2)若方程fx=ae-ae有两个不同的解，求实数a的取值范围．3 211-x10(2023·浙江金华·校联考模拟预测)已知f(x)=ax-ax--lnx+e(a>0)．x(1)若当x=1时函数fx取到极值，求a的值；(2)讨论函数fx在区间(1,+∞)上的零点个数．x211(2022·江苏南通·模拟预测)已知函数fx=x-ae-x．(1)若a=1,x∈0,1，求函数fx的最值；(2)若a∈Z，函数fx在x∈0,+∞)上是增函数，求a的最大整数值．4 3212(2023·江苏徐州·校考模拟预测)已知函数f(x)=-2x+mx，m∈R，且g(x)=|f(x)|在x∈(0,2)上的极大值为1．(1)求实数m的值；(2)若b=f(a)，c=f(b)，a=f(c)，求a,b,c的值．x-x13(2023·安徽·校联考模拟预测)已知函数fx=ae-e，(a∈R).(1)若fx为偶函数，求此时fx在点0,f0处的切线方程；(2)设函数g(x)=f(x)-(a+1)x，且存在x1,x2分别为g(x)的极大值点和极小值点.(ⅰ)求实数a的取值范围；(ⅱ)若a∈(0,1)，且gx1+kgx2>0，求实数k的取值范围.5 14(2023上·广东深圳·高三深圳中学校考阶段练习)已知函数fx=x-mlnx-n，其中m,n∈R.(1)若m=n=1，求fx在x=1处的切线方程；n(2)已知不等式fx≥x恒成立，当取最大值时，求m的值.mx15(2023·广东韶关·统考一模)已知函数fx=e,gx=2x.(1)若fx在x=0处的切线与gx的图象切于点P，求P的坐标；2a+2(2)若函数Fx=faxx-的极小值小于零，求实数a的取值范围.a6 1216(2023·湖北黄冈·统考模拟预测)已知函数f(x)=alnx-2x+x.2(1)讨论函数fx的极值点个数；x1(2)若不等式f(x)≤xe+x-a-2-1恒成立，求实数a的取值范围.2m17(2023·山东潍坊·统考模拟预测)已知函数f(x)=+ln(x+1)，m∈R．x-1(1)若函数fx图象上存在关于原点对称的两点，求m的取值范围；(2s-2t)kmm(2)当s>t>1时，+f(t-2)+<f(s-2)+恒成立，求正实数k的最大值．s+t-2s-3t-37 2x18(2023·河北保定·统考二模)已知函数fx=xe+m,m∈R．(1)当m=-1时，求fx在点A1,e-1处的切线方程．fx(2)若gx=-lnx-1的图象恒在x轴上方，求实数m的取值范围．xx19(2023下·福建宁德·高三统考阶段练习)已知函数f(x)=e+2ax-1，其中a为实数，e为自然对数底数，e=2.71828⋯.(1)已知函数x∈R，f(x)≥0，求实数a取值的集合；2(2)已知函数F(x)=f(x)-ax有两个不同极值点x1、x2，证明2a(x1+x2)>3x1x28 20(2023·广东·统考二模)已知a∈R，函数fx=x-1ln1-x-x-acosx，fx为fx的导函数.(1)当a=0时，求函数fx的单调区间；(2)讨论fx在区间0,1上的零点个数；1110(3)比较cos与ln的大小，并说明理由.10109二、证明题221(2023·福建·校联考模拟预测)设函数fx=2x--alnx(a∈R).x(1)讨论fx的单调性；(2)若fx有两个极值点x1，x2，记过点Ax1,fx1，Bx2,fx2的直线的斜率为k，若x2∈1,e，4证明：2-<k<0.e-19 222(2023·福建龙岩·统考二模)已知函数f(x)=lnx，g(x)=x-．xx0+1x(1)若x0满足fx0=，证明：曲线y=f(x)在点Ax0,lnx0处的切线也是曲线y=e的切线；x0-1(2)若F(x)=f(x)-g(x)，且Fx1=Fx2x1≠x2，证明：Fx1+Fx2<4ln2-7．23(2023·浙江·统考一模)已知函数fx=xcosx+asinx.3x(1)若a=-1，证明：当0<x<1时，fx>-；3(2)求所有的实数a，使得函数y=fx在-π,π上单调.10 24(2023下·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考阶段练习)已知函数fx=axlnx和函数gx=有相同的最大值.xaxe(1)求a的值；(2)设集合A=xf(x)=b，B=xg(x)=b(b为常数).①证明：存在实数b，使得集合A∪B中有且仅有3个元素；②设A∪B=x1,x2,x3，x1<x2<x3，求证：x1+x3>2x2.25(2023·云南大理·统考一模)已知函数fx=2x-sinx.(1)判断函数fx的单调性；(2)已知函数gx=fx-4x+2mlnx，其中m>1，若存在gx1=gx2x1≠x2，证明：x1+x2>1+lnm.11 26(2023上·湖南·高三邵阳市第二中学校联考阶段练习)已知函数fx=2lnx-ax+1a∈R.(1)讨论函数fx的零点个数；ax22e(2)已知函数gx=e-exa∈R，当0<a<时，关于x的方程fx=gx有两个实根x1,x2e11x1<x2，求证：x1-e<-.(注：e=2.71828⋯是自然对数的底数)x2e27(2023·吉林长春·东北师大附中校考一模)已知函数fx=lnx-kx+1．(1)讨论函数fx的单调性；x2ee(2)若函数gx=，求证：当a∈0,时，gx>fx+kx-1．ax212 128(2023·河北沧州·校考三模)已知函数fx=ln+ax-2，a∈R.x(1)若fx≥0恒成立，求实数a的取值范围；*1111(2)证明：对任意的k∈N，1+1+1+⋯1+<e，e为自然对数的底12+122+232+3k2+k数.1229(2023·山西临汾·校考模拟预测)已知函数fx=alnx+1+x-1a∈R．2(1)若a=2，求fx的图像在x=0处的切线方程；(2)若fx恰有两个极值点x1，x2，且x1<x2．①求a的取值范围；②求证：2fx2>x1+1．13 xe30(2023·湖南·湖南师大附中校联考一模)已知fx=，gx=asinx，直线l1是y=fx在xx=1处的切线，直线l2是y=gx在x=0处的切线，若两直线l1、l2夹角的正切值为2，且当x>0时，直线l2恒在函数y=gx图象的下方.(1)求a的值；(2)设Fx=fx+gx，若x0是Fx在-π,0上的一个极值点，求证：x0是函数Fx在-π,0上的唯一极大值点，且0<Fx0<2.2x-12131(2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测)已知函数fx=ae-xlnx+22x3(1)若a=0，证明:fx≥-x;22xlnxxlnx(2)设gx=xfx+，若∀x>1,xg<g恒成立，求实数a的取值范围.xx-1x-1e14 32(2023上·北京·高三北京市八一中学校考阶段练习)已知函数f(x)=xcosx-ax+a，x∈π0,，(a≠0).2(1)当a≥1时，求f(x)的单调区间；(2)求证：f(x)有且仅有一个零点.xa+lnx33(2023·重庆·统考模拟预测)已知函数fx=和gx=在同一处取得相同的最aex-1x大值．(1)求实数a；(2)设直线y=b与两条曲线y=fx和y=gx共有四个不同的交点，其横坐标分别为x1,x2,x3,x4(x1<x2<x3<x4)，证明：x1x4=x2x3．15 234(2023·辽宁抚顺·校考模拟预测)已知函数fx=ax-x-lnxa∈R．1(1)当a=时，求函数fx在[1,2]上的最大值．2(2)若函数fx在定义域内有两个不相等的零点x1，x2，证明：fx1+x2+lnx1+x2>2．35(2023·山西·校考模拟预测)已知函数fx=lnx-ax+1,a∈R.(1)若fx≤0，求a的取值范围；2ax2(2)若关于x的方程fx=e-ex有两个不同的正实根x1,x2，证明：x1+x2>2e.16 x36(2023·湖南永州·统考一模)已知函数fx=lnx+1,gx=axe-2lna+3ln2+3．fx1(1)当x∈-1,0∪0,+∞时，求证：>-x+1；x2(2)若x∈-1,+∞时，gx≥fx，求实数a的取值范围．17