2024年新结构题型中大题考点预测：导数综合 学生版

2024年新结构题型中大题考点预测：导数综合目录题型一：导数恒能成立问题题型二：导数与函数零点问题题型三：导数解决双变量问题题型四：导数中的极值点偏移问题题型一：导数恒能成立问题221(2023·黑龙江佳木斯·模拟预测)已知函数fx=lnx-ax-ax+a-1a∈R．(1)试讨论fx的单调性；x22e(2)若不等式fx+1+ax+1+≥0对任意的x≥0恒成立，求实数a的取值范围.x+1122(2023·湖南郴州·模拟预测)已知f(x)=alnx+x-2x(a∈R且a≠0)在(0,+∞)上单调递增，2gx=cosx+xsinx.12(1)当a取最小值时，证明fx≤x-x-1恒成立.21fx2(2)对∀x1∈-π,π，∃x2∈e,e，使得x-a≤gx1成立，求实数a的取值范围.21 22xx3(2024·云南昆明·模拟预测)已知函数fx=lnx+1-x+x∈-1,+∞和gx=+sinx22π+cosx-x-1x∈-1,2．(1)讨论fx与gx的单调性；a(2)若lnx+1+1≥sinx+cosx+在0,+∞上恒成立，求实数a的取值范围．xx4(2024·广东·模拟预测)已知函数fx=e+cosx-2，gx=sinx.(1)求证：当x∈0,+∞，g(x)<x<f(x)；(2)若x∈0,+∞，fx+gx>ax恒成立，求实数a的取值范围.2 2x5(2024·湖南·模拟预测)已知函数fx=ae-3ax(a∈R,a≠0,e是自然对数的底数，e=2.71828⋯).(1)当a=1时，求函数fx的零点个数；(2)当a=1时，证明：fx≥cosx-2x；(3)证明：若a∈1,+∞,x∈R，则fx≥1-2sinx.axlnx6(2024·全国·模拟预测)已知函数fx=和函数gx=有相同的最大值.xaxe(1)求a的值；(2)设集合A=xfx=b，B=xgx=b(b为常数).证明：存在实数b，使得集合A∪B中有且仅有3个元素.3 327(2023·上海·模拟预测)已知函数f(x)=x+bx+cx(b、c∈R)，其导函数为f(x)，(1)若函数f(x)有三个零点x1、x2、x3，且x1+x2+x3=3,x1x3=-9，试比较f(3)-f(0)与3f(2)的大小.(2)若f(1)=-2，试判断f(x)在区间(0,2)上是否存在极值点，并说明理由.(3)在(1)的条件下，对任意的m,n∈R，总存在x∈[0,3]使得|f(x)+mx+n|≥t成立，求实数t的最大值.28(2023高三·全国·专题练习)已知函数fx=lnax-2ax+alna.2(1)求证fx≤a-3；(2)是否存在实数k，使得只有唯一的正整数a，对于x∈(0,+∞)恒有：f(x)<ea+k，若存在，请求出k的范围以及正整数a的值；若不存在请说明理由.(下表的近似值供参考)ln2ln3ln4ln5ln6ln7ln8ln90.691.101.381.611.791.952.072.204 2xx+1129(2023·浙江温州·模拟预测)已知函数fx=ae-e-xa∈R．2(1)若函数f(x)有两个极值点，求整数a的值；b(2)若存在实数a，b，使得对任意实数x，函数f(x)的切线的斜率不小于b，求的最大值．a10(22-23高三上·安徽·阶段练习)若存在x1,x2∈a,b且x1≠x2,m>1使gx1-gx2>x2mfx1-fx2成立，则在区间a,b上，称gx为fx的“m倍扩张函数”．设fx=e,gx=-x+x，1若在区间-2,上gx为fx的“m倍扩张函数”．2(1)求实数m的取值范围；(2)证明：fx与gx的图象存在两条公切线．5 elnx+1ex11(2024·湖北武汉·二模)已知函数fx=+1-alnx，hx=．xxe13(1)当x>1时，求证：hx>-x+；22x23a(2)函数fx有两个极值点x1，x2，其中x1<x2，求证：>e．x1x-a12(2024·广西南宁·一模)已知函数fx=lnx-ax+a,gx=x-1e-ax+1a∈R．(1)若fx≤0，求a的值；(2)当a∈0,1时，证明：gx≥fx．6 题型二：导数与函数零点问题xa13(23-24高三上·湖北·期中)已知a>0，曲线C1：y=alnx与C2：y=e没有公共点.(1)求a的取值范围；(2)设一条直线与C1，C2分别相切于点i,j，s,t.证明：(i)i+t≠j+s；i+ssj(ⅱ)0<<+.eitax14(2024·山东泰安·一模)已知函数fx=aea≠0．(1)若a>0，曲线y=fx在点0,f0处的切线与直线x+y-2=0垂直，证明：fx>lnx+2；ax1ax2e-e(2)若对任意的x1,x2且x1<x2，函数gx=fx-，证明：函数gx在x1,x2上存在唯一零点．x1-x27 15(2024·山西·模拟预测)已知函数f(x)=sinx+ln(x+1)-ax，且y=f(x)与x轴相切于坐标原点．(1)求实数a的值及f(x)的最大值；π1(2)证明：当x∈,π时，f(x)+2x>；62(3)判断关于x的方程f(x)+x=0实数根的个数，并证明．x16(23-24高三上·安徽池州·期末)已知函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称，若fx=e，构造函数p(x)=xf(x)+ag(x)．(1)当a=1时，求函数p(x)在点(1,p(1))处的切线与坐标轴围成三角形的面积；5(2)若r(x)=(x+1)f(x)-g(x)(其中g(x)为g(x)的导函数)，当a=-1时，(t+1)r(t)=p(t)，证明：<t95<．(参考数据：ln3≈1.099,ln5≈1.609)3e8 πx17(23-24高三上·河北沧州·期末)已知函数f(x)=x-sin.2π2(1)设θ∈0,且cosθ=，求f(x)在区间(-1,1)内的单调递减区间(用θ表示)；2π(2)若a>0，函数g(x)=f(x)-aln|x|有且仅有2个零点，求a的值.18(2023·全国·模拟预测)一类项目若投资1元，投资成功的概率为p(0<p<1)．如果投资成功，会获得b元的回报(b>0)；如果投资失败，则会亏掉1元本金．为了规避风险，分多次投资该类项目，设每次投资金额为剩余本金的x(0<x<1)，1956年约翰·拉里·凯利计算得出，多次投资的平均回报率函数为f(x)p1-p=(1+bx)⋅(1-x)，并提出了凯利公式．pb-(1-p)(1)证明：当p(b+1)>1时，使得平均回报率f(x)最高的投资比例x满足凯利公式x=；b11x2(2)若b=1，p=，求函数g(x)=e-x-f(cosx)在(0,π)上的零点个数．29 19(2023·上海浦东新·二模)设P是坐标平面xOy上的一点，曲线Γ是函数y=fx的图象．若过点P恰能作曲线Γ的k条切线k∈N，则称P是函数y=fx的“k度点”．(1)判断点O0,0与点A2,0是否为函数y=lnx的1度点，不需要说明理由；(2)已知0<m<π，gx=sinx．证明：点B0,π是y=gx0<x<m的0度点；3(3)求函数y=x-x的全体2度点构成的集合．20(2024·全国·模拟预测)如果有且仅有两条不同的直线与函数fx,gx的图象均相切，那么称这两个函数fx,gx为“L函数组”．x-2(1)判断函数y=e与y=lnx是否为“L函数组”，其中e为自然对数的底数，并说明理由；(2)已知函数fx=2+lnx与gx=ax为“L函数组”，求实数a的取值范围．10 x21(23-24高三上·安徽·阶段练习)已知函数fx=e-ax+1，a∈R，fx有两个零点x1，x2.(1)若a∈Z，求a的最小值；2(2)证明：x1+x2>2+.a题型三：导数解决双变量问题x222(22-23高三上·吉林通化·开学考试)已知函数fx=1-xe-a(x+1)(a∈R).(1)求f(x)的单调区间；(2)若fx有两个不同的零点x1,x2，证明：x1+x2<0.11 x23(2023·山东威海·一模)已知函数fx=e-ax有两个零点.(1)求实数a的取值范围；(2)设x1,x2是fx的两个零点，求证：fx1x2<0.x1224(23-24高三上·重庆沙坪坝·期中)已知函数fx=ae-x+a有两个不同的极值点x1,x22x1<x2.(1)求实数a的取值范围；(2)已知m>0，且x1+mx2>m+1，求m的取值范围.12 12325(23-24高三上·湖南长沙·阶段练习)函数fx=alnx+x-a+1x+(a>0).22(1)求函数fx的单调区间；(2)当a=1时，若fx1+fx2=0，求证：x1+x2≥2；*(3)求证：对于任意n∈N都有.12126(2023·四川成都·模拟预测)若函数fx=alnx-x+a+x>0有两个零点x1,x2，且x1<x2．22(1)求a的取值范围；(2)若fx在x1,0和x2,0处的切线交于点x3,y3，求证：2x3<x1+x2．13 x+227(2023·海南海口·模拟预测)已知函数f(x)=xe.(1)求f(x)的最小值；2(2)设F(x)=f(x)+a(x+1)(a>0).(ⅰ)证明：F(x)存在两个零点x1，x2；(ⅱ)证明：F(x)的两个零点x1，x2满足x1+x2+2<0.28(2023·浙江·二模)设m>1，过Mm,0斜率为k的直线与曲线y=lnx交于P，Q两点(P在第一象限，Q在第四象限).(1)若M为PQ中点，证明：0<k<1；(2)设点A0,1，若AP≤AQ，证明：k>1.14 1+2lnx29(2023·全国·模拟预测)已知函数fx=.2xkx1(1)设函数gx=e-k>0，若fx≤gx恒成立，求k的最小值；kxx1x221-lnm(2)若方程fx=m有两个不相等的实根x1、x2，求证：+<.x2x1mx30(2023·陕西安康·二模)已知函数fx=alnx，gx=be(e为自然对数的底数)(1)当a=e时，恰好存在一条过原点的直线与fx，gx都相切，求b的值；2-x1+x2(2)若b=1，方程xgx-fx-ax=0有两个根x1，x2，(0<x1<x2)，求证：x1⋅x2>e．15 231(22-23高三上·广东揭阳·期末)已知函数fx=2alnx+x-2(a+1)x(a<0).(1)讨论fx的零点个数；(2)当fx有两个零点时，分别设为x1，x2x1<x2，试判断x1+x2与2的大小关系，并证明.题型四：导数中的极值点偏移问题232(23-24高三上·重庆渝中·期中)已知函数fx=xlnx-ax+x,a∈R．(1)若函数fx是减函数，求a的取值范围；8(2)若fx有两个零点x1,x2，且x2>2x1，证明：x1x2>2．e16 133(2022·山东临沂·二模)已知函数f(x)=x-sinx．2ππ(1)若存在x∈,，使f(x)≤ax成立，求a的取值范围；422(2)若g(x)=f(x)-mlnx，存在x1，x2∈(0,+∞)，且当x1≠x2时，gx1=gx2，求证：x1x2<4m．a34(2022·贵州·模拟预测)已知函数f(x)=2lnx+(a∈R)有两个零点.2x(1)求a的取值范围.(2)记两个零点分别为x1，x2，证明：x1+x2>1.17 35(23-24高三上·湖北·期中)已知hx=lnx-ax(1)若hx有两个零点，求a的取值范围；x1x2xx1e+x2e(2)若方程ax⋅e=lnx+x有两个实根x1、x2，且x2>x1，证明：h<0.236(2023·安徽淮南·一模)已知f(x)=alnx+x有两个不同的零点x1,x20<x1<x2.(1)求实数a的取值范围；x1+λx2(2)若x0=(λ≠-1)，且fx0>0恒成立，求实数λ的范围.1+λ18 1137(22-23高三上·安徽六安·阶段练习)已知函数f(x)=a+lnx+-x(a>0)，函数gx是定ax义在0,+∞的可导函数，其导数为gx，满足0<gx<-gx．(1)若fx在0,+∞上单调递减，求实数a取值范围；2x12x2(2)对任意正数x1,x2x1<x2，试比较x1gx与x2gx的大小．21x-x38(22-23高三上·内蒙古·阶段练习)已知函数f(x)=e-e-ax(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；fx1-fx2(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2，证明：2-a<<0．x1-x219 21239(2023·湖南永州·一模)已知f(x)=x-kxlnx-1，g(x)=ax-xlnx+x2(1)不等式f(x)≥0对任意x≥1恒成立，求k的取值范围；(2)当g(x)有两个极值点x1,x2x1<x2时，求证：(2ae-1)x1+x2<2e.x40(23-24高三上·云南昆明·阶段练习)设a，b为函数fx=x⋅e-m(m<0)的两个零点．x1(1)若当x<0时，不等式x⋅e>恒成立，求实数m的取值范围；xab(2)证明：e+e<1．20 x2e-ax41(2024·全国·模拟预测)已知函数f(x)=有3个极值点x1,x2,x3，其中e是自然对数的底数．1+x(1)求实数a的取值范围；(2)求证：x1+x2+x3>-2．21