2024年高考数学：立体几何（7大题型汇编）（学生版）

立体几何立体几何是高考数学的必考内容，在大题中一般分两问，第一问考查空间直线与平面的位置关系证明；第二问考查空间角、空间距离等的求解。考题难度中等，常结合空间向量知识进行考查。2024年高考有很大可能延续往年的出题方式。题型一：空间异面直线夹角的求解1(2023·上海长宁·统考一模)如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O为BD的中点.(1)求证：AO⊥CD；(2)若BD⊥DC,BD=DC,AO=BO，求异面直线BC与AD所成的角的大小.1 1、求异面直线所成角一般步骤：(1)平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线．(2)证明：证明所作的角是异面直线所成的角．(3)寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之．π(4)取舍：因为异面直线所成角θ的取值范围是0,，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直2线所成的角．2、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：(1)直接平移法(可利用图中已有的平行线)；(2)中位线平移法；(3)补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．3、异面直线所成角：若n1,n2分别为直线l1,l2的方向向量，θ为直线l1,l2的夹角，则cosθn1⋅n2=cos<n1,n2>=.n1n21(2023·江西萍乡·高三统考期中)如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是BB1,CD的中点.(1)证明：EF⎳平面AB1C1D；2(2)若AB=2A1B1，且正四棱台的侧面积为9，其内切球半径为，O为ABCD的中心，求异面直线OB12与CC1所成角的余弦值.2 2(2023·辽宁丹东·统考二模)如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，平面CDD1C1⊥平面ABCD，AD⊥DC，二面角D1-AD-C的大小为120°，E为棱C1D1的中点．(1)证明：CD⊥AE；(2)点F在棱CC1上，AE⎳平面BDF，求直线AE与DF所成角的余弦值．题型二：空间直线与平面夹角的求解2(2024·安徽合肥·统考一模)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形ACC1A1,BCC1B1均为正方形，D,E分别是棱AB,A1B1的中点，N为C1E上一点.(1)证明：BN⎳平面A1DC；(2)若AB=AC,C1E=3C1N，求直线DN与平面A1DC所成角的正弦值.3 1、垂线法求线面角(也称直接法)：(1)先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面α做垂线，确定垂足O；(2)连结斜足与垂足为斜线AB在面α上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角；(3)把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解(可能利用余弦定理或者直角三角形)。3、公式法求线面角(也称等体积法)：用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。h公式为：sinθ=，其中θ是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，l是斜线段的长。l方法：已知平面β内一个多边形的面积为S，它在平面α内的射影图形的面积为S，射影S射影平面α和平面β所成的二面角的大小为θ，则COSθ=.这个方法对于无棱二面角的求解很简便。S4、直线与平面所成角：设n1是直线l的方向向量，n2是平面α的法向量，直线与平面的夹角为θ.则sinθ=n1⋅n2cos<n1,n2>=.n1n21(2024·内蒙古赤峰·高三校考开学考试)如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，AB=AC=2A1B1=2AA1ππ=42，∠A1AB=∠A1AC=，∠BAC=．32(1)证明：A1A⊥B1C1；(2)求直线BB1与平面A1ACC1所成角的正弦值．4 2(2024·浙江温州·高三统考期末)如图，以AD所在直线为轴将直角梯形ABCD旋转得到三棱台ABE-DCF，其中AB⊥BC，AB=2BC=2CD．(1)求证：AD⊥BE；π(2)若∠EAB=，求直线AD与平面CDF所成角的正弦值．3题型三：空间平面与平面夹角的求解1(2024·江苏扬州·高三统考开学考试)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，EF⎳AD，AF=3EF=3，∠EAD=120°，平面ADFE⊥平面ABCD．(1)求证：BD⊥CF；(2)求平面BDF与平面BCF所成角的余弦值．5 1、几何法(1)定义法(棱上一点双垂线法)：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线．(2)三垂线法(面上一点双垂线法)：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点(即斜足)，斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角(3)垂面法(空间一点垂面法)：过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。s射影(4)射影面积法求二面角cosθ=S2、向量法：若n1,n2分别为平面α,β的法向量，θ为平面α,β的夹角，则cosθ=cos<n1,n2>=n1⋅n2.n1n21(2024·河南郑州·高三校联考阶段练习)如图，在长方ABCD-A1B1C1D1中，AB=2BC=4，E为AA1的中点，DE⊥BD1.(1)求AA1的长；(2)求二面角B-DE-A的余弦值.6 2(2024·山东济南·高三济南一中校联考开学考试)如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD和侧面ABB1A1均是边长为2的正方形.(1)证明：BD1⊥B1C.(2)若∠B1BC=120°，求二面角A-BC-D1的余弦值.题型四：空间点、线、面间的距离求解1(2024·四川·校联考一模)如图，在四棱锥P-ABCD中，AD⎳BC，AD⊥PD，平面PAD⊥平面PCD．(1)证明：BC⊥平面PCD；1(2)已知AD=PD=DC=BC=2，且∠DPC=30°，求点D到平面PAB的距离．27 1、几何法求点面距1、定义法(直接法)：找到或者作出过这一点且与平面垂直的直线，求出垂线段的长度；2、等体积法：通过点面所在的三棱锥，利用体积相等求出对应的点线距离；3、转化法：转化成求另一点到该平面的距离，常见转化为求与面平行的直线上的点到面的距离．2、向量法求空间距离：(1)点面距：已知平面α的法向量为n , A是平面α内的任一点，P是平面α外一点,过点P作则平面α的垂AP⋅n线l，交平面α于点Q，则点P到平面α的距离为PQ=nAB⋅n(2)直线a与平面α之间的距离：d=，其中A∈a,B∈α，n是平面α的法向量。|n|AB⋅n(3)两平行平面α,β之间的距离：d=，其中A∈α,B∈β，n是平面α的法向量。|n|1(2024·陕西西安·高三统考期末)如图，在圆锥PO中，AB是圆O的直径，且△PAB是边长为4的等边三角形，C,D为圆弧AB的两个三等分点，E是PB的中点.(1)证明：DE∥平面PAC.(2)求点E到平面PAC的距离.8 2(2023·河南·校联考二模)如图所示，正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，高为3.(1)证明：平面ADF1⎳平面A1BC；(2)求平面ADF1与平面A1BC间的距离.题型五：空间几何体的体积求解1(2024·内蒙古锡林郭勒盟·高三统考开学考试)如图，在四面体ABCD中，∠ACB=∠ACD=60°,BC⊥CD,BC=CD.(1)证明：AC⊥BD(2)若AB=7,BC=2，求四面体ABCD的体积9 1、处理空间几何体体积的基本思路(1)转：转换底面与高，将原本不容易求面积的底面转换为容易求面积的底面，或将原来不容易看出的高转换为容易看出并容易求解的高；(2)拆：将一个不规则的几何体拆成几个规则的几何体，便于计算；(3)拼：将小几何体嵌入一个大几何体中，如有时将一个三棱锥复原成一个三棱柱，将一个三棱柱复原乘一个四棱柱，还台位锥，这些都是拼补的方法。2、求体积的常用方法(1)直接法：对于规则的几何体，利用相关公式直接计算；(2)割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算；(3)等体积法：选择合适的底面来求几何体的体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面作为三棱锥的底面进行等体积变换1(2023·四川·校联考三模)如图所示，直角梯形ABDE和三角形ABC所在平面互相垂直，DB⊥AB，ED∥AB，AB=2DE=2BD=2，AC=BC，异面直线DE与AC所成角为45°.(1)求证：平面ACE⊥平面BCD；(2)若点F在CE上，当△AFB面积最小时，求三棱锥F-ABE的体积.10 2(2023·天津西青·西青区杨柳青第一中学校考模拟预测)如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACD=90°，AB=1，AD=2，四边形ABEF为正方形，平面ABEF⊥平面ABCD，P为DF的中点，AN⊥CF，垂足为N．(1)求证：AN⊥平面CDF；(2)求异面直线BF与PC所成角的正切值；(3)求三棱锥B-CEF的体积．题型六：空间几何体的翻折问题1(2024·河北张家口·高三河北省尚义县第一中学校联考开学考试)如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=2．沿对角线BD折起，形成一个四面体A-BCD，且AC=m．(1)是否存在m，使得AB⊥CD，AD⊥BC同时成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．(2)求当二面角A-CD-B的正弦值为多少时，四面体A-BCD的体积最大．11 翻折问题的两个解题策略1、确定翻折前后变与不变的关系：画好翻折前后的平面图形与立体图形，分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变．一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决2、确定翻折后关键点的位置：所谓的关键点，是指翻折过程中运动变化的点．因为这些点的位置移动，会带动与其相关的其他的点、线、面的关系变化，以及其他点、线、面之间位置关系与数量关系的变化．只有分析清楚关键点的准确位置，才能以此为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行有关的证明与计算1(2024·湖南·长沙一中校联考模拟预测)如图1，在五边形ABCDP中，连接对角线AD，AD⎳BC，AD⊥DC，PA=PD=22,AD=2BC=2DC=4，将三角形PAD沿AD折起，连接PC,PB，得四棱锥P-ABCD(如图2)，且PB=22,E为AD的中点，M为BC的中点，点N在线段PE上.(1)求证：平面PAD⊥平面ABCD；387(2)若平面AMN和平面PAB的夹角的余弦值为，求线段EN的长.2912 2(2023·河北衡水·高三衡水中学校考阶段练习)如图①，在△ABC中，BC=4,AB=13,cosB=13,E,D分别为BC,AC的中点，以DE为折痕，将△DCE折起，使点C到C1的位置，且BC1=2，如图②.13(1)设平面C1AD∩平面BEC1=l，证明：l⊥平面ABC1；(2)若P是棱C1D上一点(不含端点)，过P,B,E三点作该四棱锥的截面与平面BEC1所成的锐二面角的正3切值为，求该截面将四棱锥分成上下两部分的体积之比.2题型七：空间动点存在性问题的探究1(2024·上海黄浦·高三大同中学校考阶段练习)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E为AD的中点．(1)求证：PE⊥BC；(2)在线段PC上是否存在点M，使得DM⎳平面PEB？请说明理由13 借助于空间直角坐标系，把几何对象上动态点的坐标用参数(变量)表示，将几何对象坐标化，这样根据所要满足的题设要求得到相应的方程或方程组．若方程或方程组在题设范围内有解，则通过参数的值反过来确定几何对象的位置；若方程或方程组在题设范围内无解，则表示满足题设要求的几何对象不存在．1(2024·广东梅州·统考一模)已知三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=2，∠BAC=120°，且BC=2BB1，∠CBB1=60°，侧面BCC1B1⊥底面ABC，D是BC的中点.(1)求证：平面C1AD⊥平面B1AD；AQ(2)在棱AA1上是否存在点Q，使得BQ与平面ACC1A1的所成角为60°.如果存在，请求出；如果不存AA1在，请说明理由.2(2024·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习)设四边形ABCD为矩形，点P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，若PA=AB=1,BC=2.(1)求PC与平面PAD所成角的正切值；(2)在BC边上是否存在一点G，使得点D到平面PAG的距离为2，若存在，求出BG的值，若不存在，请说明理由；14 1(2024·内蒙古赤峰·高三校考开学考试)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是菱形，PA⊥AC,BD⊥PC,PA=AB=4.(1)证明：PA⊥平面ABCD.(2)若PC=4PE,∠ABC=60°，求三棱锥P-BDE的体积.2(2024·云南昆明·昆明一中校考模拟预测)如图，四棱锥P-ABCD中，PA=PD=AD=CD=2，∠DAB=∠ABC=90°，∠ADC=60°．(1)证明：PC⊥BC；(2)若二面角P-AD-B的大小为120°，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．15 3(2024·吉林·校联考模拟预测)如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面为矩形，AB=3AD=3a，高为h，O，E分别为底面的中心和CD的中点．(1)求证：平面A1OE⊥平面CDD1C1；22h(2)若平面A1OE与平面D1BC的夹角的余弦值为，求的值．3a4(2024·天津南开·高三南开中学校考阶段练习)如图，四棱台ABCD-A1B1C1D1中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，AB=2A1B1=6，E，F分别为DC，BC的中点，上下底面中心的连线O1O垂直于上下底面，且O1O与侧棱所在直线所成的角为45°．(1)求证：BD1∥平面C1EF；(2)求点A1到平面C1EF的距离；22(3)边BC上是否存在点M，使得直线A1M与平面C1EF所成的角的正弦值为，若存在，求出线段BM5的长；若不存在，请说明理由．16 5(2024·北京·高三北京市第一六一中学校考开学考试)如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，∠ADE=60°，DE∥CF，CD⊥DE，AD=2，DE=DC=3，CF=6．(1)求证：CD⊥AE；(2)求直线DE与平面AEF所成角的正弦值；(3)求出λ的值，使得CG=λCF，且G到平面ABC距离为3．6(2023·辽宁大连·高三育明高中校考期中)如图，在Rt△ABO中，AB⊥BO，CD⎳AB，AB=3CD=3，AD=22．将△OCD沿CD折起，使点O到达点P的位置．(1)请在答题纸的图中作出平面PAD与平面PBC的交线，并指出这条直线(不必写出作图过程)；(2)证明：平面PAB⊥平面PBC；(3)若直线PA和直线CD所成角的大小为30°，求四棱锥P-ABCD的体积．17 1(2023·北京·统考高考真题)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AB=BC=1，PC=3．(1)求证：BC⊥平面PAB；(2)求二面角A-PC-B的大小．2(2023·全国·统考高考真题)如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=2，BC=22，PB=PC=6，BP,AP,BC的中点分别为D,E,O，点F在AC上，BF⊥AO．(1)求证：EF⎳平面ADO；(2)若∠POF=120°，求三棱锥P-ABC的体积．18 3(2023·全国·统考高考真题)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°．(1)证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；(2)设AB=A1B,AA1=2，求四棱锥A1-BB1C1C的高．4(2023·全国·统考高考真题)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥底面ABC，∠ACB=90°,AA1=2，A1到平面BCC1B1的距离为1．(1)证明：A1C=AC；(2)已知AA1与BB1的距离为2，求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值．19 5(2023·全国·统考高考真题)如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=2，BC=22，PB=PC=6，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，AD=5DO，点F在AC上，BF⊥AO.(1)证明：EF⎳平面ADO；(2)证明：平面ADO⊥平面BEF；(3)求二面角D-AO-C的正弦值.6(2023·天津·统考高考真题)如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，A1A⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC=AA1=2,A1C1=1，M为BC中点.，N为AB的中点，(1)求证：A1N⎳平面AMC1；(2)求平面AMC1与平面ACC1A1所成夹角的余弦值；(3)求点C到平面AMC1的距离．20 7(2023·全国·统考高考真题)如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AA1=4．点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上，AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3．(1)证明：B2C2∥A2D2；(2)点P在棱BB1上，当二面角P-A2C2-D2为150°时，求B2P．8(2023·全国·统考高考真题)如图，三棱锥A-BCD中，DA=DB=DC，BD⊥CD，∠ADB=∠ADC=60°，E为BC的中点．(1)证明：BC⊥DA；(2)点F满足EF=DA，求二面角D-AB-F的正弦值．21