新高考新题型第19题新定义压轴题汇编（学生版）

新高考新题型第19题新定义压轴题汇编目录01集合新定义02函数与导数新定义03立体几何新定义04三角函数新定义05平面向量与解三角形新定义06数列新定义07圆锥曲线新定义08概率与统计新定义09高等数学背景下新定义01集合新定义1(2024·北京·高三北师大实验中学校考阶段练习)已知N元正整数集合A=a1,a2,⋯,aNN≥2满aj足：a1<a2<⋯<aN，且对任意i,j∈1,2,⋯,N,i<j，都有∈Zaj-ai(1)若a1=2，写出所有满足条件的集合A；(2)若aN恰有N个正约数，求证：aN=aN-1+1；ajj(3)求证：对任意的i,j∈1,2,⋯,N-1,i<j，都有≤.aii1 2(2024·北京·高三北京交通大学附属中学校考阶段练习)设集合S=a1,a2,⋯,ann≥3，其中ai∈*N,i=1,2,⋯,n.若集合S满足对于任意的两个非空集合A,B⊆S，都有集合A的所有元素之和与集合B的元素之和不相等，则称集合S具有性质P.(1)判断集合1,2,3,5,9,1,3,5,11是否具有性质P，并说明理由；*k*(2)若集合S=a1,a2,⋯,ann∈N具有性质P，求证：∀k≤n,a1+a2+⋯+ak≥2-1,k∈N；111(3)若集合S=a1,a2,⋯,a2023具有性质P，求++⋯+的最大值.a1a2a20233(2024·北京门头沟·统考一模)已知集合M={±1,±2,±3,⋯,±n}(n≥3).若对于集合M的任意k元子集A，A中必有4个元素的和为-1，则称这样的正整数k为“好数”，所有“好数”的最小值记作g(M).(1)当n=3，即集合M={-3,-2,-1,1,2,3}.(i)写出M的一个子集B，且B中存在4个元素的和为-1；(ii)写出M的一个5元子集C，使得C中任意4个元素的和大于-1；(2)证明：g(M)>n+2；(3)证明：g(M)=n+3.2 02函数与导数新定义4(2024·上海黄浦·高三格致中学校考开学考试)对于函数y=fx的导函数y=fx，若在其定义域内存在实数x0和t，使得fx0+t=t+1⋅fx0成立，则称y=fx是“跃点”函数，并称x0是函数y=fx的“t跃点”.π(1)若函数y=sinx-mx∈R是“跃点”函数，求实数m的取值范围；22(2)若函数y=x-ax+1是定义在-1,3上的“1跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“1跃点”，求实数a的取值范围；x(3)若函数y=e+bxx∈R是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“1跃点”，求实数b的取值范围.5(2024·江西宜春·高三江西省丰城中学校考开学考试)俄国数学家切比雪夫(П.Л.Чебышев，1821-1894)是研究直线逼近函数理论的先驱.对定义在非空集合I上的函数fx，以及函数gx=kx+bk,b∈R，切比雪夫将函数y=fx-gx，x∈I的最大值称为函数fx与gx的“偏差”.2(1)若fx=xx∈0,1，gx=-x-1，求函数fx与gx的“偏差”；2(2)若fx=xx∈-1,1，gx=x+b，求实数b，使得函数fx与gx的“偏差”取得最小值，并求出“偏差”的最小值.3 6(2024·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测)设y=f(x)是定义域为R的函数，如果对任意的x1、x2∈Rx1≠x2,fx1-fx2<x1-x2均成立，则称y=f(x)是“平缓函数”.1(1)若f1(x)=2,f2(x)=sinx，试判断y=f1(x)和y=f2(x)是否为“平缓函数”?并说明理由;(参考x+1公式:x>0时，sinx<x恒成立)(2)若函数y=f(x)是“平缓函数”，且y=f(x)是以1为周期的周期函数，证明:对任意的x1、x2∈R，均1有fx1-fx2<;2(3)设y=g(x)为定义在R上函数，且存在正常数A>1使得函数y=A⋅g(x)为“平缓函数”.现定义数A|g(0)|列xn满足:x1=0,xn=gxn-1(n=2,3,4,⋯)，试证明:对任意的正整数n,gxn≤.A-17(2024·上海浦东新·高三上海市建平中学校考阶段练习)若定义域为D的函数y=fx满足y=fx是定义域为D的严格增函数，则称fx是一个“T函数”.x3(1)分别判断f1x=e，f2x=x是否为T函数，并说明理由；(2)已知常数a>0，若定义在0,+∞上的函数y=gx是T函数，判断ga+1+ga+2和ga+ga+3的大小关系，并证明；(3)已知T函数y=Fx的定义域为R，不等式Fx<0的解集为-∞,0．证明：Fx在R上严格增.4 03立体几何新定义8(2024·江苏·高三专题练习)如图1所示为一种魔豆吊灯，图2为该吊灯的框架结构图，由正六棱锥O1-ABCDEF和O2-ABCDEF构成，两个棱锥的侧棱长均相等，且棱锥底面外接圆的直径为1600mm，底面中心为O，通过连接线及吸盘固定在天花板上，使棱锥的底面呈水平状态，下顶点O2与天花板的距离为1300mm，所有的连接线都用特殊的金属条制成，设金属条的总长为y．(1)设∠O1AO=θ(rad)，将y表示成θ的函数关系式，并写出θ的范围；(2)请你设计θ，当角θ正弦值的大小是多少时，金属条总长y最小．5 9(2024·辽宁沈阳·东北育才学校校考二模)蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示.蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥H-ABC，J-CDE，K-EFA，再分别以AC，CE，EA为轴将△ACH，△CEJ，△EAK分别向上翻转180°，使H，J，K三点重合为点S所围成的曲顶多面体(下底面开口)，如图2所示.蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于2π减去蜂房多面体在该点的各个面角之和(多面体的面角是多π面体的面的内角，用弧度制表示).例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在3π各顶点的曲率为2π-3×=π.3(1)求蜂房曲顶空间的弯曲度；(2)若正六棱柱底面边长为1，侧棱长为2，设BH=x(i)用x表示蜂房(图2右侧多面体)的表面积S(x)；(ii)当蜂房表面积最小时，求其顶点S的曲率的余弦值.6 10(2024·北京·高三统考期末)用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.由平行光线形成的投影叫做平行投影，由点光源发出的光线形成的投影叫做中心投影.投影线垂直于投影面产生的平行投影叫做正投影，投影线不垂直于投影而产生的平行投影叫做斜投影.物体投影的形状､大小与它相对于投影面的位置和角度有关.如图所示，已知平行四边形ABCD在平面α内的平行投影是四边形ABCD.图1图2图3(1)若平行四边形ABCD平行于投影面(如图1)，求证：四边形ABCD是平行四边形；(2)在图2中作出平面ABCD与平面α的交线(保留作图痕迹，不需要写出过程)；(3)如图3，已知四边形ABCD和平行四边形ABCD的面积分别为S1,S2，平面ABCD与平面α的交线是直线l，且这个平行投影是正投影.设二面角A-l-A的平面角为θ(θ为锐角)，猜想并写出角θ的余弦值(用S1,S2表示)，再给出证明.7 11(2024·山东济南·高三统考期末)射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，O为透视中心，平面内四个点E,F,G,H经过中心投影之后的投影点分别为A,B,C,D．对于四个有CACB序点A,B,C,D，定义比值x=叫做这四个有序点的交比，记作ABCD．DADB(1)证明：EFGH=ABCD；3sin∠ACO3(2)已知EFGH=，点B为线段AD的中点，AC=3OB=3,=，求cosA．2sin∠AOB204三角函数新定义12如果对于三个数a、b、c能构成三角形的三边，则称这三个数为“三角形数”，对于“三角形数”a、b、c，如果函数y=fx使得三个数f(a)、f(b)、f(c)仍为“三角形数”，则称y=fx为“保三角形函数”．πππ(1)对于“三角形数”α、2α、+α，其中<α<，若f(x)=tanx，判断函数y=fx是否是“保三角形484函数”，并说明理由；πππ7π(2)对于“三角形数”α、α+、α+，其中<α<，若g(x)=sinx，判断函数y=g(x)是否是“保三角63612形函数”，并说明理由．8 357xxx13数学家发现：sinx=x-+-+⋯，其中n!=1×2×3×⋯×n.利用该公式可以得到：当x3!5!7!335πxxx∈0,时，sinx<x;sinx>x-;sinx<x-+;⋯.23!35!πsinx1(1)证明：当x∈0,时，>;2x2(2)设f(x)=msinx，当f(x)的定义域为a,b时，值域也为a,b，则称a,b为f(x)的“和谐区间”．当m=-2时，f(x)是否存在“和谐区间”?若存在，求出f(x)的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由．14已知函数y=fx，若存在实数m、k(m≠0)，使得对于定义域内的任意实数x，均有m⋅f(x)=f(x+k)+f(x-k)成立，则称函数f(x)为“可平衡”函数；有序数对m,k称为函数f(x)的“平衡”数对．2(1)若fx=x，求函数f(x)的“平衡”数对；(2)若m=1，判断fx=sinx是否为“可平衡”函数，并说明理由；ππ2π22(3)若m1、m2∈R，且m1,2、m2,4均为函数f(x)=cosx0<x≤4的“平衡”数对，求m1+m2的取值范围．9 05平面向量与解三角形新定义°15古希腊数学家托勒密对凸四边形(凸四边形是指没有角度大于180的四边形)进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立．且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大．根据上述材料，解决以下问题：如图，在凸四边形ABCD中，π(1)若AB=2,BC=1,∠ACD=,AC=CD(图1)，求线段BD长度的最大值；2(2)若AB=2,BC=6,AD=CD=4(图2)，求四边形ABCD面积取得最大值时角A的大小，并求出四边形ABCD面积的最大值．10 16在平面直角坐标系中，O为坐标原点，对任意两个向量m=(x1,y1)，n=(x2,y2)，作：OM=m，ON=n.当m，n不共线时，记以OM，ON为邻边的平行四边形的面积为S(m,n)=|x1y2-x2y1|；当m，n共线时，规定S(m,n)=0.(Ⅰ)分别根据下列已知条件求S(m,n)：①m=(2,1)，n=(-1,2)；②m=(1,2)，n=(2,4)；22(Ⅱ)若向量p=λm+μn(λ,μ∈R,λ+μ≠0)，求证：S(p,m)+S(p,n)=(|λ|+|μ|)S(m,n)；(Ⅲ)若A，B，C是以O为圆心的单位圆上不同的点，记OA=a，OB=b，OC=c.(ⅰ)当a⊥b时，求S(c,a)+S(c,b)的最大值；(ⅱ)写出S(a,a)+S(b,c)+S(c,a)的最大值．(只需写出结果)17(2024·全国·模拟预测)定义：一个几何体的表面积与体积之比称为几何体的相对表面积.11(1)若一个直三棱柱高为h，底面三角形的内切圆半径为r，相对表面积为S0，求证：S0=2h+r；(2)如图，一块直三棱柱形状的蛋糕，底面三边长分别为3，4，5，若蛋糕的最外层包裹着薄薄的一层巧克力(厚度忽略不计)，用刀垂直于底面将蛋糕切开，使之成为两块直棱柱状的小蛋糕，要求两块小蛋糕的相对表面积相等，且包裹的巧克力面积相等，有几种切法.11 06数列新定义18(2024·上海徐汇·统考三模)对于数列an，记Vn=a2-a1+a3-a2+⋅⋅⋅*+an-an-1n>1,n∈N．n1+-1*(1)若数列an通项公式为：an=n∈N，求V5；2(2)若数列an满足：a1=a，an=b，且a>b，求证：Vn=a-b的充分必要条件是ai+1≤aii=1,2,⋅⋅⋅,n-1；1(3)已知V2022=2022，若yt=a1+a2+⋅⋅⋅+at，t=1,2,⋅⋅⋅,2022．求y2-y1+y3-y2+⋅⋅⋅+y2022-y2021t的最大值．19(2024·上海松江·高三上海市松江二中校考开学考试)若实数数列An:a1,a2,⋯,ann≥2满足ak+1-ak=1k=1,2,⋯,n-1，则称数列An为E数列.(1)请写出一个5项的E数列A5，满足a1=a5=0，且各项和大于零；(2)如果一个E数列An满足：存在正整数i1,i2,i3,i4,i5i1<i2<i3<i4<i5≤n使得ai1,ai2,ai3,ai4,ai5组成首项为1，公比为-2的等比数列，求n的最小值；a1a3a2m-1a2a4a2m(3)已知a1,a2,⋯,a2mm≥2为E数列，求证：,,⋯,为E数列且,,⋯,为E数列”的充222222要条件是“a1,a2,⋯,a2m是单调数列”.12 *20(2024·北京丰台·高三统考期末)若有穷数列an(n∈N且n≥3)满足|ai-ai+1|≤|ai+1-ai+2|(i=1,2,⋯,n-2)，则称an为M数列．(1)判断下列数列是否为M数列，并说明理由；①1，2，4，3．②4，2，8，1．(2)已知M数列an中各项互不相同．令bm=am-am+1m=1,2,⋯,n-1，求证：数列an是等差数列的充分必要条件是数列bm是常数列；m-1*(3)已知M数列an是m(m∈N且m≥3)个连续正整数1,2,⋯,m的一个排列．若∑ak-ak+1=m+2，k=1求m的所有取值．21(2024·北京石景山·高三统考期末)记实数a，b中的较大者为max{a,b}，例如max{1,2}=2，**max1,1=1，对于无穷数列{an}，记φk=max{a2k-1,a2k}(k∈N)，若对于任意的k∈N，均有φk+1<φk，则称数列{an}为“趋势递减数列”.1n(1)已知数列{an},{bn}的通项公式分别为an=-2n+1，bn=-2，判断数列{an},{bn}是否为“趋势递减数列”，并说明理由；(2)已知首项为1公比为q的等比数列{cn}是“趋势递减数列”，求q的取值范围；(3)若数列{dn}满足d1，d2为正实数，且dn+2=dn+1-dn，求证：{dn}为“趋势递减数列”的充要条件为{dn}的项中没有0.13 *22(2024·北京海淀·统考)已知数列an是由正整数组成的无穷数列，若存在常数k∈N，使得a2n-1*+a2n=kan，对任意的n∈N成立，则称数列an具有性质ψk．(1)分别判断下列数列an是否具有性质ψ2；(直接写出结论)①an=1；②an=2n(2)若数列an满足an+1≥ann=1,2,3⋯，求证：“数列an具有性质ψ2”是“数列an为常数列的充分必要条件；(3)已知数列an中a1=1，且an+1>ann=1,2,3⋯．若数列an具有性质ψ4，求数列an的通项公式．07圆锥曲线新定义2223已知点D是圆Q:(x+4)+y=72上一动点，点A4,0，线段AD的垂直平分线交线段DQ于点B.(1)求动点B的轨迹方程C；(2)定义：两个离心率相等的圆锥曲线为“相似”曲线.若关于坐标轴对称的曲线T与曲线C相似，且焦点在同一条直线上，曲线T经过点E-3,0,F3,0.过曲线C上任一点P作曲线T的切线，切点分别为M,N，这两条切线PM,PN分别与曲线C交于点G,H(异于点P)，证明：MN⎳GH.14 24椭圆曲线加密算法运用于区块链．2332椭圆曲线C=(x,y)∣y=x+ax+b,4a+27b≠0．P∈C关于x轴的对称点记为P．C在点P(x,y)(y3≠0)处的切线是指曲线y=±x+ax+b在点P处的切线．定义“⊕”运算满足：①若P∈C,Q∈C，且直线PQ与C有第三个交点R，则P⊕Q=R；②若P∈C,Q∈C，且PQ为C的切线，切点为P，则P⊕Q=***P；③若P∈C，规定P⊕P=0，且P⊕0=0⊕P=P．323(1)当4a+27b=0时，讨论函数h(x)=x+ax+b零点的个数；(2)已知“⊕”运算满足交换律、结合律，若P∈C,Q∈C，且PQ为C的切线，切点为P，证明：P⊕P=Q；(3)已知Px1,y1∈C,Qx2,y2∈C，且直线PQ与C有第三个交点，求P⊕Q的坐标．3322参考公式：m-n=(m-n)m+mn+n15 25(2024·全国·高三专题练习)阅读材料：22(一)极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G：Ax+Cy+2Dx+2Ey+F=0，则称点P(x0，y0)和直线l：Ax0x+Cy0y+Dx+x0+Ey+y0+F=0是圆锥曲线G的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程2x0+x中，以x0x替换x，以替换x(另一变量y也是如此)，即可得到点P(x0，y0)对应的极线方程.特别地，22y2xxyy2y2x00x对于椭圆2+2=1，与点P(x0，y0)对应的极线方程为2+2=1；对于双曲线2-2=1，与点Pababbbx0xy0y2(x0，y0)对应的极线方程为2-2=1；对于抛物线y=2px，与点P(x0，y0)对应的极线方程为y0y=abpx0+x.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.(二)极点与极线的基本性质､定理①当P在圆锥曲线G上时，其极线l是曲线G在点P处的切线；②当P在G外时，其极线l是曲线G从点P所引两条切线的切点所确定的直线(即切点弦所在直线)；③当P在G内时，其极线l是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹.结合阅读材料回答下面的问题：2y2x3(1)已知椭圆C：+=1(a>b>0)经过点P(4，0)，离心率是，求椭圆C的方程并写出与点P对a2b22应的极线方程；1(2)已知Q是直线l：y=-x+4上的一个动点，过点Q向(1)中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，是2否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当MT=TN时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由.16 2y2x26(2024·上海虹口·高三统考阶段练习)已知椭圆Γ:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、22abF2，直线l的斜率为k，在y轴上的截距为m.(1)设k=1，若Γ的焦距为2，l过点F1，求l的方程；1(2)设m=0，若P3,2是Γ上的一点，且PF1+PF2=4，l与Γ交于不同的两点A、B，Q为Γ的上顶点，求△ABQ面积的最大值；n⋅MN(3)设n是l的一个法向量，M是l上一点，对于坐标平面内的定点N，定义δN=.用a、b、k、m表|n|2示δF1⋅δF2，并利用δF1⋅δF2与b的大小关系，提出一个关于l与Γ位置关系的真命题，给出该命题的证明.17 08概率与统计新定义27(2024·北京东城·高三统考期末)已知随机变量ξ的取值为不大于n的非负整数值，它的分布列为：ξ012⋯nPp0p1p2⋯pn其中pi(i=0,1,2,⋯⋯,n)满足：pi∈[0,1]，且p0+p1+p2+⋯⋯+pn=1．定义由ξ生成的函数f(x)=p0+p1x2n+p2x+⋯⋯+pnx，令g(x)=f(x)．11213(I)若由ξ生成的函数f(x)=x+x+x，求P(ξ=2)的值；4242(II)求证：随机变量ξ的数学期望E(ξ)=g(1)，ξ的方差D(ξ)=g(1)+g(1)-(g(1))；n2(D(ξ)=∑(i-E(ξ))⋅pi)i=0(Ⅲ)现投掷一枚骰子两次，随机变量ξ表示两次掷出的点数之和，此时由ξ生成的函数记为h(x)，求h(2)的值．18 28(2024·四川成都·高三成都七中校考开学考试)在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标a1,a2,a3表示，其中ai∈0,11≤i≤3,i∈N．而在n维空间中n≥2,n∈N，以单位长度为边长的“立方体”的项点坐标可表示为n维坐标a1,a2,a3,⋯⋯,an，其中ai∈0,11≤i≤n,i∈N．现有如下定义：在n维空间中两点间的曼哈顿距离为两点a1,a2,a3,⋯⋯,an与b1,b2,b3,⋯⋯,bn坐标差的绝对值之和，即为a1-b1+a2-b2+a3-b3+⋯⋯+an-bn．回答下列问题：(1)求出n维“立方体”的顶点数；(2)在n维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离①求出X的分布列与期望；2②证明：在n足够大时，随机变量X的方差小于0.25n．2x-μ-212σ2(已知对于正态分布X∼Nμ,σ，P随X变化关系可表示为φμ,σx=⋅e)σ2π19 09高等数学背景下新定义29(2024·吉林长春·东北师大附中模拟预测)概率论中有很多经典的不等式，其中最著名的两个当属由两位俄国数学家马尔科夫和切比雪夫分别提出的马尔科夫(Markov)不等式和切比雪夫(Chebyshev)不等式．马尔科夫不等式的形式如下：EX设X为一个非负随机变量，其数学期望为EX，则对任意ε>0，均有PX≥ε≤，ε马尔科夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界，阐释了随机变量尾部取值概率与其数学期望间的关系．当X为非负离散型随机变量时，马尔科夫不等式的证明如下：n设X的分布列为PX=xi=pi,i=1,2,⋯,n,其中pi∈(0,+∞),xi∈[0,+∞)(i=1,2,⋯,n),pi=1，则对任i=1nxi11E(X)意ε>0，P(X≥ε)=pi≤pi=xipi≤xipi=，其中符号Ai表示对所有满足xi≥xi≥εxi≥εεεxi≥εεi=1εxi≥εε的指标i所对应的Ai求和．切比雪夫不等式的形式如下：DX设随机变量X的期望为EX，方差为DX，则对任意ε>0，均有PX-EX≥ε≤2ε(1)根据以上参考资料，证明切比雪夫不等式对离散型随机变量X成立．(2)某药企研制出一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为80%．现随机选择了100名患者，经过使用该药治疗后，治愈的人数为60人，请结合切比雪夫不等式通过计算说明药厂的宣传内容是否真实可信．20 30(2024·湖北·高三黄冈中学校联考阶段练习)随机变量的概念是俄国数学家切比雪夫在十九世纪中叶建立和提倡使用的.切比雪夫在数论､概率论､函数逼近论､积分学等方面均有所建树，他证明了如下以他DX名字命名的离散型切比雪夫不等式：设X为离散型随机变量，则PX-EX≥λ≤，其中λ为任2λ意大于0的实数.切比雪夫不等式可以使人们在随机变量X的分布未知的情况下，对事件X-λ≤λ的概率作出估计.(1)证明离散型切比雪夫不等式；(2)应用以上结论，回答下面问题：已知正整数n≥5.在一次抽奖游戏中，有n个不透明的箱子依次编号为1,2,⋯,n，编号为i1≤i≤n的箱子中装有编号为0,1,⋯,i的i+1个大小､质地均相同的小球.主持人邀请nXin位嘉宾从每个箱子中随机抽取一个球，记从编号为i的箱子中抽取的小球号码为Xi，并记X=.对i=1i任意的n，是否总能保证PX≤0.1n≥0.01(假设嘉宾和箱子数能任意多)？并证明你的结论.n附：可能用到的公式(数学期望的线性性质)：对于离散型随机变量X,X1,X2,⋯,Xn满足X=Xi，则有Ei=1n(X)=EXi.i=121 31(2024·北京西城·统考二模)给定奇数n≥3，设A0是n×n的数阵．aij表示数阵第i行第j列的数，1或-1,i≠jaij=且aij=aji(i=1,2,⋯,n;j=1,2,⋯,n)．定义变换φt为“将数阵中第t行和第t列的数都乘0,i=j*以-1”，其中t∈{1,2,⋯,n}．设T=(t1,t2,⋯,ts),tr∈{1,2,⋯,n},r=1,2,⋯,s(s∈N)．将A0经过φt1变换得到A1，A1经过φt2变换得到A2，⋯，As-1经过φts变换得到As．记数阵Ar中1的个数为TA0(r)．01-1(1)当n=3时，设A0=101，T=(1,3)，写出A1,A2，并求TA0(1),TA0(2)；-110(2)当n=5,s≥2时，对给定的数阵A0，证明：TA0(2)-TA0(1)是4的倍数；2(n-1)(3)证明：对给定的数阵A0，总存在T，使得TA(s)≤．0232(2024·上海宝山·统考一模)若数列满足：从第二项起的每一项不小于它的前一项的λ(λ∈R)倍，则称该数列具有性质P(λ).(1)已知数列-1，2-x，3-x具有性质P(4)，求实数x的取值范围；12n(2)删除数列3，3，⋅⋅⋅，3，⋅⋅⋅中的第3项，第6项，⋅⋅⋅，第3n项，⋅⋅⋅，余下的项按原来顺序组成一个新数列{tn}，且数列{tn}的前n项和为Tn，若数列{Tn}具有性质P(λ)，试求实数λ的最大值；n2021(3)记ui=um+um+1+um+2+⋅⋅⋅+un(m∈N)，如果ak>0(k=1,2,⋅⋅⋅,2021)，证明：“ak>1”的充要条件i=mk=1是“存在数列{xn}具有性质P(1)，且同时满足以下三个条件：(Ⅰ)数列{xn}的各项均为正数，且互异；20212020(Ⅱ)存在常数A>0，使得数列{xn}收敛于A；(Ⅲ)xn-xn-1=akxn+k-ak+1xn+k(n=1,2,⋅⋅⋅，这里x0=k=1k=00)”.22