2024年高考数学二轮复习：立体几何大题（学生版）

立体几何大题1.空间中的平行关系（1）线线平行（2）线面平行的判定定理：平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行（3）线面平行的性质定理若线面平行，经过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行（4）面面平行的判定定理判定定理1：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则面面平行判定定理2：一个平面内有两条相交直线分别于另一个平面内两条相交直线平行，则面面平行（5）面面平行的性质定理性质定理1：两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一个平面性质定理2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行6.空间中的垂直关系（1）线线垂直（2）线面垂直的判定定理一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直（3）线面垂直的性质定理性质定理1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行（4）面面垂直的判定定理一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直(或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直)（5）面面垂直的性质定理两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一个平面6.异面直线所成角|a⋅b||x1x2+y1y2+z1z2|cosθ=cosa,b==222222|a|⋅|b|x1+y1+z1⋅x2+y2+z2(其中θ(0°<θ≤90°)为异面直线a,b所成角，a,b分别表示异面直线a,b的方向向量)AB⋅m7.直线AB与平面所成角，sinβ=(m为平面α的法向量).|AB||m|8.二面角α-l-β的平面角m⋅ncosθ=(m，n为平面α，β的法向量).|m||n|9.点B到平面α的距离|AB⋅n|d=(n为平面α的法向量，AB是经过面α的一条斜线，A∈α).|n|1 模拟训练一、解答题1(22·23下·湖南·二模)如图，在直三棱柱ABC-ABC中，∠ABC=120°,AB=BC=2,AC=BB，1点D为棱BB的中点，AE=AC．3(1)求DE的长度；(2)求平面CDE与平面BDE夹角的余弦值．2(22·23下·绍兴·二模)如图，在多面体ABCDE中，DE⊥平面BCD,△ABC为正三角形，△BCD为等腰Rt△,∠BDC=90°,AB=2,DE=2.(1)求证：AE⊥BC；(2)若AE⎳平面BCD，求直线BE与平面ABC所成的线面角的正弦值.2 3(22·23·张家口·三模)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1=60°，AB=BC=2，AC=AB1=2.(1)证明：平面ACB1⊥平面BB1C1C；(2)求平面ACC1A1与平面A1B1C1夹角的余弦值.4(22·23·湛江·二模)如图1，在五边形ABCDE中，四边形ABCE为正方形，CD⊥DE，CD=DE，如图2，将△ABE沿BE折起，使得A至A1处，且A1B⊥A1D．(1)证明：DE⊥平面A1BE；(2)求二面角C-A1E-D的余弦值．3 5(22·23下·长沙·三模)如图，在多面体ABCDE中，平面ACD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，△ABC和△ACD均为正三角形，AC=4，BE=3，点F在AC上.(1)若BF⎳平面CDE，求CF；(2)若F是AC的中点，求二面角F-DE-C的正弦值.6(22·23下·湖北·二模)如图，S为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC内接于⊙O,AC⊥BC,32AC=BC=，AM=2MS,AS=3,PQ为⊙O的一条弦，且SB⎳平面PMQ.2(1)求PQ的最小值；(2)若SA⊥PQ，求直线PQ与平面BCM所成角的正弦值.4 7(22·23·深圳·二模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD,PA=AD=2AB，点M是PD的中点.(1)证明：AM⊥PC；(2)设AC的中点为O，点N在棱PC上(异于点P，C)，且ON=OA，求直线AN与平面ACM所成角的正弦值.8(22·23下·温州·二模)已知三棱锥D-ABC中，△BCD是边长为3的正三角形，AB=AC=AD,3AD与平面BCD所成角的余弦值为．3(1)求证：AD⊥BC；(2)求二面角D-AC-B的平面角的正弦值．5 9(22·23下·浙江·二模)如图，四面体ABCD,AD⊥CD,AD=CD,AC=2,AB=3,∠CAB=60°，E为AB上的点，且AC⊥DE,DE与平面ABC所成角为30°，(1)求三棱锥D-BCE的体积；(2)求二面角B-CD-E的余弦值.10(22·23下·襄阳·三模)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为矩形，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点N，M为B1C1的中点.(1)求证：平面A1MNA⊥平面A1BC；(2)求平面A1B1BA与平面BB1C1C夹角的余弦值.6 11(22·23·唐山·二模)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是等边三角形，侧面ACC1A1⊥底面ABC，且AA1=AC，∠AA1C1=120°，M是CC1的中点．(1)证明：A1C⊥BM．(2)求二面角A1-BC-M的正弦值．112(22·23下·盐城·三模)如图，该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，点G为弧CD的4中点，且C，E，D，G四点共面.(1)证明：平面BDF⊥平面BCG；15(2)若平面BDF与平面ABG所成二面角的余弦值为，且线段AB长度为2，求点G到直线DF的距5离.7 13(22·23下·江苏·三模)如图，圆锥DO中，AE为底面圆O的直径，AE=AD，△ABC为底面圆O的内接正三角形，圆锥的高DO=18，点P为线段DO上一个动点.(1)当PO=36时，证明：PA⊥平面PBC；(2)当P点在什么位置时，直线PE和平面PBC所成角的正弦值最大.14(22·23下·镇江·三模)如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，四边形PACQ为矩形，PA=1，从下列三个条件中任选一个作为已知条件，并解答问题(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分).35①BP,DP与平面ABCD所成角相等；②三棱锥P-ABD体积为；③cos∠BPA=35(1)平面PACQ⊥平面ABCD；(2)求二面角B-PQ-D的大小；(3)求点C到平面BPQ的距离.8 15(22·23下·江苏·一模)在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面A1B1BA⊥平面ABC，侧面A1B1BA为菱π形，∠ABB1=，AB1⊥AC，AB=AC=2，E是AC的中点.3(1)求证：A1B⊥平面AB1C；πEP(2)点P在线段A1E上(异于点A1，E)，AP与平面A1BE所成角为，求的值.4EA116(22·23下·河北·三模)如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC,BD交于点O，且PO⊥平面ABCD,OC=1,OD=OP=2,M是PD的中点，N是线段CD上一动点．(1)当平面OMN⎳平面PBC时，试确定点N的位置，并说明理由；21(2)在(1)的前提下，点Q在直线MN上，以PQ为直径的球的表面积为π．以O为原点，OC,OD,OP的4方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O-xyz，求点Q的坐标．9 17(22·23·汕头·三模)如图，圆台O1O2的轴截面为等腰梯形A1ACC1，AC=2AA1=2A1C1=4,B为底面圆周上异于A,C的点.(1)在平面BCC1内，过C1作一条直线与平面A1AB平行，并说明理由；(2)若四棱锥B-A1ACC1的体积为23，设平面A1AB∩平面C1CB=l,Q∈l，求CQ的最小值.18(19·20下·临沂·二模)如图①，在Rt△ABC中，B为直角，AB=BC=6，EF∥BC，AE=2，沿EFπ将△AEF折起，使∠AEB=，得到如图②的几何体，点D在线段AC上．3(1)求证：平面AEF⊥平面ABC；(2)若AE⎳平面BDF，求直线AF与平面BDF所成角的正弦值．10 19(22·23下·广州·三模)如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，AB=AP=2，PA⊥平面ABCD，E,F分别是线段PB,PD的中点，G是线段PC上的一点.(1)求证：平面EFG⊥平面PAC；1(2)若直线AG与平面AEF所成角的正弦值为，且G点不是线段PC的中点，求三棱锥E-ABG体积.320(22·23下·长沙·一模)斜三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为2，∠A1AB=60°，点A1在下底面ABC的投影为AB的中点O．(1)在棱BB1(含端点)上是否存在一点D使A1D⊥AC1？若存在，求出BD的长；若不存在，请说明理由；(2)求点A1到平面BCC1B1的距离．11 21(22·23下·长沙·三模)如图，三棱台ABC-A1B1C1，AB⊥BC，AC⊥BB1，平面ABB1A1⊥平面ABC，AB=6,BC=4，BB1=2，AC1与A1C相交于点D，AE=2EB，且DE∥平面BCC1B1.(1)求三棱锥C-A1B1C1的体积；π(2)平面A1B1C与平面ABC所成角为α，CC1与平面A1B1C所成角为β，求证：α+β=.4122(22·23·衡水·一模)如图所示，A,B,C,D四点共面，其中∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD，点P,2Q在平面ABCD的同侧，且PA⊥平面ABCD，CQ⊥平面ABCD.(1)若直线l⊂平面PAB，求证：l⎳平面CDQ；(2)若PQ⎳AC，∠ABP=∠DAC=45°，平面BPQ∩平面CDQ=m，求锐二面角B-m-C的余弦值.12 23(22·23下·湖北·三模)已知平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱)ABCD-A1B1C1D1的各条棱长均为2，且有∠AA1D1=∠AA1B1=∠D1A1B1=60°．(1)求证：平面AA1C1C⊥平面A1B1C1D1；(2)求直线B1D与平面AA1C1C所成角的正弦值．24(22·23下·武汉·三模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点.(1)求证：平面AEF⊥平面PBC；(2)求平面AEF与平面PDC夹角的最小值.13 25(22·23下·黄冈·三模)如图1，在四边形ABCD中，BC⊥CD，AE∥CD,AE=BE=2CD=2,CE=3．将四边形AECD沿AE折起，使得BC=3，得到如图2所示的几何体．(1)若G为AB的中点，证明：DG⊥平面ABE；6EF(2)若F为BE上一动点，且二面角B-AD-F的余弦值为，求的值．3EB26(22·23·德州·三模)图1是直角梯形ABCD，AB⎳CD，∠D=90°，AD=3，AB=2，CD=3，四边形ABCE为平行四边形，以BE为折痕将△BCE折起，使点C到达C1的位置，且AC1=6，如图2．(1)求证：平面BC1E⊥平面ABED；3(2)在线段BE上存在点P使得PA与平面ABC1的正弦值为，求平面BAC1与PAC1所成角的余弦65值．14 27(22·23·山东·二模)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⎳CD，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，CD=4．(1)证明：AD⊥PC；(2)若M为线段PB的靠近B点的四等分点，判断直线AM与平面PDC是否相交？如果相交，求出P到交点H的距离，如果不相交，说明理由．28(22·23·黄山·三模)如图，在直角梯形ABCD中，AD⎳BC，AD⊥CD，四边形CDEF为平行四边形，对角线CE和DF相交于点H，平面CDEF⊥平面ABCD，BC=2AD，∠DCF=60°，G是线段BE上一动点(不含端点)．(1)当点G为线段BE的中点时，证明：AG⎳平面CDEF；(2)若AD=1,CD=DE=2，且直线DG与平面CDEF成45°角，求二面角E-DG-F的正弦值．15 29(22·23·菏泽·三模)已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，其中AA1=2AC=4,AB=BC,F为BB1的2中点，点E是CC1上靠近C1的四等分点，A1F与底面ABC所成角的余弦值为．2(1)求证：平面AFC⊥平面A1EF；27(2)在线段A1F上是否存在一点N，使得平面AFC与平面NB1C1所成的锐二面角的余弦值为，若存7在，确定点N的位置，若不存在，请说明理由．30(22·23·福州·三模)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=2，AB=AC=1，将π△PAB绕着PA逆时针旋转到△PAD的位置，得到如图所示的组合体，M为PD的中点.3(1)当∠BAC为何值时，该组合体的体积最大，并求出最大值；(2)当PC⎳平面MAB时，求直线PC与平面PBD所成角的正弦值.16 2π31(22·23·福州·二模)如图1，在△ABC中，AB=AC=2,∠BAC=,E为BC的中点，F为AB上一3点，且EF⊥AB.将△BEF沿EF翻折到△BEF的位置，如图2.(1)当AB=2时，证明：平面BAE⊥平面ABC；π(2)已知二面角B-EF-A的大小为，棱AC上是否存在点M，使得直线BE与平面BMF所成角的正410弦值为？若存在，确定M的位置；若不存在，请说明理由.1032(22·23·三明·三模)如图，平面五边形ABCDE由等边三角形ADE与直角梯形ABCD组成，其中AD∥BC，AD⊥DC，AD=2BC=2，CD=3，将△ADE沿AD折起，使点E到达点M的位置，且BM=a.(1)当a=6时，证明AD⊥BM并求四棱锥M-ABCD的体积；(2)已知点P为棱CM上靠近点C的三等分点，当a=3时，求平面PBD与平面ABCD夹角的余弦值.17 33(22·23·宁德·一模)如图①在平行四边形ABCD中，AE⊥DC，AD=4，AB=3，∠ADE=60°，将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到图②所示几何体．(1)若M为BD的中点，求四棱锥M-ABCE的体积VM-ABCE；23(2)在线段DB上，是否存在一点M，使得平面MAC与平面ABCE所成锐二面角的余弦值为，如果存5DM在，求出的值，如果不存在，说明理由．DB34(22·23·龙岩·二模)三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，侧面A1ACC1为矩形，∠A12π23AB=，三棱锥C1-ABC的体积为．33(1)求侧棱AA1的长；5(2)侧棱CC1上是否存在点E，使得直线AE与平面A1BC所成角的正弦值为？若存在，求出线段C1E5的长；若不存在，请说明理由．18 35(22·23下·浙江·二模)如图，在多面体ABC-A1B1C1中，AA1⎳BB1⎳CC1，AA1⊥平面A1B1C1，△A1B1C1为等边三角形，A1B1=BB1=2，AA1=3，CC1=1，点M是AC的中点．(1)若点G是△A1B1C1的重心，证明；点G在平面BB1M内；(2)求二面角B1-BM-C1的正弦值．36(22·23下·浙江·三模)如图，三棱台ABC-A1B1C1中，A1C1=4，AC=6，D为线段AC上靠近C的三等分点.BE(1)线段BC上是否存在点E，使得A1B⎳平面C1DE，若不存在，请说明理由；若存在，请求出的值；BCπ(2)若A1A=AB=4，∠A1AC=∠BAC=，点A1到平面ABC的距离为3，且点A1在底面ABC的射影落3在△ABC内部，求直线B1D与平面ACC1A1所成角的正弦值.19 37(22·23下·苏州·三模)如图，在三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为62的等边三角形，且PA=PB=PC=6，PD⊥平面ABC，垂足为D,DE⊥平面PAB，垂足为E，连接PE并延长交AB于点G.(1)求二面角P-AB-C的余弦值；(2)在平面PAC内找一点F，使得EF⊥平面PAC，说明作法及理由，并求四面体PDEF的体积.138(22·23·沧州·三模)如图，该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成.C,E,D,G在同一平4面内，且CG=DG.(1)证明：平面BFD⊥平面BCG；10(2)若直线GC与平面ABG所成角的正弦值为，求平面BFD与平面ABG所成角的余弦值.520 39(23·24上·永州·一模)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD为正三角形，且AD=2AB=4,M、N分别为PD、BC的中点，H在线段PC上，且PC=3PH．(1)求证：MN⎳平面PAB；(2)当AM⊥PC时，求平面AMN与平面HMN的夹角的余弦值．40(22·23·潍坊·三模)如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AC为底面直径，△ABD为底面圆O的内接正三角形，且边长为3，点E在母线PC上，且AE=3，CE=1．(1)求证：PO∥平面BDE；(2)求证：平面BED⊥平面ABD(3)若点M为线段PO上的动点．当直线DM与平面ABE所成角的正弦值最大时，求此时点M到平面ABE的距离．21