第三章　必刷大题6　导数的综合问题

成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期必刷大题6　导数的综合问题1．(2023·温州模拟)已知函数f(x)＝x2－(a＋1)lnx.(1)当a＝0时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)≥(a2－a)lnx对∀x∈(1，＋∞)恒成立，求a的取值范围．解　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝0时，f′(x)＝2x－＝.当x∈时，f′(x)<0，则f(x)的单调递减区间为，当x∈时，f′(x)>0，则f(x)的单调递增区间为.(2)由f(x)≥(a2－a)lnx对∀x∈(1，＋∞)恒成立，得a2＋1≤对∀x∈(1，＋∞)恒成立．设h(x)＝(x>1)，则h′(x)＝.当x∈(1，)时，h′(x)<0；当x∈(，＋∞)时，h′(x)>0.所以h(x)min＝h()＝2e，则a2＋1≤2e，解得－≤a≤，故a的取值范围是[－，]．2．设f(x)＝2xlnx＋1.(1)求f(x)的最小值；(2)证明：f(x)≤x2－x＋＋2lnx.(1)解　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2(lnx＋1)，当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期所以当x＝时，f(x)取得最小值f ＝1－.(2)证明　令F(x)＝x2－x＋＋2lnx－f(x)＝x(x－1)－－2(x－1)lnx＝(x－1)，令g(x)＝x－－2lnx，则g′(x)＝1＋－＝≥0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，又g(1)＝0，所以当0<x<1时，g(x)<0，F(x)>0当x>1时，g(x)>0，F(x)>0，当x＝1时，F(x)＝0，所以(x－1)≥0，即f(x)≤x2－x＋＋2lnx.3．(2023·邢台质检)2022年2月4日，第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场举行，拉开了冬奥会的帷幕．冬奥会发布的吉祥物“冰墩墩”“雪容融”得到了大家的广泛喜爱，达到一墩难求的地步．当地某旅游用品商店获批经销此次奥运会纪念品，其中某个挂件纪念品每件的成本为5元，并且每件纪念品需向税务部门上交a元(10≤a≤13)的税收，预计当每件产品的售价定为x元(13≤x≤17)时，一年的销售量为(18－x)2万件．(1)求该商店一年的利润f(x)(万元)与每件纪念品的售价x的函数关系式；(2)求出f(x)的最大值Q(a)．解　(1)由题意，预计当每件产品的售价为x元(13≤x≤17)时，一年的销售量为(18－x)2万件，而每件产品的成本为5元，且每件产品需向税务部门上交a元(10≤a≤13)，∴商店一年的利润f(x)(万元)与售价x的函数关系式为f(x)＝(x－5－a)(18－x)2，x∈[13,17]．(2)∵f(x)＝(x－5－a)(18－x)2，x∈[13,17]，∴f′(x)＝(28＋2a－3x)(18－x)，令f′(x)＝0，解得x＝或x＝18，而10≤a≤13，则16≤≤18，①若16≤<17，即10≤a<11.5，当x∈时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期当x∈时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，∴f(x)max＝f ＝(13－a)3；②若17≤≤18，即11.5≤a≤13，则f′(x)≥0，即f(x)在[13,17]上单调递增，∴f(x)max＝f(17)＝12－a，综上，Q(a)＝4．(2022·重庆质检)已知函数f(x)＝x2＋2x－aln ，a∈R.(1)当a＝4时，求f(x)的极值；(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝ax在(0,4]上有且只有一个交点，求a的取值范围．解　(1)由题意，f(x)＝x2＋2x－4ln ，x>0，则f′(x)＝2x＋2－＝(x2＋x－2)＝(x－1)(x＋2)，故f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，有极小值f(1)＝3－4ln ，无极大值．(2)设g(x)＝f(x)－ax＝x2＋(2－a)x－aln ，x∈(0,4]，则g′(x)＝2x＋(2－a)－＝[2x2＋(2－a)x－a]＝(x＋1)(2x－a)，①当a＝0时，g(x)＝x2＋2x，在(0,4]上无零点，不符合题意；②当a<0时，g(x)在(0,4]上单调递增，g(2)＝4＋(2－a)×2>0，x→0时，g(x)<0，由零点存在定理得，g(x)在(0,4]内只有一个零点，即曲线y＝f(x)与直线y＝ax在(0,4]上有且只有一个交点．③当a>0时，g(x)在上单调递减，在上单调递增，若<4，即0<a<8，则只能g＝a－a2－aln ＝a＝0⇒a＝4，若a≥8，则g(x)在(0,4]上单调递减，当x→0时，g(x)>0，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期则要g(4)＝16＋4(2－a)－aln2<0，则a>，故a≥8，综上，a的取值范围为(－∞，0)∪{4}∪[8，＋∞)．5．(2023·济宁质检)已知函数f(x)＝acosx＋bex(a，b∈R)，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝－x.(1)求实数a，b的值；(2)当x∈时，f(x)≤c(c∈Z)恒成立，求c的最小值．解　(1)因为f′(x)＝－asinx＋bex，所以解得(2)因为f(x)＝cosx－ex，x∈，所以f′(x)＝－sinx－ex，设g(x)＝－sinx－ex，g′(x)＝－cosx－ex＝－(cosx＋ex)．当x∈时，cosx≥0，ex>0，所以g′(x)<0，当x∈(0，＋∞)时，－1≤cosx≤1，ex>1，所以g′(x)<0.所以，当x∈时，g′(x)<0，g(x)即f′(x)单调递减．因为f′(0)＝－1<0，f′＝－＝－，因为>e>2，所以<，所以f′>0.所以∃x0∈，使得f′(x0)＝－sinx0－＝0，即＝－sinx0.所以，当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期所以f(x)max＝f(x0)＝cosx0－＝cosx0＋sinx0＝sin.因为x0∈，所以x0＋∈，所以sin∈，所以f(x0)∈(0,1)．由题意知，c≥f(x0)，所以整数c的最小值为1.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期