第三章　必刷小题5　导数及其应用

成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期必刷小题5　导数及其应用一、单项选择题1．函数f(x)＝(2x－1)ex的单调递增区间为(　　)A.B.C.D.答案　C解析　因为函数f(x)＝(2x－1)ex，所以f′(x)＝2ex＋(2x－1)ex＝(2x＋1)ex，令f′(x)>0，解得x>－，所以函数f(x)的单调递增区间为.2．(2023·茂名模拟)若曲线y＝f(x)＝x2＋ax＋b在点(1，f(1))处的切线为3x－y－2＝0，则有(　　)A．a＝－1，b＝1B．a＝1，b＝－1C．a＝－2，b＝1D．a＝2，b＝－1答案　B解析　将x＝1代入3x－y－2＝0得y＝1，则f(1)＝1，则1＋a＋b＝1，①∵f(x)＝x2＋ax＋b，∴f′(x)＝2x＋a，则f′(1)＝3，即2＋a＝3，②联立①②，解得a＝1，b＝－1.3．已知x＝0是函数f(x)＝eax－ln(x＋a)的极值点，则a等于(　　)A．1B．2C．eD．±1答案　A解析　因为f(x)＝eax－ln(x＋a)，所以f′(x)＝aeax－.又x＝0是f(x)的极值点，所以a－＝0，解得a＝±1，经检验知a＝－1不符合条件，故a＝1.4．(2023·济南质检)拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象连续不间断，在开区间(a，b)内的导数为f′(x)，那么在区间(a，b成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期)内至少存在一点c，使得f(b)－f(a)＝f′(c)(b－a)成立，其中c叫做f(x)在[a，b]上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数f(x)＝x3－3x在[－2,2]上的“拉格朗日中值点”的个数为(　　)A．3B．2C．1D．0答案　B解析　函数f(x)＝x3－3x，则f(2)＝2，f(－2)＝－2，f′(x)＝3x2－3，由f(2)－f(－2)＝f′(c)(2＋2)，得f′(c)＝1，即3c2－3＝1，解得c＝±∈[－2,2]，所以f(x)在[－2,2]上的“拉格朗日中值点”的个数为2.5．(2023·潍坊模拟)已知函数f(x)＝xex－x2－2x－m在(0，＋∞)上有零点，则m的取值范围是(　　)A．[1－ln22，＋∞)B．[－ln22－1，＋∞)C．[－ln22，＋∞)D.答案　C解析　由函数y＝f(x)在(0，＋∞)上存在零点可知，m＝xex－x2－2x(x>0)有解，设h(x)＝xex－x2－2x(x>0)，则h′(x)＝(x＋1)(ex－2)(x>0)，当0<x<ln2时，h′(x)<0，h(x)单调递减；当x>ln2时，h′(x)>0，h(x)单调递增．则x＝ln2时，h(x)取得最小值，且h(ln2)＝－ln22，所以m的取值范围是[－ln22，＋∞)．6．已知a，b∈R，则“lna>lnb”是“a＋sinb>b＋sina”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案　A解析　由lna>lnb，得a>b>0.由a＋sinb>b＋sina，得a－sina>b－sinb.记函数f(x)＝x－sinx(x∈R)，则f′(x)＝1－cosx≥0，所以函数f(x)在R上单调递增，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期又a－sina>b－sinb，则f(a)>f(b)，所以a>b.因此“lna>lnb”是“a＋sinb>b＋sina”的充分不必要条件．7．(2023·宁波模拟)设m≠0，若x＝m为函数f(x)＝m·(x－m)2(x－n)的极小值点，则(　　)A．m>nB．m<nC.<1D.>1答案　C解析　f′(x)＝m[2(x－m)(x－n)＋(x－m)2]＝3m(x－m)，若m<0，则f′(x)是开口向下的抛物线，若x＝m是极小值点，必有m<，则n>m，即<1；若m>0，f′(x)是开口向上的抛物线，若x＝m是极小值点，必有m>，则n<m，即<1，综上，<1.8．已知f(x)＝(x＋3)，g(x)＝2lnx，若存在x1，x2，使得g(x2)＝f(x1)，则x2－x1的最小值为(　　)A．6－8ln2B．7－8ln2C．2ln2D．4ln2答案　B解析　设g(x2)＝f(x1)＝m，则x1＝2m－3，x2＝，所以x2－x1＝－2m＋3，设h(x)＝－2x＋3，则h′(x)＝－2，令h′(x)>0，得x>4ln2；令h′(x)<0，得x<4ln2，所以h(x)在(－∞，4ln2)上单调递减，在(4ln2，＋∞)上单调递增，h(x)min＝7－8ln2，所以当x＝4ln2时，x2－x1取最小值，为7－8ln2.二、多项选择题9．下列函数中，存在极值点的是(　　)A．y＝x＋B．y＝2x2－x＋1C．y＝xlnxD．y＝－2x3－x答案　ABC成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期解析　由题意，对于A，函数y＝x＋，y′＝1－，可得函数y＝x＋在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,0)，(0,1)上单调递减，所以函数有两个极值点x＝－1和x＝1；对于B，函数y＝2x2－x＋1为开口向上的抛物线，一定存在极值点，即为顶点的横坐标x＝；对于C，函数y＝xlnx，y′＝lnx＋1，当x∈时，y′<0，函数单调递减，当x∈时，y′>0，函数单调递增，所以函数y＝xlnx在x＝处取得极小值；对于D，函数y＝－2x3－x，y′＝－6x2－1<0，所以函数y＝－2x3－x在R上单调递减，没有极值点．10．已知函数f(x)＝e2－x＋x，x∈[1,3]，则下列说法正确的是(　　)A．函数f(x)的最小值为3B．函数f(x)的最大值为3＋C．函数f(x)的最小值为e＋1D．函数f(x)的最大值为e＋1答案　AD解析　∵f(x)＝e2－x＋x，x∈[1,3]，∴f′(x)＝－e2－x＋1，令f′(x)>0，解得x>2；令f′(x)<0，解得x<2，故函数f(x)在区间[1,2]上单调递减，在区间[2,3]上单调递增，所以函数f(x)在x＝2处取得极小值，也是最小值，为f(2)＝3，而f(1)＝e＋1，f(3)＝3＋，则f(1)>f(3)，故f(x)的最大值为f(1)＝e＋1.11.函数f(x)＝ax3－bx2＋cx的图象如图，且f(x)在x＝x0与x＝1处取得极值，给出下列判断，其中正确的是(　　)A．c<0B．a<0成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期C．f(1)＋f(－1)>0D．函数y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减答案　AC解析　f′(x)＝3ax2－2bx＋c＝3a(x－x0)(x－1)，由图知x>1时，f(x)单调递增，可知f′(x)>0，所以a>0，故B错误；又f′(x)＝3ax2－2bx＋c＝3a(x－x0)(x－1)＝3ax2－3a(1＋x0)x＋3ax0，∴2b＝3a(1＋x0)，c＝3ax0，∵x0<－1<0∴c＝3ax0<0,故A正确；∵x0<－1<0，∴1＋x0<0，∴f(1)＋f(－1)＝－2b＝－3a(1＋x0)>0，故C正确；f′(x)＝3ax2－2bx＋c，其图象开口向上，对称轴小于0，函数f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，故D错误．12．(2022·南通模拟)定义：在区间I上，若函数y＝f(x)是减函数，且y＝xf(x)是增函数，则称y＝f(x)在区间I上是“弱减函数”．根据定义，下列结论正确的是(　　)A．f(x)＝在(0，＋∞)上是“弱减函数”B．f(x)＝在(1,2)上是“弱减函数”C．若f(x)＝在(m，＋∞)上是“弱减函数”，则m≥eD．若f(x)＝cosx＋kx2在上是“弱减函数”，则≤k≤答案　BCD解析　对于A，f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，y＝xf(x)＝1不单调，故A错误；对于B，f(x)＝，f′(x)＝，在(1,2)上f′(x)<0，函数f(x)单调递减，y＝xf(x)＝，y′＝＝>0在x∈(1,2)上恒成立，∴y＝xf(x)在(1,2)上单调递增，故B正确；对于C，若f(x)＝在(m，＋∞)上单调递减，由f′(x)＝＝0，得x＝e，∴m≥e，y＝xf(x)＝lnx在(m，＋∞)上单调递增，故C正确；对于D，f(x)＝cosx＋kx2在上单调递减，f′(x)＝－sinx＋2kx≤0在x∈上恒成立⇒2k≤min，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期令h(x)＝，h′(x)＝，令φ(x)＝xcosx－sinx，φ′(x)＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx<0，x∈，∴φ(x)在上单调递减，φ(x)<φ(0)＝0，∴h′(x)<0，∴h(x)在上单调递减，h(x)>h＝，∴2k≤⇒k≤，令g(x)＝xf(x)＝xcosx＋kx3，则g(x)在上单调递增，g′(x)＝cosx－xsinx＋3kx2≥0在x∈上恒成立，∴3k≥max，令F(x)＝，F′(x)＝>0，x∈，∴F(x)在上单调递增，F(x)<F＝，∴3k≥⇒k≥，综上，≤k≤，故D正确．三、填空题13．(2023·十堰模拟)曲线y＝lnx＋x2在x＝1处的切线方程为________．答案　3x－y－2＝0解析　因为y′＝＋2x，当x＝1时，y＝1，切线斜率k＝y′|x＝1＝3，所以曲线y＝lnx＋x2在x＝1处的切线方程为3x－y－2＝0.14．函数f(x)＝－3x－|lnx|＋3的最大值为________．答案　2－ln3解析　由题知当x≥1时，f(x)＝－3x－lnx＋3，∴f′(x)＝－3－<0，∴f(x)在[1，＋∞)上单调递减，∴f(x)max＝f(1)＝0；当0<x<1时，f(x)＝－3x＋lnx＋3，∴f′(x)＝－3＋＝，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 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成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期作出f(x)的草图如图所示，由图可知a仅在(0，e)范围内有2个对应的x值，即a∈(0，e)时，有2个解，此时存在2条切线方程，综上所述，a的取值范围为(0，e)．成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期