【科学备考】（新课标）2022高考数学二轮复习 第三章 导数及其应用 导数与积分 理（含2022试题）

【科学备考】（新课标）2022高考数学二轮复习第三章导数及其应用导数与积分理（含2022试题）理数1.(2022大纲全国,7,5分)曲线y=xex-1在点(1,1)处切线的斜率等于(　　)A.2eB.eC.2D.1[答案]1.C[解析]1.∵y'=x'·ex-1+x·(ex-1)'=(1+x)ex-1,∴曲线在点(1,1)处的切线斜率为y'|x=1=2.故选C.2.(2022江西,8,5分)若f(x)=x2+2(　　)A.-1B.-C.　　D.1[答案]2.B[解析]2.令3.(2022湖北,6,5分)若函数f(x),g(x)满足f(x)g(x)dx=0,则称f(x),g(x)为区间[-1,1]上的一组正交函数.给出三组函数:①f(x)=sinx,g(x)=cosx;②f(x)=x+1,g(x)=x-1;③f(x)=x,g(x)=x2.其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是(　　)A.0B.1C.2D.3[答案]3.C[解析]3.由①得f(x)g(x)=sinxcosx=sinx,是奇函数,所以f(x)g(x)dx=0,所以①为区间[-1,1]上的正交函数;由②得f(x)g(x)=x2-1,∴f(x)g(x)dx=(x2-1)dx==-,所以②不是区间[-1,1]上的正交函数;由③得f(x)g(x)=x3,是奇函数,所以f(x)g(x)dx=0,所以①为区间[-1,1]上的正交函数.故选C.4.(2022湖南,9,5分)已知函数f(x)=sin(x-φ),且f(x)dx=0,则函数f(x)的图象的一39\n条对称轴是(　　)A.x=　　B.x=　　C.x=　　D.x=　　[答案]4.A[解析]4.由f(x)dx=sin(x-φ)dx=-cos(x-φ)=-cos+cosφ=0,得cosφ=sinφ,从而有tanφ=,则φ=nπ+,n∈Z,从而有f(x)=sin=(-1)nsin,n∈Z.令x-=kπ+,k∈Z,得x=kπ+,k∈Z,即f(x)的图象的对称轴是x=kπ+,k∈Z,故选A.5.(2022陕西,3,5分)定积分(2x+ex)dx的值为(　　)A.e+2B.e+1C.eD.e-1[答案]5.C[解析]5.(2x+ex)dx=(x2+ex)=1+e1-1=e,故选C.6.(2022山东,6,5分)直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为(　　)A.2　　B.4　　C.2　　D.4[答案]6.D[解析]6.由得x=0或x=2或x=-2(舍).∴S=(4x-x3)dx==4.7.(2022课标全国卷Ⅱ,8,5分)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=(　　)A.0B.1C.2D.3[答案]7.D39\n[解析]7.y'=a-,x=0时,y'=a-1=2,∴a=3,故选D.8.(2022天津蓟县邦均中学高三第一次模拟考试，9)的值是（ ）(A)　　　　　　　　　　(B)(C)　　　　　　　　　　(D)[答案]8. C[解析]8. 根据定积分的意义可得，定积分的值为圆在x轴上方的面积，故.9.(2022山西太原高三模拟考试（一），12)已知方程在（0，+∞）上有两个不同的解a，b（a＜b），则下面结论正确的是( )[答案]9. C[解析]9. 由题意可得上有两个不同的解a，b（a＜b），结合数形结合可得直线与曲线相切于点，且，则根据导数的几何意义可得切线的斜率为，根据两点间的斜率公式可得，由此可得，即，两边同除可得sin2b=2bcos2b.故选C.10.(2022山东青岛高三第一次模拟考试,4)曲线在处的切线方程为（   ）A．  B．    C．        D．[答案]10. A[解析]10. 依题意，，所以，所以所求的切线方程为，即.11.(2022贵州贵阳高三适应性监测考试,11)在区间[0,2]上随机取两个数,则0≤39\n≤2的概率是（   ）A.         B.          C.          D.[答案]11.C[解析]11.：如图，.12.(2022贵州贵阳高三适应性监测考试,9)已知，为的导函数，则的图象是（   ）[答案]12.A[解析]12.为奇函数，排除B,D。又，所以排除C。选A39\n13.(2022黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，12)在平面直角坐标系中，已知是函数的图象上的动点，该曲线在点处的切线交轴于点，过点作的垂线交轴于点.则的范围是（   ）A．   B.   C.D.[答案]13. A[解析]13. 设，因为，所以，所以曲线在点处的切线的方程为，即，令得，过点作的垂线，其方程为，令得，所以，因为或，所以或，所以的取值范围是.14.（2022山东潍坊高三3月模拟考试数学（理）试题，8）设，若，则( ) (A)-1   (B)0 (C)l   　(D)256[答案]14. B[解析]14. .令展开式中的x=1得，；令展开式中的x=0得，所以0.15.（2022江西重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题，6）若，39\n则的解集为（ 　）  A． B． C． D．[答案]15. A[解析]15. 函数的定义域为.，由且，解得.16.（2022江西红色六校高三第二次联考理数试题，5）若，则=(      ) A.       B.      C.          D.[答案]16. C[解析]16. .17.（2022吉林实验中学高三年级第一次模拟，10），数列的前项和为，数列的通项公式为，则的最小值为（   ）　　　　　　          A．　　         Ｂ．        Ｃ．　　       Ｄ．[答案]17. B[解析]17. ，所以，所以可得，所以（当且仅当n=2时等号成立）.18.（2022湖北八校高三第二次联考数学（理）试题，7）把一个带+q电量的点电荷放在r轴上原点处，形成一个电场，距离原点为r处的单位电荷受到的电场力由公式39\n（其中k为常数）确定，在该电场中，一个单位正电荷在电场力的作用下，沿着r轴的方向从处移动到处，与从处移动到处，电场力对它所做的功之比为（） A．　　     B．　　    C．　　   D．[答案]18. D[解析]18. 从处移动到处电场力对它所做的功为；从处移动到处电场力对它所做的功为，其比值为3.19.(2022河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试（四）数学（理）试题,8)已知双曲线的一条渐近线与曲线相切，且右焦点F为抛物线的焦点，则双曲线的标准方程为( ) (A)   (B)   (C)   (D)[答案]19. A[解析]19. 抛物线的焦点为（5,0）.设曲线与双曲线的一条渐近线为相切与点，则根据导数的几何意义可知，解得，所以切点为（2,1），所以，又因为，所以可得，所以双曲线方程为.20.(2022湖南株洲高三教学质量检测（一），8)若实数、、、满足.则的最小值为 (     )    A.     B.      C.      D.[答案]20. C[解析]20. ,点在曲线的图像上，点39\n在直线上，，要使最小，当且仅当过曲线上的点的切线与直线平行，，由得，由得，故当时，取得极小值，，直线的斜率为3，，解得或（由于，故舍去），，设点到直线的距离为，则，，，故的最小值为.21.(2022重庆七校联盟,10)已知函数在R上满足，则曲在点处切线的斜率是 （    ）   A.　　B. 　　C.　　D. [答案]21. A[解析]21. ，，即，解方程程组得，，斜率，选A.22.(2022重庆七校联盟,8)（创新）若，则等于（　　）   A.　　B. 　　C.　　D. [答案]22. D39\n[解析]22. ，.23.(2022河南郑州高中毕业班第一次质量预测,7)二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为（  ）A.3     B.   C.3或   D.3或[答案]23. B[解析]23.二项式的展开式的的第二项系数为，解得，.24.(2022河南郑州高中毕业班第一次质量预测,5)已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（  ）A.3   B.2   C.1   D.[答案]24. B[解析]24.设切点为，曲线的一条切线的斜率为，，解得或（舍去），故所求切点的横坐标为2.25.(2022兰州高三第一次诊断考试,9)下列五个命题中正确命题的个数是(      )①对于命题，则，均有②是直线与直线互相垂直的充要条件③ 已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为＝1.23x＋0.08④若实数，则满足的概率为⑤曲线与所围成图形的面积是          A.2           39\nB.3                C.4　　  D.5[答案]25. A[解析]25. 对①，因为命题，则，均有，故①错误；对②，由于直线与直线垂直的充要条件是或0，故②错误；对③，设线性回归方程为，由于样本点的坐标满足方程，则，解得，回归直线方程为，故③正确；对④，有几何概型知，所求概率为，故④错误；对⑤，曲线与所围成图形的面积是，正确.故正确的是③ ⑤ ，共2个.26.(2022广东,10,5分)曲线y=e-5x+2在点(0,3)处的切线方程为________.[答案]26.5x+y-3=0[解析]26.y'=-5e-5x,曲线在点(0,3)处的切线斜率k=y'|x=0=-5,故切线方程为y-3=-5(x-0),即5x+y-3=0.27.(2022江西,13,5分)若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是________.[答案]27.(-ln2,2)[解析]27.令f(x)=e-x,则f'(x)=-e-x.令P(x0,y0),则f'(x0)=-=-2,解得x0=-ln2,所以y0==eln2=2,所以点P的坐标为(-ln2,2).28.(2022江苏,11,5分)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+(a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是________.[答案]28.-3[解析]28.∵y=ax2+,∴y'=2ax-,由题意可得解得∴a+b=-3.29.(2022辽宁,14,5分)正方形的四个顶点A(-1,-1),B(1,-1),C(1,1),D(-1,1)分别在抛物线y=-x2和y=x2上,如图所示.若将一个质点随机投入正方形ABCD中,则质点落在图中阴影区域的概率是________.39\n[答案]29.[解析]29.由对称性可知S阴影=S正方形ABCD-4x2dx=22-4×=,所以所求概率为=.30.(2022福州高中毕业班质量检测,12)如图所示,在边长为1的正方形中任取一点,则点恰好取自阴影部分的概率为      .[答案]30.[解析]30. 依题意，阴影部分面积，，故所求的概率为.31.(2022山东实验中学高三第一次模拟考试，13)在的展开式中含常数项的系数是60，则的值为_______.39\n[答案]31.[解析]31. 常数项为，由得，所以.32.(2022广东广州高三调研测试，12)已知点在曲线（其中为自然对数的底数）上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是_______.[答案]32.[解析]32. 由导数的几何意义，又因为，所以，故.33.（2022江西重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题，11）计算：=          ．[答案]33. [解析]33. =，而表示的是以原点为圆心，以2为半径且在x轴上方的半圆的面积，故其值为；，所以原式的值为.34.(2022河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试（四）数学（理）试题,15)设，则二项式展开式中的常数项是________（用数字作答）[答案]34. 1120[解析]34. ,二项式展开式的通项为,当r=4时,得常数项为1120.39\n35.(2022吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试，14)设的展开式的常数项为，则直线与曲线围成图形的面积为      .[答案]35. [解析]35. ，令，∴，所以直线为与的交点为和，∴直线与曲线围成图形的面积36.(2022湖北八市高三下学期3月联考，11)己知，则（）6的展开式中的常数项为      .[答案]36. [解析]36. 因为，所以（）6的展开式中的常数项为37.(2022周宁、政和一中第四次联考，11)已知，若，则的值等于     .[答案]37. 3[解析]37. ，，解得或（舍去）.38.(2022湖南株洲高三教学质量检测（一），14)已知函数的对称中心为，记函数的导函数为的导函数为，则有. 若函数，则=          .[答案]38.[解析]38.  ∵，∴，，由得，，∴，故函数关于点对称.即，39\n，…，，，∴.39.(2022湖南株洲高三教学质量检测（一），12)由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为         .[答案]39. [解析]39.   联立方程组，求得交点的坐标为，因此所求的面积为.40. (2022吉林高中毕业班上学期期末复习检测,15)曲线与直线所围成的封闭图形的面积是           .[答案]40. [解析]40. 由，可得交点的坐标为，，可得交点的坐标为，所以曲线曲线与直线所围成的封闭图形的面积是.41.(2022天津七校高三联考,13)曲线处切线与直线垂直，则______[答案]41. 1[解析]41.  ，，当时，，故曲线在点处的切线斜率为1，与它垂直的直线的斜率，.42.(2022江西七校高三上学期第一次联考,14)如图所示，在第一象限由直线，和曲线所围图形的面积为   .39\n[答案]42. [解析]42. 依题意，解方程组的交点的坐标为，解方程组的交点的坐标为，所求的面积43.(2022江西七校高三上学期第一次联考,11)若，则的解集为      .[答案]43. [解析]43. ，令，解得，即的解集为.44.(2022广州高三调研测试,12)已知点在曲线（其中为自然对数的底数）上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是    ．[答案]44. [解析]44. ，又，，即的取值范围是.45.(2022广州高三调研测试,11)如图3，设是图中边长为4的正方形区域，是内函数图象下方的点构成的区域．在内随机取一点，则该点落在中的概率为   ．39\n[答案]45. [解析]45. 依题意，正方形的面积，阴影部分的面积，故所求的概率为.46.(2022湖北黄冈高三期末考试)若，，则、的大小关系为          .[答案]46. [解析]46.，，.47.(2022北京东城高三12月教学质量调研)若曲线在原点处的切线方程是，则实数        .[答案]47. 2[解析]47. ，又曲线在原点处的切线方程是，48.(2022大纲全国,22,12分)函数f(x)=ln(x+1)-(a>1).(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)设a1=1,an+1=ln(an+1),证明:<an≤.[答案]48.查看解析[解析]48.(Ⅰ)f(x)的定义域为(-1,+∞),f'(x)=.(2分)(i)当1<a<2时,若x∈(-1,a2-2a),则f'(x)>0,f(x)在(-1,a2-2a)上是增函数;若x∈(a2-2a,0),则f'(x)<0,f(x)在(a2-2a,0)上是减函数;若x∈(0,+∞),则f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上是增函数.(4分)(ii)当a=2时,f'(x)≥0,f'(x)=0成立当且仅当x=0,f(x)在(-1,+∞)上是增函数.(iii)当a>2时,若x∈(-1,0),则f'(x)>0,f(x)在(-1,0)上是增函数;若x∈(0,a2-2a),则f'(x)<0,f(x)在(0,a2-2a)上是减函数;若x∈(a2-2a,+∞),则f'(x)>0,f(x)在(a2-2a,+∞)上是增函数.(6分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当a=2时,f(x)在(-1,+∞)上是增函数.当x∈(0,+∞)时,f(x)>f(0)=0,即ln(x+1)>(x>0).又由(Ⅰ)知,当a=3时,f(x)在[0,3)上是减函数.39\n当x∈(0,3)时,f(x)<f(0)=0,即ln(x+1)<(0<x<3).(9分)下面用数学归纳法证明<an≤.(i)当n=1时,由已知<a1=1,故结论成立;(ii)设当n=k时结论成立,即<ak≤.当n=k+1时,ak+1=ln(ak+1)>ln>=,ak+1=ln(ak+1)≤ln<=,即当n=k+1时有<ak+1≤,结论成立.根据(i)、(ii)知对任何n∈N*结论都成立.(12分)49.(2022重庆,20,12分)已知函数f(x)=ae2x-be-2x-cx(a,b,c∈R)的导函数f'(x)为偶函数,且曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线的斜率为4-c.(Ⅰ)确定a,b的值;(Ⅱ)若c=3,判断f(x)的单调性;(Ⅲ)若f(x)有极值,求c的取值范围.[答案]49.查看解析[解析]49.(Ⅰ)对f(x)求导得f'(x)=2ae2x+2be-2x-c,由f'(x)为偶函数,知f'(-x)=f'(x),即2(a-b)(e2x+e-2x)=0,因为e2x+e-2x>0,所以a=b.又f'(0)=2a+2b-c=4-c,故a=1,b=1.(Ⅱ)当c=3时,f(x)=e2x-e-2x-3x,那么f'(x)=2e2x+2e-2x-3≥2-3=1>0,故f(x)在R上为增函数.(Ⅲ)由(Ⅰ)知f'(x)=2e2x+2e-2x-c,而2e2x+2e-2x≥2=4,当x=0时等号成立.下面分三种情况进行讨论.当c<4时,对任意x∈R,f'(x)=2e2x+2e-2x-c>0,此时f(x)无极值;当c=4时,对任意x≠0,f'(x)=2e2x+2e-2x-4>0,此时f(x)无极值;39\n当c>4时,令e2x=t,注意到方程2t+-c=0有两根t1,2=>0,即f'(x)=0有两个根x1=lnt1,x2=lnt2.当x1<x<x2时,f'(x)<0;又当x>x2时,f'(x)>0,从而f(x)在x=x2处取得极小值.综上,若f(x)有极值,则c的取值范围为(4,+∞).50.(2022福建,20,14分)已知函数f(x)=ex-ax(a为常数)的图象与y轴交于点A,曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为-1.(Ⅰ)求a的值及函数f(x)的极值;(Ⅱ)证明:当x>0时,x2<ex;(Ⅲ)证明:对任意给定的正数c,总存在x0,使得当x∈(x0,+∞)时,恒有x2<cex.[答案]50.查看解析[解析]50.解法一:(Ⅰ)由f(x)=ex-ax,得f'(x)=ex-a.又f'(0)=1-a=-1,得a=2.所以f(x)=ex-2x,f'(x)=ex-2.令f'(x)=0,得x=ln2.当x<ln2时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x>ln2时,f'(x)>0,f(x)单调递增.所以当x=ln2时,f(x)取得极小值,且极小值为f(ln2)=eln2-2ln2=2-ln4,f(x)无极大值.(Ⅱ)令g(x)=ex-x2,则g'(x)=ex-2x.由(Ⅰ)得g'(x)=f(x)≥f(ln2)>0,故g(x)在R上单调递增,又g(0)=1>0,因此,当x>0时,g(x)>g(0)>0,即x2<ex.(Ⅲ)①若c≥1,则ex≤cex.又由(Ⅱ)知,当x>0时,x2<ex.所以当x>0时,x2<cex.取x0=0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2<cex.②若0<c<1,令k=>1,要使不等式x2<cex成立,只要ex>kx2成立.而要使ex>kx2成立,则只要x>ln(kx2),只要x>2lnx+lnk成立.令h(x)=x-2lnx-lnk,则h'(x)=1-=,所以当x>2时,h'(x)>0,h(x)在(2,+∞)内单调递增.取x0=16k>16,所以h(x)在(x0,+∞)内单调递增,又h(x0)=16k-2ln(16k)-lnk=8(k-ln2)+3(k-lnk)+5k,易知k>lnk,k>ln2,5k>0,所以h(x0)>0.即存在x0=,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2<cex.39\n综上,对任意给定的正数c,总存在x0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2<cex.解法二:(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)同解法一.(Ⅲ)对任意给定的正数c,取x0=,由(Ⅱ)知,当x>0时,ex>x2,所以ex=·>,当x>x0时,ex>>=x2,因此,对任意给定的正数c,总存在x0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2<cex.解法三:(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)同解法一.(Ⅲ)首先证明当x∈(0,+∞)时,恒有x3<ex.证明如下:令h(x)=x3-ex,则h'(x)=x2-ex.由(Ⅱ)知,当x>0时,x2<ex,从而h'(x)<0,h(x)在(0,+∞)内单调递减,所以h(x)<h(0)=-1<0,即x3<ex.取x0=,当x>x0时,有x2<x3<ex.因此,对任意给定的正数c,总存在x0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2<cex.注:对c的分类可有不同的方式,只要解法正确,均相应给分.51.(2022江苏,23,10分)已知函数f0(x)=(x>0),设fn(x)为fn-1(x)的导数,n∈N*.(1)求2f1+f2的值;(2)证明:对任意的n∈N*,等式=都成立.[答案]51.查看解析[解析]51.(1)由已知,得f1(x)=f'0(x)='=-,39\n于是f2(x)=f'1(x)='-'=--+,所以f1=-,f2=-+.故2f1+f2=-1.(2)证明:由已知,得xf0(x)=sinx,等式两边分别对x求导,得f0(x)+xf'0(x)=cosx,即f0(x)+xf1(x)=cosx=sin,类似可得2f1(x)+xf2(x)=-sinx=sin(x+π),3f2(x)+xf3(x)=-cosx=sin,4f3(x)+xf4(x)=sinx=sin(x+2π).下面用数学归纳法证明等式nfn-1(x)+xfn(x)=sin对所有的n∈N*都成立.(i)当n=1时,由上可知等式成立.(ii)假设当n=k时等式成立,即kfk-1(x)+xfk(x)=sin.因为[kfk-1(x)+xfk(x)]'=kf'k-1(x)+fk(x)+xf'k(x)=(k+1)fk(x)+xfk+1(x),'=cos·'=sin,所以(k+1)fk(x)+xfk+1(x)=sin.因此当n=k+1时,等式也成立.综合(i),(ii)可知等式nfn-1(x)+xfn(x)=sin对所有的n∈N*都成立.令x=,可得nfn-1+fn=sin(n∈N*).39\n所以=(n∈N*).52.(2022课表全国Ⅰ，21，12分)设函数f(x)=aexlnx+,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2.(Ⅰ)求a,b;(Ⅱ)证明:f(x)>1.[答案]52.查看解析[解析]52.(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=aexlnx+ex-ex-1+ex-1.由题意可得f(1)=2,f'(1)=e.故a=1,b=2.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=exlnx+ex-1,从而f(x)>1等价于xlnx>xe-x-.设函数g(x)=xlnx,则g'(x)=1+lnx.所以当x∈时,g'(x)<0;当x∈时,g'(x)>0.故g(x)在上单调递减,在上单调递增,从而g(x)在(0,+∞)上的最小值为g=-.设函数h(x)=xe-x-,则h'(x)=e-x(1-x).所以当x∈(0,1)时,h'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0.故h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,从而h(x)在(0,+∞)上的最大值为h(1)=-.综上,当x>0时,g(x)>h(x),即f(x)>1.53.（2022重庆一中高三下学期第一次月考，17）设，其中，曲线在点处的切线与直线：平行。(1)   确定的值；(2)   求函数的单调区间。39\n[答案]53.查看解析[解析]53. 解析 (1)由题，故。因直线的斜率为，故，从而；  (2)，由得或，由得。故的单增区间为和，单减区间为。54.(2022天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试，21)已知函数图象上斜率为3的两条切线间的距离为，函数．（1）若函数在处有极值，求的解析式；（2）若函数在区间上为增函数，且在区间上都成立，求实数的取值范围．[答案]54.查看解析[解析]54.∵，∴由有，即切点坐标为，∴切线方程为，或整理得或……………………4分∴，解得，∴，∴……………………6分（1）∵，在处有极值，∴，即，解得，∴……………………8分（2）∵函数在区间上为增函数，∴在区间上恒成立，∴，又∵在区间上恒成立，∴，即，∴在上恒成立，∴39\n∴的取值范围是 …………14分55.(2022天津蓟县邦均中学高三第一次模拟考试，20)已知函数(Ⅰ)若在区间上为减函数，求的取值范围；(Ⅱ)讨论在内的极值点的个数。[答案]55.查看解析[解析]55.解：(Ⅰ)∵∴     ………………………………(2分)∵在区间上为减函数∴≤O在区间上恒成立    …………………………(3分)∵是开口向上的抛物线    ∴存在，使得∴在区间内有且只有一个极小值点   ……………(8分)　  39\n当≤≤时，由(Ⅰ)可知在区间上为减函数∴在区间内没有极值点.综上可知，当时，在区间内的极值点个数为当≤≤时，在区间内的极值点个数为 ………(12分)56.(2022山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，21)设函数（1）判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性；（2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式f(x)-1<a成立．[答案]56.查看解析[解析]56. (1)由题意知： ……………2分令h(x)=(x-1)ex+1,则h¢(x)=xex>0,∴h(x)在（0，+∞）上是增函数，　　     ……………3分又h(0)=0，∴h(x)>0,则f¢(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上是单调增函数.　　     ……………5分(2)f(x)-1=,不等式f(x)-1<a可化为ex-(a+1)x-1<0,令G(x)=ex-(a+1)x-1,G¢(x)=ex-(a+1),　　  ……………7分由G¢(x)=0得：x=ln(a+1),当0<x<(ln(a+1)时，G¢(x)<0,当x>ln(a+1)时，G¢(x)>0,∴当x=ln(a+1)时，G(x)min=a-(a+1)ln(a+1),　　……………9分即当x=ln(a+1)时，G(x)min=a-(a+1)ln(a+1)<0.      ……………11分故存在正数x=ln(a+1)，使不等式F(x)-1<a成立．    ……………12分39\n57.(2022湖北黄冈高三4月模拟考试，22)设函数.（Ⅰ）求证：当时，恒成立；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）求证：.[答案]57.查看解析[解析]57.（Ⅰ），设，当时，，即上单调递减又，上恒有，即恒成立.（5分）   （Ⅱ）令，，则有，，.（9分）（Ⅲ）上单调递增，，（12分）又上单调递减，       39\n.  （14分）58.（2022江西重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题，21）已知函数．（1）当时，证明对任意的；（2）求证：．（3）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围．[答案]58.查看解析[解析]58.（2）根据（1）的结论，当时，，即．令，则有，　　   ………………………7分．即．…8分(本问也可用数学归纳法证明.)39\n③当时，，设的两根分别为与，则，，不妨设当及时，，当时，，所以函数在上递增，在上递减，而所以时，，且因此函数在有一个零点，而在上无零点；此时函数只有一个零点；综上，函数只有一个零点时，实数a的取值范围为R．………………………14分59.（2022吉林实验中学高三年级第一次模拟，21）已知定义在上的函数总有导函数,定义.一是自然对数的底数.(1)若,且,试分别判断函数和的单调性:(2)若.39\n①当时,求函数的最小值；②设,是否存在,使得?若存在,请求出一组的值:若不存在,请说明理由。[答案]59.查看解析[解析]59.39\n60.（2022湖北八校高三第二次联考数学（理）试题，22）已知函数．  （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；　（Ⅱ）求的单调减区间；  （Ⅲ）当时，设在区间上的最小值为，令，     求证：．[答案]60.查看解析39\n[解析]60. (1)当时，    　　　　　　 ………………2分   曲线在点处的切线方程为：   即 　　　　      ………………3分61.(2022重庆五区高三第一次学生调研抽测，17)已知函数.（Ⅰ）若，求函数的单调区间和极值；（Ⅱ）设函数图象上任意一点的切线的斜率为，当的最小值为1时，求此时切线的方程.[答案]61.查看解析39\n[解析]61.解：（I）的定义域为（）时，…………………………………………1分当时，……………………………2分由得，由得，或，由得，………3分∴的单调递增区间为，；单调递减区间为…………5分∴极大值为；极小值为………………………7分（II）由题意知  ∴……………………9分    此时，即，∴，切点为，…………………………11分   ∴此时的切线方程为：.………………………………………13分62.(2022江苏苏北四市高三期末统考,19)已知函数（为常数），其图象是曲线. 　（Ⅰ）当时，求函数的单调减区间；   （Ⅱ）设函数的导函数为，若存在唯一的实数，使得与同时成立，求实数的取值范围；   （Ⅲ）已知点为曲线上的动点，在点处作曲线的切线与曲线交于另一点，在点处作曲线的切线，设切线的斜率分别为.问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.[答案]62.查看解析[解析]62.   解析（Ⅰ）当时，. 令，解得，所以f(x)的单调减区间为.（4分）（Ⅱ），由题意知消去，得有唯一解.39\n令，则，所以在区间，上是增函数，在上是减函数，又，，故实数的取值范围是.（10分）（Ⅲ）设，则点处切线方程为，与曲线：联立方程组，得，即，所以点的横坐标.（12分）由题意知，，，若存在常数，使得，则，即存在常数，使得，所以解得，.故时，存在常数，使；时，不存在常数，使.（16分）63.(2022重庆七校联盟,19)（创新）已知函数，其中，曲线在点处的切线垂直于轴.   （Ⅰ）求的值；   （Ⅱ）求函数的极值.[答案]63.查看解析[解析]63. （Ⅰ）, ，即.   （5分）     （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，令，有，由，则或；由，则或.    （9分）所以，取得极大值，时，取得极小值.    （13分）39\n64.(2022天津七校高三联考,20)已知函数在点处的切线方程为．   (Ⅰ)求函数的解析式；   (Ⅱ)若对于区间上任意两个自变量的值都有，求实数的最小值；   （Ⅲ）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．[答案]64.查看解析[解析]64.   解析 (Ⅰ)．根据题意，得即解得，所以．　　（4分）   (Ⅱ)令，即．得．12 +  + 增极大值减极小值增2因为，，所以当时，，．   （6分）则对于区间上任意两个自变量的值，都有，所以．所以的最小值为4．   （Ⅲ）因为点不在曲线上，所以可设切点为．则．因为，所以切线的斜率为．        （9分）则=，即．因为过点可作曲线的三条切线，39\n所以方程有三个不同的实数解．所以函数有三个不同的零点．则．令，则或．02+  +增极大值减极小值增则，即，解得．   （13分）65.(2022成都高中毕业班第一次诊断性检测，21)已知函数，.   （Ⅰ）若，求曲线在出的切线方程；   （Ⅱ）若对任意的都有恒成立，求的最小值；    （Ⅲ）设，，若，为曲线上的两个不同点满足，且，使得曲线在处的切线与直线平行，求证.[答案]65.查看解析[解析]65.   解析 （Ⅰ），，.   （4分）   （Ⅱ）由恒成立等价于恒成立，令，，，①若，则恒成立.函数在上是增函数，恒成立，又，符合条件.②若，由可得，解得或（舍去），当时，；当时，，，，这与恒成立矛盾.综上所述，，的最小值为1.          （9分）   （Ⅲ），，又，，，由，易知其定义域内为单调减函数，39\n欲证，即证明，即证明，变形可得，令，，则等价于，构造函数，，则，令，当时，，在上为单调增函数，，，在上恒成立，成立，.   （14分）66.(2022江西七校高三上学期第一次联考,21)已知函数，其中.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若直线是曲线的切线，求实数的值；（Ⅲ）设，求在区间上的最大值（其中为自然对的底数）.[答案]66.查看解析[解析]66. (Ⅰ）①（），令，则，又的定义域是，∴函数的单调递增区间为（0，2），递减区间为（－∞，0）和（2，＋∞）（4分）（Ⅱ）设切点为则  解得  ，（7分）   （Ⅲ）， ，令，则，①当时，在单调增加       （9分）39\n②当时，在单调减少，在单调增加；  若时，；  若时，；      （11分）③当时，在上单调递减，；综上所述，时，；时，.            (14分)67.(2022广州高三调研测试,20)设函数，.（Ⅰ）若曲线与在它们的交点处有相同的切线，求实数，的值；（Ⅱ）当时，若函数在区间内恰有两个零点，求实数的取值范围；（Ⅲ）当，时，求函数在区间上的最小值.[答案]67.查看解析[解析]67.       解析　（Ⅰ）因为，，所以，.因为曲线与在它们的交点处有相同切线,所以,且。即,且,解得.　　（3分）       （Ⅱ）当时，，所以.令，解得.当变化时，的变化情况如下表：0039\n↗极大值↘极小值↗所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.故在区间内单调递增，在区间内单调递减.从而函数在区间内恰有两个零点，当且仅当即解得.所以实数的取值范围是.         （8分）       （Ⅲ）当，时，.所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.由于，，所以.①当，即时，.②当时，.　　        （12分）③当时，在区间上单调递增，.综上可知，函数在区间上的最小值为　　  （14分）68.(2022兰州高三第一次诊断考试,21)已知函数，，其中的函数图象在点处的切线平行于轴．  （Ⅰ）确定与的关系；  （Ⅱ）若，试讨论函数的单调性；  （Ⅲ）设斜率为的直线与函数的图象交于两点（）39\n  证明：．[答案]68.查看解析[解析]68.  解析 （Ⅰ）依题意得，则，由函数的图象在点处的切线平行于轴得：.∴.          （3分）   （Ⅱ）由（Ⅰ）得∵函数的定义域为∴当时，由得，由得，即函数在(0,1)上单调递增，在单调递减；当时，令得或，若，即时，由得或，由得，即函数在，上单调递增，在单调递减；若，即时，由得或，由得，即函数在，上单调递增，在单调递减；若，即时，在上恒有，即函数在上单调递增，综上所述：当时，函数在(0,1)上单调递增，在单调递减；当时，函数在单调递增，在单调递减；在上单调递增；当时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递增，在单调递减；在上单调递增．         （8分）   （Ⅲ）依题意得，证，即证因，即证令（），即证（）39\n令（）则∴在（1，+）上单调递增，∴=0，即（）.      ①令，∵，又∵，∴在单调递减，∴∴②综①②得（），即．     （12分）39