2024届高考数学一轮复习（新教材人教A版强基版）第三章一元函数的导数及其应用必刷小题5导数及其应用课件

必刷小题5导数及其应用第三章　一元函数的导数及其应用 一、单项选择题1.函数f(x)＝(2x－1)ex的单调递增区间为12345678910111213141516√ 12345678910111213141516因为函数f(x)＝(2x－1)ex，所以f′(x)＝2ex＋(2x－1)ex＝(2x＋1)ex， 123456789101112131415162.(2023·茂名模拟)若曲线y＝f(x)＝x2＋ax＋b在点(1，f(1))处的切线为3x－y－2＝0，则有A.a＝－1，b＝1B.a＝1，b＝－1C.a＝－2，b＝1D.a＝2，b＝－1√ 12345678910111213141516将x＝1代入3x－y－2＝0得y＝1，则f(1)＝1，则1＋a＋b＝1，①∵f(x)＝x2＋ax＋b，∴f′(x)＝2x＋a，则f′(1)＝3，即2＋a＝3，②联立①②，解得a＝1，b＝－1. 3.已知x＝0是函数f(x)＝eax－ln(x＋a)的极值点，则a等于A.1B.2C.eD.±1√因为f(x)＝eax－ln(x＋a)，又x＝0是f(x)的极值点，解得a＝±1，经检验知a＝－1不符合条件，故a＝1.12345678910111213141516 4.(2023·济南质检)拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象连续不间断，在开区间(a，b)内的导数为f′(x)，那么在区间(a，b)内至少存在一点c，使得f(b)－f(a)＝f′(c)(b－a)成立，其中c叫做f(x)在[a，b]上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理，可得函数f(x)＝x3－3x在[－2,2]上的“拉格朗日中值点”的个数为A.3B.2C.1D.012345678910111213141516√ 12345678910111213141516函数f(x)＝x3－3x，则f(2)＝2，f(－2)＝－2，f′(x)＝3x2－3，由f(2)－f(－2)＝f′(c)(2＋2)，得f′(c)＝1，即3c2－3＝1，所以f(x)在[－2,2]上的“拉格朗日中值点”的个数为2. 123456789101112131415165.(2023·潍坊模拟)已知函数f(x)＝xex－x2－2x－m在(0，＋∞)上有零点，则m的取值范围是√ 12345678910111213141516由函数y＝f(x)在(0，＋∞)上存在零点可知，m＝xex－x2－2x(x>0)有解，设h(x)＝xex－x2－2x(x>0)，则h′(x)＝(x＋1)(ex－2)(x>0)，当0<x<ln2时，h′(x)<0，h(x)单调递减；当x>ln2时，h′(x)>0，h(x)单调递增.则x＝ln2时，h(x)取得最小值，且h(ln2)＝－ln22，所以m的取值范围是[－ln22，＋∞). 6.已知a，b∈R，则“lna>lnb”是“a＋sinb>b＋sina”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12345678910111213141516√ 由lna>lnb，得a>b>0.由a＋sinb>b＋sina，得a－sina>b－sinb.记函数f(x)＝x－sinx(x∈R)，则f′(x)＝1－cosx≥0，所以函数f(x)在R上单调递增，又a－sina>b－sinb，则f(a)>f(b)，所以a>b.因此“lna>lnb”是“a＋sinb>b＋sina”的充分不必要条件.12345678910111213141516 123456789101112131415167.(2023·宁波模拟)设m≠0，若x＝m为函数f(x)＝m·(x－m)2(x－n)的极小值点，则√ 若m<0，则f′(x)是开口向下的抛物线，若x＝m是极小值点，若m>0，f′(x)是开口向上的抛物线，若x＝m是极小值点，12345678910111213141516 8.已知f(x)＝(x＋3)，g(x)＝2lnx，若存在x1，x2，使得g(x2)＝f(x1)，则x2－x1的最小值为A.6－8ln2B.7－8ln2C.2ln2D.4ln212345678910111213141516√ 设g(x2)＝f(x1)＝m，则x1＝2m－3，x2＝　，所以x2－x1＝　－2m＋3，令h′(x)>0，得x>4ln2；令h′(x)<0，得x<4ln2，所以h(x)在(－∞，4ln2)上单调递减，在(4ln2，＋∞)上单调递增，h(x)min＝7－8ln2，所以当x＝4ln2时，x2－x1取最小值，为7－8ln2.12345678910111213141516 二、多项选择题9.下列函数中，存在极值点的是A.y＝x＋B.y＝2x2－x＋1C.y＝xlnxD.y＝－2x3－x12345678910111213141516√√√ 12345678910111213141516 12345678910111213141516对于D，函数y＝－2x3－x，y′＝－6x2－1<0，所以函数y＝－2x3－x在R上单调递减，没有极值点. 10.已知函数f(x)＝e2－x＋x，x∈[1,3]，则下列说法正确的是A.函数f(x)的最小值为3B.函数f(x)的最大值为3＋C.函数f(x)的最小值为e＋1D.函数f(x)的最大值为e＋112345678910111213141516√√ 12345678910111213141516∵f(x)＝e2－x＋x，x∈[1,3]，∴f′(x)＝－e2－x＋1，令f′(x)>0，解得x>2；令f′(x)<0，解得x<2，故函数f(x)在区间[1,2]上单调递减，在区间[2,3]上单调递增，所以函数f(x)在x＝2处取得极小值，也是最小值，为f(2)＝3，故f(x)的最大值为f(1)＝e＋1. 11.函数f(x)＝ax3－bx2＋cx的图象如图，且f(x)在x＝x0与x＝1处取得极值，给出下列判断，其中正确的是A.c<0B.a<0C.f(1)＋f(－1)>0D.函数y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减12345678910111213141516√√ f′(x)＝3ax2－2bx＋c＝3a(x－x0)(x－1)，由图知x>1时，f(x)单调递增，可知f′(x)>0，所以a>0，故B错误；又f′(x)＝3ax2－2bx＋c＝3a(x－x0)(x－1)＝3ax2－3a(1＋x0)x＋3ax0，∴2b＝3a(1＋x0)，c＝3ax0，∵x0<－1<0∴c＝3ax0<0,故A正确；12345678910111213141516 ∵x0<－1<0，∴1＋x0<0，∴f(1)＋f(－1)＝－2b＝－3a(1＋x0)>0，故C正确；f′(x)＝3ax2－2bx＋c，其图象开口向上，对称轴小于0，函数f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，故D错误.12345678910111213141516 12.(2022·南通模拟)定义：在区间I上，若函数y＝f(x)是减函数，且y＝xf(x)是增函数，则称y＝f(x)在区间I上是“弱减函数”.根据定义，下列结论正确的是√√√12345678910111213141516 ∴y＝xf(x)在(1,2)上单调递增，故B正确；12345678910111213141516 ∴m≥e，y＝xf(x)＝lnx在(m，＋∞)上单调递增，故C正确；12345678910111213141516 12345678910111213141516 12345678910111213141516 12345678910111213141516三、填空题13.(2023·十堰模拟)曲线y＝lnx＋x2在x＝1处的切线方程为____________.3x－y－2＝0所以曲线y＝lnx＋x2在x＝1处的切线方程为3x－y－2＝0. 1234567891011121314151614.函数f(x)＝－3x－|lnx|＋3的最大值为________.2－ln3 由题知当x≥1时，f(x)＝－3x－lnx＋3，∴f(x)max＝f(1)＝0；当0<x<1时，f(x)＝－3x＋lnx＋3，12345678910111213141516 12345678910111213141516综上可知，f(x)max＝2－ln3. 15.(2023·南京模拟)写出一个同时具有下列三条性质的三次函数f(x)＝___________________.①f(x)为奇函数；②f(x)存在3个不同的零点；③f(x)在(1，＋∞)上单调递增.12345678910111213141516x3－3x(答案不唯一)f′(x)＝3x2－3，当x>1时，f′(x)>0，即f(x)在(1，＋∞)上单调递增，①②③都满足，∴f(x)＝x3－3x满足题意. 1234567891011121314151616.(2022·郑州质检)已知过点P(a,1)可以作曲线y＝lnx的两条切线，则实数a的取值范围是________.(0，e) 设曲线y＝lnx与其切线交于A(x0，y0)，①又∵切线过点P(a,1)，∵要保证过点P(a,1)可以作曲线y＝lnx的两条切线，可得P(a,1)不能在曲线y＝lnx上，∴x0≠a，12345678910111213141516 ②∵点A在曲线y＝lnx上，故y0＝lnx0，③∴x0(lnx0－1)＝x0－a，解得a＝2x0－x0·lnx0，令f(x)＝2x－x·lnx，12345678910111213141516 令f′(x)＝0，故1－lnx＝0，∴x＝e，当x∈(0，e)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，即f(x)在x＝e处取得最大值，故f(x)max＝f(e)＝2e－e·lne＝e，作出f(x)的草图如图所示，由图可知a仅在(0，e)范围内有2个对应的x值，即a∈(0，e)时，有2个解，此时存在2条切线方程，综上所述，a的取值范围为(0，e).12345678910111213141516