第三章　§3.1　导数的概念及其意义、导数的运算

成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期§3.1　导数的概念及其意义、导数的运算考试要求　1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数．知识梳理1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f′(x0)或y′|.f′(x0)＝＝.(2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数)f′(x)＝y′＝.2．导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈R，且α≠0)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝ex成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期f(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝f(x)＝lnxf′(x)＝4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；′＝(g(x)≠0)；[cf(x)]′＝cf′(x)．5．复合函数的定义及其导数复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．常用结论1．区分在点处的切线与过点处的切线(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条．2.′＝(f(x)≠0)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　×　)(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　×　)(3)f′(x0)＝[f(x0)]′.(　×　)(4)(cos2x)′＝－2sin2x.(　√　)教材改编题1．若函数f(x)＝3x＋sin2x，则(　　)A．f′(x)＝3xln3＋2cos2xB．f′(x)＝3x＋2cos2xC．f′(x)＝＋cos2xD．f′(x)＝－2cos2x成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期答案　A解析　因为函数f(x)＝3x＋sin2x，所以f′(x)＝3xln3＋2cos2x.2．函数f(x)＝ex＋在x＝1处的切线方程为．答案　y＝(e－1)x＋2解析　由题意得，f′(x)＝ex－，∴f′(1)＝e－1，又∵f(1)＝e＋1，∴切点为(1，e＋1)，切线斜率k＝f′(1)＝e－1，即切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋2.3．已知函数f(x)＝xlnx＋ax2＋2，若f′(e)＝0，则a＝.答案　－解析　由题意得f′(x)＝1＋lnx＋2ax，∴f′(e)＝2ae＋2＝0，解得a＝－.题型一　导数的运算例1　(1)(多选)下列求导正确的是(　　)A．[(3x＋5)3]′＝9(3x＋5)2B．(x3lnx)′＝3x2lnx＋x2C.′＝D．(2x＋cosx)′＝2xln2－sinx答案　ABD解析　对于A，[(3x＋5)3]′＝3(3x＋5)2(3x＋5)′＝9(3x＋5)2，故A正确；对于B，(x3lnx)′＝(x3)′lnx＋x3(lnx)′＝3x2lnx＋x2，故B正确；对于C，′＝＝，故C错误；对于D，(2x＋cosx)′＝(2x)′＋(cosx)′＝2xln2－sinx，故D正确．(2)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，则f′(2)等于(　　)A．1B．－9C．－6D．4答案　C成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期解析　因为f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，所以f′(x)＝3x2＋2xf′(1)＋2，把x＝1代入f′(x)，得f′(1)＝3×12＋2f′(1)＋2，解得f′(1)＝－5，所以f′(x)＝3x2－10x＋2，所以f′(2)＝－6.思维升华　(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．跟踪训练1　(1)(多选)下列求导运算正确的是(　　)A．若f(x)＝sin(2x＋3)，则f′(x)＝2cos(2x＋3)B．若f(x)＝e－2x＋1，则f′(x)＝e－2x＋1C．若f(x)＝，则f′(x)＝D．若f(x)＝xlnx，则f′(x)＝lnx＋1答案　ACD解析　f(x)＝sin(2x＋3)，f′(x)＝cos(2x＋3)·(2x＋3)′＝2cos(2x＋3)，故A正确；f(x)＝e－2x＋1，则f′(x)＝－2e－2x＋1，故B错误；f(x)＝，f′(x)＝＝，故C正确；f(x)＝xlnx，f′(x)＝(x)′lnx＋x(lnx)′＝lnx＋1，故D正确．(2)函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝x2＋f′sinx，则f ＝.答案　＋解析　∵f′(x)＝2x＋f′cosx，∴f′＝＋f′，∴f′＝，∴f(x)＝x2＋sinx，∴f ＝＋.题型二　导数的几何意义命题点1　求切线方程例2　(1)(2023·大同模拟)已知函数f(x)＝2e2lnx＋x2，则曲线y＝f(x)在点(e，f成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 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成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期因为k>1，所以l：y＝x不成立，故b＝－e.(2)(2023·晋中模拟)若两曲线y＝lnx－1与y＝ax2存在公切线，则正实数a的取值范围是(　　)A．(0,2e]B.C.D．[2e，＋∞)答案　B解析　设公切线与曲线y＝lnx－1和y＝ax2的切点分别为(x1，lnx1－1)，(x2，ax)，其中x1>0，对于y＝lnx－1有y′＝，则y＝lnx－1的切线方程为y－(lnx1－1)＝(x－x1)，即y＝＋lnx1－2，对于y＝ax2有y′＝2ax，则y＝ax2的切线方程为y－ax＝2ax2(x－x2)，即y＝2ax2x－ax，所以则－＝lnx1－2，即＝2x－xlnx1(x1>0)，令g(x)＝2x2－x2lnx，则g′(x)＝3x－2xlnx＝x(3－2lnx)，令g′(x)＝0，得x＝，当x∈(0，)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，所以g(x)max＝g()＝e3，故0<≤e3，即a≥e－3.思维升华　公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解．跟踪训练3　(1)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝x2－m，h(x)＝6lnx－4x，设两曲线y＝f(x)与y＝h(x)在公共点处的切线相同，则m等于(　　)A．－3B．1C．3D．5答案　D成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 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成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期7．写出一个同时具有性质：①f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，②当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0的函数f(x)＝.答案　lnx(答案不唯一)解析　若函数f(x)＝lnx，则f(x1x2)＝ln(x1x2)＝lnx1＋lnx2＝f(x1)＋f(x2)，满足①；f(x)＝lnx的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝>0，满足②，故f(x)＝lnx符合题意．8．已知函数f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)·(x－5)，则f′(3)＝________.答案　12解析　由题意得，f′(x)＝x(x－1)(x－2)(x－4)(x－5)＋(x－3)[x(x－1)(x－2)(x－4)(x－5)]′，所以f′(3)＝3×(3－1)×(3－2)×(3－4)×(3－5)＋0＝12.9．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋lnx.(1)求f′(e)及f(e)的值；(2)求f(x)在点(e2，f(e2))处的切线方程．解　(1)∵f(x)＝2xf′(e)＋lnx，∴f′(x)＝2f′(e)＋，f′(e)＝2f′(e)＋，∴f′(e)＝－，f(x)＝－＋lnx，∴f(e)＝－＋lne＝－1.(2)∵f(x)＝－＋lnx，f′(x)＝－＋，∴f(e2)＝－＋lne2＝2－2e，f′(e2)＝－＋，∴f(x)在点(e2，f(e2))处的切线方程为y－(2－2e)＝(x－e2)，即(2e－1)x＋e2y－e2＝0.10．(2022·全国甲卷)已知函数f(x)＝x3－x，g(x)＝x2＋a，曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线也是曲线y＝g(x)的切线．(1)若x1＝－1，求a；(2)求a的取值范围．解　(1)当x1＝－1时，f(－1)＝0，所以切点坐标为(－1,0)．由f(x)＝x3－x，得f′(x)＝3x2－1，所以切线斜率k＝f′(－1)＝2，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期所以切线方程为y＝2(x＋1)，即y＝2x＋2.将y＝2x＋2代入y＝x2＋a，得x2－2x＋a－2＝0.由切线与曲线y＝g(x)也相切，得Δ＝(－2)2－4(a－2)＝0，解得a＝3.(2)由(1)知，y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线斜率k＝f′(x1)＝3x－1，又f(x1)＝x－x1，所以切线方程为y－(x－x1)＝(3x－1)(x－x1)，即y＝(3x－1)x－2x.将y＝(3x－1)x－2x代入y＝x2＋a，得x2－(3x－1)x＋a＋2x＝0.由切线与曲线y＝g(x)也相切，得Δ＝(3x－1)2－4(a＋2x)＝0，整理，得4a＝9x－8x－6x＋1.令h(x)＝9x4－8x3－6x2＋1.则h′(x)＝36x3－24x2－12x＝12x(3x＋1)(x－1)．由h′(x)＝0，得x＝－，0,1，当x变化时，h′(x)，h(x)的变化如表所示，x(－∞，－)－(－，0)0(0,1)1(1，＋∞)h′(x)－0＋0－0＋h(x)↘极小值↗极大值↘极小值↗由表知，当x＝－时，h(x)取得极小值h＝，当x＝1时，h(x)取得极小值h(1)＝－4，易知当x→－∞时，h(x)→＋∞，当x→＋∞时，h(x)→＋∞，所以函数h(x)的值域为[－4，＋∞)，所以由4a∈[－4，＋∞)，得a∈[－1，＋∞)，故实数a的取值范围为[－1，＋∞)．成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期11．已知曲线y＝ex在点(x1，)处的切线与曲线y＝lnx在点(x2，lnx2)处的切线相同，则(x1＋1)(x2－1)等于(　　)A．－1B．－2C．1D．2答案　B解析　已知曲线y＝ex在点(x1，)处的切线方程为y－＝(x－x1)，即y＝x－x1＋，曲线y＝lnx在点(x2，lnx2)处的切线方程为y－lnx2＝(x－x2)，即y＝x－1＋lnx2，由题意得解得x2＝，－x1＝－1＋lnx2＝－1＋＝－1－x1，则＝，又x2＝，所以x2＝，所以x2－1＝－1＝，所以(x1＋1)(x2－1)＝－2.12．我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型分式，比如：当x→0时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在．为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：＝＝＝ex＝e0＝1，则＝.答案　成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期解析　＝＝＝＝ln1＋＝.13．已知a，b为正实数，直线y＝x－与曲线y＝ln相切，则的取值范围是(　　)A．(－∞，0)B.C．[1，＋∞)D．(0,1)答案　D解析　函数y＝ln的导函数为y′＝，令y′＝＝1，解得x＝1－，所以切点为，代入y＝x－，得a＋b＝2，因为a，b为正实数，所以a∈(0,2)，则＝，令g(a)＝，a∈(0,2)，则g′(a)＝>0，则函数g(a)在(0,2)上单调递增，所以0＝g(0)<g(a)<g(2)＝1，即g(a)∈(0,1)，所以∈(0,1)．14．设ai(i＝0,1,2，…，2022)是常数，对于∀x∈R，都有x2022＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)(x－2)＋…＋a2022·(x－1)(x－2)…(x－2022)，则－a0＋a1－a2＋2！a3－3！a4＋4！a5－…＋2020！a2021－2021！a2022＝________.答案　2021解析　因为x2022＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)·(x－2)＋…＋a2022(x－1)(x－2)…(x－2022)，则令x＝1，可得a0＝1.对x2022＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)(x－2)＋…＋a2022(x－1)(x－2)…(x－2022)两边求导可得2022x2021＝a1＋a2[(x－1)(x－2)]′＋…＋a2022[(x－1)(x－2)…(x－2022)]′，令fn(x)＝(x－1)(x－2)…(x－n)，则fn′(x)＝(x－1)[(x－2)(x－3)…(x－n)]′＋(x－2)(x－3)…(x－n)，所以fn′(1)＝(1－2)×…×(1－n)＝(－1)n－1(n－1)！，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 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