第四章　必刷大题9　解三角形

成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期必刷大题9　解三角形1．(2023·郑州模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2ccosC＝acosB－bcos(B＋C)．(1)求角C；(2)若c＝6，△ABC的面积S＝6bsinB，求S.解　(1)因为A＋B＋C＝π，所以cos(B＋C)＝－cosA，所以2ccosC＝acosB＋bcosA，由正弦定理得2sinCcosC＝sinAcosB＋sinBcosA＝sin(A＋B)．因为sin(A＋B)＝sinC，所以2sinCcosC＝sinC.因为C∈(0，π)，所以sinC≠0，所以cosC＝，则C＝.(2)由S＝6bsinB，根据面积公式得6bsinB＝acsinB＝3asinB，所以a＝2b.由余弦定理得cosC＝＝，整理得a2＋b2－ab＝36，即3b2＝36，所以b＝2，a＝4.所以△ABC的面积S＝absinC＝×4×2sin ＝6.2.(2023·唐山模拟)如图，在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝bsin2C＋2c(sinA－sinBcosC)．(1)求sinC的值；(2)在BC的延长线上有一点D，使得∠DAC＝，AD＝10，求AC，CD.解　(1)在锐角△ABC中，a＝bsin2C＋2c(sinA－sinBcosC)，由正弦定理得sinA＝2sinBsinCcosC＋2sinC(sinA－sinBcosC)＝2sinAsinC，而sinA>0，所以sinC＝.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期(2)因为△ABC是锐角三角形，由(1)得cos∠ACB＝＝＝，sin∠ADC＝sin＝(sin∠ACB－cos∠ACB)＝×＝，在△ACD中，由正弦定理得＝＝，即＝＝＝5，解得CD＝，AC＝，所以CD＝，AC＝.3．(2023·德州模拟)在①asinB＝bsin；②(a＋b)(sinA－sinB)＝(b＋c)sinC；③bsin ＝asinB三个条件中任选一个补充在下面横线上，并解决问题．问题：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足________．(1)求角A；(2)若A的角平分线AD长为1，且b＋c＝6，求sinBsinC的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解　(1)选①：由asinB＝bsin得，sinAsinB＝sinBsin.即sinA＝sin，则A＝A－(舍)或A＋A－＝π，所以A＝.选②：由(a＋b)(sinA－sinB)＝(b＋c)sinC得，(a＋b)(a－b)＝(b＋c)c，即b2＋c2－a2＝－bc，由余弦定理得cosA＝＝－，又A∈(0，π)，所以A＝.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期选③：由bsin ＝asinB得，sin ＝sinA，即cos ＝2sin cos ，因为cos ≠0，所以sin＝，又A∈(0，π)，所以A＝.(2)由S△ABD＋S△ADC＝S△ABC得，(b＋c)＝bc，即bc＝b＋c＝6，在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－bc＝36－6＝30，解得a＝，由正弦定理得＝＝＝2R＝2，即R＝，所以sinBsinC＝＝＝.所以sinBsinC的值为.4．已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且满足bcosC＋bsinC－a－c＝0.(1)求B；(2)若b＝2，求锐角△ABC的周长l的取值范围．解　(1)由bcosC＋bsinC－a－c＝0，可得sinBcosC＋sinBsinC－sinA－sinC＝0⇒sinBcosC＋sinBsinC－sin(B＋C)－sinC＝0⇒sinBcosC＋sinBsinC－sinBcosC－cosBsinC－sinC＝0⇒sinBsinC－cosBsinC－sinC＝0⇒sinB－cosB＝1⇒sin＝，因为B∈，所以B＝.(2)因为B＝，b＝2，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期利用正弦定理得＝＝＝＝，所以a＝sinA，c＝sinC，所以l＝a＋b＋c＝2＋(sinA＋sinC)，所以l＝2＋＝2＋4sin，因为△ABC是锐角三角形，所以0<A<，A＋B＝A＋>，所以<A<，<A＋<，所以sin∈，所以2＋2<2＋4sin≤6，所以△ABC的周长l的取值范围为(2＋2，6]．5.(2022·沈阳模拟)如图，某水域的两条直线型岸边l1，l2的夹角为60°，某渔民准备安装一直线型隔离网BC(B，C分别在l1，l2上)，围出养殖区△ABC.(1)若BC＝6km，求养殖区△ABC的面积(单位：km2)的最大值；(2)若△ABC是锐角三角形，且AB＝4km，求养殖区△ABC面积(单位：km2)的取值范围．解　(1)由题意可知∠BAC＝60°，BC＝6.在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC，即AB2＋AC2－AB·AC＝36.因为AB2＋AC2≥2AB·AC，当且仅当AB＝AC＝6时等号成立，所以AB2＋AC2－AB·AC≥AB·AC，即AB·AC≤36.故△ABC的面积S＝AB·ACsin∠BAC≤×36×＝9.即养殖区△ABC面积的最大值为9km2.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期(2)因为AB＝4，∠BAC＝60°，所以△ABC的面积S＝AB·ACsin∠BAC＝AC.在△ABC中，由正弦定理可得＝，则AC＝＝＝＋2.因为△ABC是锐角三角形，所以所以30°<∠ACB<90°，所以tan∠ACB>，所以0<<，则2<＋2<8，即2<AC<8.故S＝AC∈(2，8)，即△ABC面积的取值范围是(2，8)．6．(2023·广州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC.(1)求角A的大小；(2)若a＝1时b＋λc存在最大值，求正数λ的取值范围．解　(1)已知sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC，由正弦定理得a2＝b2＋c2＋bc，所以b2＋c2－a2＝－bc.由余弦定理得cosA＝＝＝－.又A∈(0，π)，所以A＝.(2)由正弦定理＝＝＝，得b＋λc＝(sinB＋λsinC)＝[sin(A＋C)＋λsinC]＝＝sin(C＋φ)，φ∈，其中tanφ＝＝.因为C∈，要使b＋λc存在最大值，即C＋φ＝有解，所以φ∈，从而>，即0<2λ－1<3，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期所以正数λ的取值范围为.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期