第八章　必刷大题17　解析几何

成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期必刷大题17　解析几何1．(2022·南通模拟)已知P为抛物线C：y2＝4x上位于第一象限的点，F为C的焦点，PF与C交于点Q(异于点P)．直线l与C相切于点P，与x轴交于点M.过点P作l的垂线交C于另一点N.(1)证明：线段MP的中点在定直线上；(2)若点P的坐标为(2,2)，试判断M，Q，N三点是否共线．解　(1)设P(x0，y0)，则y＝4x0，因为点P在第一象限，所以y0＝2，对y＝2两边求导得y′＝，所以直线l的斜率为，所以直线l的方程为y－2＝(x－x0)，令y＝0，则x＝－x0，所以M(－x0,0)，所以线段MP的中点为，所以线段MP的中点在定直线x＝0上．(2)若P(2,2)，则M(－2,0)．所以kMP＝，kPF＝2，因为PN⊥l，所以kPN＝－，所以直线PF：y＝2(x－1)，直线PN：y＝－(x－4)．由得2x2－5x＋2＝0，所以x＝或2，所以Q，由得x2－10x＋16＝0，所以x＝2或8，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期所以N(8，－4)．因为M(－2,0)，Q，N(8，－4)，所以kMQ＝－，kMN＝－，所以M，Q，N三点共线．2．(2023·石家庄模拟)已知E(，0)，F，点A满足|AE|＝|AF|，点A的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋m与双曲线：－＝1交于M，N两点，且∠MON＝(O为坐标原点)，求点A到直线l距离的取值范围．解　(1)设A(x，y)，因为|AE|＝|AF|，所以＝×，将等式两边平方后化简得x2＋y2＝1.(2)将直线l：y＝kx＋m与双曲线－＝1联立，得⇒(4k2－9)x2＋8kmx＋4m2＋36＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，所以有即m2＋9>4k2且k≠±，所以x1＋x2＝－，x1x2＝，因为∠MON＝，所以⊥，即·＝0，所以x1x2＋y1y2＝0⇒x1x2＋(kx1＋m)·(kx2＋m)＝0，化简得(k2＋1)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0，把x1＋x2＝－，x1x2＝代入，得(k2＋1)·＋km·＋m2＝0，化简得m2＝，因为m2＋9>4k2且k≠±，所以有＋9>4k2且k≠±，解得k≠±，圆x2＋y2＝1的圆心为(0,0)，半径为1，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期圆心(0,0)到直线l：y＝kx＋m的距离为d＝＝＝>1，所以点A到直线l距离的最大值为＋1，最小值为－1，所以点A到直线l距离的取值范围为.3．(2023·广州模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，点F(1,0)为椭圆的右焦点，过点F且斜率不为0的直线l1交椭圆于M，N两点，当l1与x轴垂直时，|MN|＝3.(1)求椭圆C的标准方程；(2)A1，A2分别为椭圆的左、右顶点，直线A1M，A2N分别与直线l2：x＝1交于P，Q两点，证明：四边形OPA2Q为菱形．(1)解　由题可知c＝1.当l1与x轴垂直时，不妨设M的坐标为，所以解得a＝2，b＝.所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)证明　设l1的方程为x＝my＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立消去x得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，易知Δ>0恒成立，由根与系数的关系得y1＋y2＝，y1y2＝，由直线A1M的斜率为＝，得直线A1M的方程为y＝(x＋2)，当x＝1时，yP＝，由直线A2N的斜率为＝，得直线A2N的方程为y＝(x－2)，当x＝1时，yQ＝，若四边形OPA2Q为菱形，则对角线相互垂直且平分，下面证yP＋yQ＝0，因为yP＋yQ＝＋＝＝，则2my1y2－3(y1＋y2)＝2m·－3·＝＝0，所以|PF|＝|QF|，即PQ与OA2相互垂直且平分，所以四边形OPA2Q为菱形．成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期4．(2022·衡阳模拟)设椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，|AB|＝.(1)求椭圆E的方程；(2)设P，Q为椭圆E上异于点A的两动点，若直线AP，AQ的斜率之积为－.①证明直线PQ恒过定点，并求出该点坐标；②求△APQ面积的最大值．(1)解　∵e＝，|AB|＝，∴a2＝4c2，a2＋b2＝7，又a2＝b2＋c2，∴a2＝4，b2＝3，∴椭圆E的方程为＋＝1.(2)①证明　当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋m，由消去y得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，又A(－2,0)，由题知kAP·kAQ＝·＝－，则(x1＋2)(x2＋2)＋4y1y2＝0，且x1，x2≠－2，则x1·x2＋2(x1＋x2)＋4＋4(kx1＋m)(kx2＋m)＝(1＋4k2)x1x2＋(2＋4km)(x1＋x2)＋4m2＋4＝＋(2＋4km)·＋4m2＋4＝0，则m2－km－2k2＝0，∴(m－2k)(m＋k)＝0，∴m＝2k或m＝－k.当m＝2k时，直线PQ的方程为y＝kx＋2k＝k(x＋2)，此时直线PQ过定点(－2,0)，显然不符合题意；当m＝－k时，直线PQ的方程为y＝kx－k＝k(x－1)．此时直线PQ过定点(1,0)．当直线PQ的斜率不存在时，若直线PQ过定点(1,0)，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期P，Q的坐标分别为，.满足kAP·kAQ＝－.综上，直线PQ过定点(1,0)．②解　不妨设直线PQ过定点(1,0)为F.则△APQ的面积S＝×|AF|×|y1－y2|＝|y1－y2|，设直线PQ的方程为x＝my＋1，联立椭圆的方程＋＝1，消去x得(4＋3m2)y2＋6my－9＝0，则y1＋y2＝－，y1y2＝－，∴S＝|y1－y2|＝＝＝18.令t＝m2＋1(t≥1)，则S＝18＝18，∵t≥1，∴9t＋＋6≥16(当且仅当t＝1即m＝0时取等号)，∴S≤，即△APQ面积的最大值为.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期