2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第1章　必刷小题1　集合、常用逻辑用语、不等式

必刷小题1　集合、常用逻辑用语、不等式一、单项选择题1．(2023·咸阳模拟)已知集合A＝{－1,0,1,2,3}，B＝{x|2x2－5x－3<0}，那么集合A∩B等于(　　)A．{－1,0,1,2}B．{0,1,2,3}C．{0,1,2}D．{－1,0,1,2,3}答案　C解析　因为B＝{x|2x2－5x－3<0}＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}＝，故A∩B＝{0,1,2}．2．设集合A＝{x∈Z|(x－1)(x－5)≤0}，则集合A的子集个数为(　　)A．16B．32C．15D．31答案　B解析　因为集合A＝{x∈Z|(x－1)(x－5)≤0}＝{1,2,3,4,5}，所以集合A的子集个数为25＝32.3．(2022·百师联盟联考)命题“∀x>0，cosx>－x2＋1”的否定是(　　)A．∀x>0，cosx≤－x2＋1B．∀x≤0，cosx>－x2＋1C．∃x>0，cosx≤－x2＋1D．∃x≤0，cosx≤－x2＋1答案　C4．(2023·长沙模拟)已知p：>1；q：x>m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是(　　)A．[0，＋∞)B．[1，＋∞)C．(－∞，0]D．(－∞，1]答案　C解析　由>1，可得x(x－1)<0，解得0<x<1，记A＝{x|0<x<1}，B＝{x|x>m}，若p是q的充分条件，6 则A是B的子集，所以m≤0，所以实数m的取值范围是(－∞，0]．5．关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为，则ab的值为(　　)A．3B．2C．1D．6答案　D解析　因为关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为，则a<0，－1，是方程ax2＋bx＋1＝0的根．由根与系数的关系，得－＝－1＋，＝－1×，解得a＝－3，b＝－2，故ab＝6.6．(2023·衡水质检)已知实数x，y，z满足x>y，z>0，则下列不等式恒成立的是(　　)A.－>0B.－<0C．x2z－y2z>0D．xz>yz答案　D解析　令x＝2，y＝1，z＝1，则－＝－，即－<0，所以A选项错误；令x＝1，y＝－1，z＝1，则－＝2，即－>0，所以B选项错误；令x＝－1，y＝－2，z＝1，则x2z－y2z＝－3<0，所以C选项错误；因为xz－yz＝(x－y)z，由x>y，z>0得xz－yz>0，即xz>yz，所以D选项正确．7．给定集合S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，对于x∈S，如果x＋1∉S，x－1∉S，那么x是S的一个“好元素”，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有(　　)A．5个B．6个C．9个D．12个答案　B解析　若由S的3个元素构成的集合中不含“好元素”，则这3个元素一定是连续的3个整数，故不含“好元素”的集合有{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，共6个．8．当a>0且a≠1时，若∀x∈R，a2x＋a－2x＋t(ax＋a－x)>0成立，则t的取值范围是(　　)A．(1，＋∞)B．(－∞，1)C．(－1，＋∞)D．(－∞，－1)答案　C解析　令m＝ax＋a－x，则当a>0且a≠1时，m＝ax＋a－x≥2＝2，当且仅当x＝0时，等号成立，且m2＝(ax＋a－x)2＝a2x＋a－2x＋2，6 则a2x＋a－2x＝m2－2，原不等式可化为m2＋tm－2>0对任意m∈[2，＋∞)恒成立．所以t>－m恒成立，又y＝－m在[2，＋∞)上单调递减，所以t>－2＝－1.二、多项选择题9．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x<0}，B＝{x|2x>1}，则(　　)A．A∩(∁UB)＝∅B．A∪B＝AC．A⊆BD．B⊆A答案　AC解析　∵A＝{x|x2－2x<0}＝(0,2)，B＝{x|2x>1}＝(0，＋∞)，∴A∩(∁UB)＝∅，A∪B＝B，A⊆B，故AC正确，BD错误．10．以下命题中是真命题的是(　　)A．∃x∈R，使ex<x＋1成立B．∀θ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋θ)都不是偶函数C．“a，b∈R，a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件D．“x∈A”是“x∈A∩B”的必要不充分条件答案　CD解析　设f(x)＝ex－x－1，所以f′(x)＝ex－1，当x＝0时，函数f′(x)＝0，当x<0时，f′(x)<0，当x>0时，f′(x)>0，故在x＝0时函数f(x)取得最小值，f(0)＝0，所以f(x)＝ex－x－1≥f(x)min＝f(0)＝0，即∀x∈R，ex≥x＋1，故A错误；当x＝时f(x)＝sin＝cos2x，故函数f(x)为偶函数，故B错误；当a>b>0时，等价于a2－b2＝(a＋b)(a－b)>0，当0>a>b时，等价于－a2＋b2＝－(a＋b)(a－b)>0，当a>0>b时，等价于a2＋b2>0，6 反之同样成立，故C正确；“x∈A∩B”⇒“x∈A”，“x∈A”⇏“x∈A∩B”，则“x∈A”是“x∈A∩B”的必要不充分条件，故D正确．11．(2022·莆田质检)已知直线l：ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)与圆C：x2＋y2＝1相切，则下列说法正确的是(　　)A．ab≥B．ab≤C.＋≥4D.2≤答案　BCD解析　因为直线l：ax＋by＋1＝0与圆C：x2＋y2＝1相切，所以圆心C(0,0)到直线l的距离等于1，即＝1，即a2＋b2＝1，且a>0，b>0，因为a2＋b2≥2ab且a2＋b2＝1，所以ab≤＝，即A错误，B正确；因为a2＋b2＝1，所以＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，即C正确；因为a2＋b2≥2ab且a2＋b2＝1，所以2＝≤＝(当且仅当a＝b时取等号)，即D正确．12．已知3a＝2,5b＝3，则下列结论正确的是(　　)A．a<bB．a＋<b＋C．a＋b<2abD．a＋ab<b＋ba答案　AD解析　因为3a＝2,5b＝3，则a＝log32，b＝log53.对于A，∵23<32，则2<，从而0＝log31<a＝log32<＝，6 因为33>52，则3>，则＝<b＝log53<log55＝1，即0<a<<b<1，A正确；对于B，－＝(a－b)＋＝，因为0<a<<b<1，则a－b<0,0<ab<1，所以，a＋>b＋，B错误；对于C，因为2ab＝2log32·log53＝2log52＝log54，所以，a＋b－2ab＝log32＋log53－log54＝log32－log5>log3－log5＝0，所以，a＋b>2ab，C错误；对于D，构造函数f(x)＝，其中0<x<e，则f′(x)＝.当0<x<e时，f′(x)>0，则函数f(x)在(0，e)上单调递增，因为0<a<b<1，则f(a)<f(b)，即<，可得ab<ba，所以，a＋ab<b＋ba，D正确．三、填空题13．已知集合A＝{x|－2≤x≤2}，若集合B＝{x|x≤a}满足A⊆B，则实数a的取值范围为________．答案　[2，＋∞)解析　∵A＝{x|－2≤x≤2}≠∅，A⊆B，∴A与B的关系如图，∴a≥2.14．设p：实数x满足(x－3a)(x－a)<0，q：实数x满足≤0.当a<0时，若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是________．答案　[－2，－1)解析　由≤0，得解得－3≤x<－2，即q：B＝{x|－3≤x<－2}，因为a<0，由(x－3a)(x－a)<0，得3a<x<a，即p：A＝{x|3a<x<a}，若p是q的必要条件，则q⇒p，6 所以B⊆A，所以即－2≤a<－1.15．下列命题中，真命题的序号是________．①∃x∈R，sinx＋cosx＝；②若p：<0，则綈p：≥0；③lgx>lgy是>的充要条件；④△ABC中，边a>b是sinA>sinB的充要条件；⑤“a＝2”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件．答案　④解析　对①，∵sinx＋cosx＝sin≤，>，故①为假命题；对②，命题p：<0，解得0<x<1，所以綈p：{x|x≤0或x≥1}，而≥0的解集为{x|x≤0或x>1}，故②为假命题；对③，当x＝1，y＝0时，满足>，但lgx>lgy不成立，故③为假命题；对④，根据正弦定理＝可得，边a>b是sinA>sinB的充要条件，故为真命题；对⑤，满足函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数的a的取值范围为a≤2，故“a＝2”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件，故⑤为假命题．16．一般地，把b－a称为区间(a，b)的“长度”．已知关于x的不等式x2－kx＋2k<0有实数解，且解集区间长度不超过3个单位，则实数k的取值范围为________．答案　[－1,0)∪(8,9]解析　不等式x2－kx＋2k<0有实数解等价于x2－kx＋2k＝0有两个不相等的实数根，则Δ＝(－k)2－8k>0，解得k<0或k>8，设x2－kx＋2k＝0的两根分别为x1，x2，不妨令x1<x2，则x1＋x2＝k，x1x2＝2k，由题意得x2－x1＝＝≤3，解得－1≤k≤9，结合k<0或k>8，所以实数k的取值范围为[－1,0)∪(8,9]．6