2024年高考数学一轮复习讲练测：平面向量与复数 （测试）（解析版）

第五章平面向量与复数（测试）时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知，，若与模相等，则=（    ）.A．3B．4C．5D．6【答案】C【解析】因为，所以，故，而又已知，且，所以，解得.故选：C2．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知向量，若与共线，则（    ）A．4B．3C．2D．1【答案】D【解析】，；故选：D.3．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）在中，，，设，，则（    ）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，可知分别为的中点，所以,故选：B14 4．（2023·陕西商洛·统考三模）已知两个单位向量，的夹角为150°，则（    ）A．7B．3C．D．1【答案】D【解析】，所以．故选:D.5．（2023·全国·校联考三模）将向量绕坐标原点O顺时针旋转得到，则（    ）A．0B．C．2D．【答案】D【解析】根据题意可知．故选：D6．（2023·全国·校联考三模）已知向量，则向量在向量方向上的投影为（    ）A．B．C．5D．【答案】B【解析】由题知，向量，所以.又，所以向量在向量方向上的投影为.故选:B.7．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）已知平面向量，满足，，点D满足，E为的外心，则的值为（    ）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，，∵，解得：，∴两向量夹角，∵，以为坐标原点,,垂直于所在直线为,轴建立平面直角坐标系,如图所示,14 则,设,由,知,解得,∴又E为的外心，∴，∴为等边三角形,∴，∴,∴.故选：B.8．（2023·贵州安顺·统考模拟预测）已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（    ）A．重心B．外心C．内心D．垂心【答案】C【解析】因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，则的方向与的角平分线一致，由，可得，即，所以点P的轨迹为的角平分线所在直线，14 故点P的轨迹一定经过的内心.故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．（2023·全国·模拟预测）有关平面向量的说法，下列错误的是（    ）A．若，，则B．若与共线且模长相等，则C．若且与方向相同，则D．恒成立【答案】ABC【解析】对于A选项，取，因为，，则、不一定共线，A错；对于B选项，若与共线且模长相等，则或，B错；对于C选项，任何两个向量不能比大小，C错；对于D选项，恒成立，D对.故选：ABC.10．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）已知向量，满足且，则下列结论正确的是（    ）A．B．C．D．【答案】AD【解析】因为，所以；因为，所以，所以，故C错误，D正确；因为，所以，A正确；因为，所以，B错误；故选：AD.11．（2023·海南·海口市琼山华侨中学校联考模拟预测）已知向量，，，则下列说法正确的是（    ）A．若，则B．若，则C．若，则D．若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是【答案】AC14 【解析】对于A，因为，，所以，所以，A正确；对于B，因为，所以，所以，又，，所以，所以，B错误；对于C，由可得，，所以，所以，由，，可得，所以，所以，，所以，C正确；对于D，由向量与的夹角为锐角，可得，且向量与不共线，所以，且，所以实数的取值范围是，D错误；故选：AC.12．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）在直角梯形中，为中点，分别为线段的两个三等分点，点为线段上任意一点，若，则的值可能是（    ）  A．1B．C．D．3【答案】AB【解析】  如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，不妨设，则，则设，则14 ∵，∴，∴整理得，因为，所以故选：AB.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）已知向量，，，若，则______．【答案】9【解析】因为，，所以，解得，则，．故答案为：9.14．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）在中，，点是的中点.若存在实数使得，则__________（请用数字作答）.【答案】【解析】因为是的中点，所以因为，所以，所以，所以，即.故答案为：.15．（2023·上海黄浦·上海市大同中学校考三模）在中，，，的平分线交BC于点D，若，则______．【答案】/【解析】在中，，，则，又平分，即有14 ，  因此，即有，，整理得，而，且不共线，于是，所以.故答案为：16．（2023·贵州安顺·统考模拟预测）已知点是以为直径的圆上任意一点，且，则的取值范围是______________．【答案】【解析】依题意，以为轴，的中垂线为轴建立直角坐标系，如图，  则，因为点是以为直径的圆上任意一点，故可设，则，所以，因为，所以，则，故，即的取值范围为.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（10分）（2023·河南许昌·高三校考期末）已知向量，．14 (1)求；(2)已知，且，求向量与向量的夹角．【解析】（1）由题知，，所以，所以.（2）由题知，，，，所以，，所以，所以，所以，所以，因为，向量与向量的夹角为.18．（12分）（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，．(1)若点A，B，C三点共线，求实数x，y满足的关系；(2)若x=1且为钝角，求实数y的取值范围．【解析】（1）因为A，B，C三点共线，即，，，所以，即；（2）因为为钝角，所以且，不共线，由（1）得：当，且时，，因为，不共线，所以，，，，解得：，所以且.14 19．（12分）（2023·陕西西安·高三西北工业大学附属中学校考阶段练习）已知向量：.(1)求与的模长.(2)求与的数量积.(3)求与的夹角的余弦值.(4)借助向量和单位圆求证：【解析】（1）向量，则.（2）向量，则.（3）由（1）（2）知，与的夹角的余弦值.（4）令角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆分别交于点，  则，即，存在，使得或于是，所以.20．（12分）（2023·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．(1)求C的大小；(2)若点D满足，，，求c．【解析】（1）由正弦定理得，所以，14 展开得，即．因为，所以，即．又因为，所以．（2）因为，所以A为CD的中点，又，所以．由题可知，，所以，则，解得，，所以，即．21．（12分）（2023·四川广元·高一广元中学校考期中）已知H是内的一点，．(1)若H是的外心，求∠BAC；(2)若H是的垂心，求∠BAC的余弦值．【解析】（1）设为的中点，为中点，是的外心，所以，点H在边和的垂直平分线上，，，，即①，同理，可得②，联立①②得，而，则，，.14   （2）是的垂心，，即，，化简得，①同理，化简得，②，联立①②得，则，，则.  22．（12分）（2023·山东聊城·高一统考期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．AD为BC边上的中线，点E，F分别为边AB，AC上动点，EF交AD于．已知，且．  (1)求边的长度；14 (2)若，求的余弦值；(3)在（2）的条件下，若，求的取值范围．【解析】（1）由已知，由正弦定理角化边可得，.由余弦定理角化边可得，，整理可得，，即.因为，所以．（2）因为为中点，所以.设，的夹角为，则.又，所以，整理可得，解得或.又，所以，，所以，所以的余弦值为．（3）由（2）可得，.由已知可设，，，所以，，，.因为，所以.由可得，，即.14 由G，E，F三点共线，得，即.所以.因为，所以，即，所以，所以，即，即，所以，所以，所以的取值范围为．14 14