2024年高考数学一轮复习讲练测：重难点突破09 函数零点问题的综合应用 （八大题型）（解析版）

重难点突破09函数零点问题的综合应用目录1、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围.求解步骤：第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴(或直线)在某区间上的交点问题；第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数.2、函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结47 合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．3、求函数的零点个数时，常用的方法有：一、直接根据零点存在定理判断；二、将整理变形成的形式，通过两函数图象的交点确定函数的零点个数；三、结合导数，求函数的单调性，从而判断函数零点个数.4、利用导数研究零点问题：（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图像；（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究.题型一：零点问题之一个零点例1．（2023·江苏南京·南京市第十三中学校考模拟预测）已知函数,.（1）求函数的单调递减区间；（2）设，.①求证：函数存在零点；②设，若函数的一个零点为.问：是否存在，使得当时，函数有且仅有一个零点，且总有恒成立？如果存在，试确定的个数；如果不存在，请说明理由.【解析】（1）由题可知，定义域为.则，令，解得（舍）或，故可得在单调递减.（2），①由题可知.令，则其.⒈当时，，故在上单调递减.47 又因为，故在区间上一定有一个零点；⒉当时，，令，解得，令，故可得，故在区间上单调递增；令，故可得或，故在，单调递减.又，故可得，又因为，故在区间上一定有一个零点.⒊当时，，令，解得，显然存在零点.⒋当时，令，解得，故可得在区间单调递增；在单调递减.又因为，，故在区间上一定存在一个零点.综上所述，对任意的，一定存在零点.②由①可知，当时，在上单调递减.且只在区间上存在一个零点，显然不满足题意.当时，在单调递减，在单调递增，在单调递减.且且在区间上一定有一个零点，不妨设零点为，则，故要存在，使得当时，函数有且仅有一个零点，且总有恒成立，只需，47 即，（ⅰ）整理得，.则上述方程在区间上根的个数，即为满足题意的的个数.不妨令,则，故方程（ⅰ）等价于.不妨令，故可得在区间上恒成立.故在区间上单调递增.又因为，故可得函数在区间上只有一个零点.则方程（ⅰ）存在唯一的一个根.即当时，有且仅有一个，使得当时，函数有且仅有一个零点，且总有恒成立.例2．（2023·广东·高三校联考阶段练习）已知函数，，在上有且仅有一个零点.(1)求的取值范围；(2)证明：若，则在上有且仅有一个零点，且.【解析】（1），设，，①当时，若，则，在上无零点，不符合题意；②当时，若，则，∴在上单调递增，∴，∴在上无零点，不符合题意；③当时，若，则，∴在上单调递增，∵，，∴存在唯一，使得.47 当时，；当时，，故在上单调递减，在上单调递增，∵，，故在上有且仅有一个零点，符合题意；综上，的取值范围为.（2）记，，由（1）知：若，当时，，，当时，，，故在上单调递减，在上单调递增，又，，故存在唯一，使得，且.注意到，可知在上有且仅有一个零点，且，即.例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)证明：当时，有且只有一个零点；(3)若在区间各恰有一个零点，求的取值范围.【解析】（1）由题意，，，故，又，故曲线在点处的切线方程为，即（2）由题意，因为，故当时，，当时，，当时，，故当时，有且只有一个零点（3）由（2）可得，，故设，则47 ①若，则，在上为减函数，故，故在上为减函数，不满足题意；②若，i）当时，，单调递减，且，，故存在使得，故在上单调递增，在上单调递减.又，，且，设，易得，故在单调递增，故，故，故.故在上有一个零点，综上有在区间上有一个零点ii）当时，，设，则，故为减函数，因为，，故存在使得成立，故在单调递增，在单调递减.又，，故存在使得成立，故在上，单调递减，在上，单调递增.又，故，且，，故，故存在使得，综上有在区间上有一个零点.综上所述，当时，在区间各恰有一个零点变式1．（2023·广东茂名·高三统考阶段练习）已知，函数，.(1)证明：函数，都恰有一个零点；(2)设函数的零点为，的零点为，证明.【解析】（1）函数的定义域为，，时，，时，，在上单调递减，在上单调递减增，时，，，，函数恰有一个零点.函数的定义域为，，47 时，，时，，在上单调递减，在上单调递增，时，，，令（表示中最大的数），，函数恰有一个零点；（2）由（1）得函数的零点为，且，的零点为，且，则有，，，，，在上单调递增，由（1）可得，，，，，，，.原式得证.题型二：零点问题之二个零点例4．（2023·海南海口·统考模拟预测）已知函数.(1)求的最小值；(2)设.（ⅰ）证明：存在两个零点，；（ⅱ）证明：的两个零点，满足.【解析】（1），所以当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为．（2）（ⅰ）证明：，，，因为，所以，所以当时，，时，，所以在上单调递减，在上单调递增，则函数有最小值．由，，下面证明，在上，对，只要足够小，必存在，使得：实际上，当时，，令，得，47 所以对，取，必有，即，所以在区间上，存在唯一的，，又，所以在区间上，存在唯一的，，综上，存在两个零点．（ⅱ）要证，需证，由，所以，因为在上单调递减，因此需证：，，，所以，，设，，则，所以在上单调递减，，即，结论得证，所以．例5．（2023·甘肃天水·高三天水市第一中学校考阶段练习）已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，，证明：函数有且仅有两个零点，两个零点互为倒数．【解析】（1）的定义域为且，若，则当时，，故在上单调递增；若，则当，当，故在上单调递增，在上单调递减.（2），所以，，因为在上递增，在递减，所以在上递增，又，故存在唯一使得，所以在上递减，在上递增，又，所以在内存在唯一根，由得，又，故是在上的唯一零点．47 综上，函数有且仅有两个零点，且两个零点互为倒数.例6．（2023·四川遂宁·高三射洪中学校考期中）已知函数．（1）若函数在处取得极值，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）当时，，证明：函数有且仅有两个零点，且两个零点互为倒数．【解析】（1）求导：，由已知有，即，所以，则，所以切点为，切线斜率，故切线方程为：.（2）的定义域为且，若，则当时，，故在上单调递增；若，则当，当，故在上单调递增，在上单调递减.（3），所以，，因为在上递增，在递减，所以在上递增，又，故存在唯一使得，所以在上递减，在上递增，又，所以在内存在唯一根，                                   由得，又，故是在上的唯一零点．综上，函数有且仅有两个零点，且两个零点互为倒数.变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.（1）若.证明函数有且仅有两个零点；（2）若函数存在两个零点，证明：.【解析】（1）由题可知，定义域当时，函数，则，（为的导函数）47 单调递增，使.时，单调递减；时，单调递增所以由双勾函数性质可知，在递减，，，且，在上有且只有一个零点又，且所以在上有且只有一个零点综上，函数有且仅有两个零点  （2）由是函数的两个零点，知要证需证令需证令与（1）同理得所以故变式3．（2023·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知函数在其定义域内有两个不同的零点．（1）求的取值范围；（2）记两个零点为，且，已知，若不等式恒成立，求的取值范围．【解析】（1）依题意，函数在定义域上有两个不同的零点，即方程在）上有47 两个不同的解，也即在上有两个不同的解．令，则．当时，，所以在上单调逆增，当时，，所以在上单调递减，所以．又，时，当时，，且，若函数与函数的图象在上有两个不同的交点，则．（2）因为为方程的两根，所以，．不等式，变形可得，代入可得．因为，，所以原不等式等价于．又由，，作差得，所以．所以原不等式等价于恒成立．令，则，不等式等价于在上恒成立．令，则．①当时，，所以在上单调递，因此，满足条件；②当时，在上单调递增，在上单调递减，又，所以在上不能恒小于零．综上，．47 变式4．（2023·江苏·高三专题练习）已知函数，，．(1)若，求证：（ⅰ）在的单调减区间上也单调递减；（ⅱ）在上恰有两个零点；(2)若，记的两个零点为，求证：．【解析】(1)证明：(1)(ⅰ)因为，由令得的递减区间为当时，，所以在的递减区间上也递减．(ⅱ)因为，由得，令，则.因为，且，所以必有两个异号的零点，记正零点为，则当时，，单调递减；当时，，单调递增，若在上恰有两个零点，则由，得，所以，又对称轴，所以所以.又，所以在上有且仅有一个零点．又47 令，解得.所以取，当时，所以在上有且仅有一个零点．故时，在上恰有两个零点．(2)由（ⅱ）知，对在上恰有两个零点，不妨设，因为，所以因为，所以所以题型三：零点问题之三个零点例7．（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）已知函数有三个零点.(1)求的取值范围；(2)设函数的三个零点由小到大依次是.证明：.【解析】（1）因为定义域为，又，（ⅰ）当单调递减；（ⅱ）当，记，则，当；当，所以在单调递增，在上单调递减，，又，所以，①当，则单调递减，至多一个零点，与题设矛盾；②当，由（ⅱ）知，有两个零点，记两零点为，且，47 则在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，因为，令，则，所以，所以，且趋近0，趋近于正无穷大，趋近正无穷大，趋近负无穷大，所以函数有三零点，综上所述，；（2）等价于，即，令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，由（1）可得，则，所以，所以，则满足，，要证，等价于证，易知，令，则，令得，令得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，下面证明，由，即证，即证，即证，即证，令，，令，则，所以，所以，则，所以，所以，所以，所以，所以原命题得证.47 例8．（2023·广东深圳·校考二模）已知函数.(1)当时，求的单调区间；(2)①当时，试证明函数恰有三个零点；②记①中的三个零点分别为，，，且，试证明.【解析】（1）当时，定义域为，所以，所以在定义域上单调递减，其单调递减区间为，无单调递增区间．（2）①由定义域为，所以，令，因为，，设方程的两根分别为，，且，则，，所以有两个零点，，且，当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以在处取得极小值，在处取得极大值，又，故，则，又因为，，且，故有，由零点存在性定理可知，在恰有一个零点，在也恰有一个零点，易知是的零点，所以恰有三个零点；②由①知，，则，因为，所以，47 所以要证，即证，即证，即证，即证，即证．令，则，当时，，所以在上单调递减，所以，故式成立，所以．例9．（2023·广西柳州·统考三模）已知．（1）若函数有三个不同的零点，求实数a的取值范围；（2）在（1）的前提下，设三个零点分别为且，当时，求实数a的取值范围．【解析】（1）当时，．令．当时，的零点与函数的零点相同．  当时，，所以只有一个零点，不合题意．  因此．又因为函数有三个不同的零点，所以有两个均不等于1的不同零点．令，解得（舍去负值）．所以当时，，是减函数；当时，，是增函数．  因为，所以当，即时，有两个不同零点．又因为时，，所以函数有三个不同的零点，实数a的取值范围是   47 （2）因为，，所以．所以．所以．所以是的两个根．  又因为，所以有一个小于0的根，不妨设为．根据有三个根，可知，          所以，即．因为，所以．所以，即．显然，所以a的取值范围是．变式5．（2023·贵州遵义·遵义市南白中学校考模拟预测）已知函数（，）.（1）若，且在内有且只有一个零点，求的值；（2）若，且有三个不同零点，问是否存在实数使得这三个零点成等差数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.【解析】（1）若，则，.若，则函数在上单调递增,则，故在无零点；若，令，得，.在上，，单调递减，在上，，单调递增.又在内有且只有一个零点，则，得，得,得.（2）因为，则，若有三个不同零点，且成等差数列，可设,47 故，则，故，，.此时，，，故存在三个不同的零点，故符合题意的的值为.变式6．（2023·浙江·校联考二模）设，已知函数有个不同零点.(1)当时，求函数的最小值：(2)求实数的取值范围；(3)设函数的三个零点分别为、、，且，证明：存在唯一的实数，使得、、成等差数列.【解析】（1）当时，，则，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，.（2）因为，则，①当时，恒成立，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，此时函数至多两个零点，不合乎题意；②当时，由可得或，列表如下：增极大值减极小值增由题意可知，有个不同的零点，则，又因为，令，记，47 则，其中，则，当时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减.所以，，即，当且仅当时，等号成立，，故不等式组的解集为.因为，，故当时，函数有个不同的零点，综上所述，实数的取值范围是.（3）因为，，结合（2）中的结论可知，①当时，若存在符合题意的实数，则由于，因此，，，因此，、、成等差数列可得出，考虑，即，这等价于，令，所以，，令，则，当时，，则函数单调递增，所以，，故函数单调递增，因为，，所以，在上存在唯一零点，记为，当时，，即函数在上单调递减，当时，，即函数在上单调递增，47 由于，，，因此，在上无零点，在上存在唯一的零点，所以，存在唯一的实数，使得、、成等差数列;②当时，，不合乎题意.综上所述，存在唯一的实数使得、、成等差数列.变式7．（2023·山东临沂·高三统考期中）已知函数和有相同的最大值.(1)求，并说明函数在（1，e）上有且仅有一个零点；(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.【解析】（1），令可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，∴时，取得最大值.即.，当时，时，，单调递增；时，，单调递减，∴.当时，，不合题意；当时，可知，不合题意.故，即.∴.∵，当时，，，47 ∴，∴在上单调递增，又，，∴在上有且仅有一个零点.（2）由（1）知，，的图象大致如下图：直线与曲线，三个交点的横坐标从左至右依次为，，，且，∴且由即，，，∴即.①由即，∴.②由①，②，，又，即，∴.题型四：零点问题之max，min问题例10．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）已知函数．(1)当时，求函数在上的极值；(2)用表示中的最大值，记函数，讨论函数在上的零点个数．【解析】（1）当时，，由，得或，则和随的变化如下表所示：047 +0-0+0-极大极小极大∴在上有2个极大值：在上有1个极小值．（2）由，知．（ⅰ）当时，，∴，故在上无零点．（ⅱ）当时，．故当时，即时，是的零点；当时，即时，不是的零点．（ⅲ）当时，．故在的零点就是在的零点，．①当时，，故时，在是减函数，结合，可知，在有一个零点，故在上有1个零点．②当时，，故时，在是增函数，结合可知，在无零点，故在上无零点．③当时，，使得时，在是增函数；时，在是减函数；由知，．当，即时，在上无零点，故在上无零点．当，即时，在上有1个零点，故在上有1个零点．综上所述，时，有2个零点；时，有1个零点；时，无零点例11．（2023·四川南充·统考三模）已知函数，．(1)当时，求函数在上的极值；47 (2)用表示，中的最大值，记函数，讨论函数在上的零点个数．【解析】（1）当时，，，由，得或，则和随的变化如下表所示：0000极大极小极大在上有2个极大值：，   在上有1个极小值：.（2）由，知.（i）当时，，，故在上无零点．    （ii）当时，，．故当时，即时，，是的零点；当时，即时，，不是的零点.（iii）当时，．故在的零点就是在的零点，，．①当时，，故时，，在是减函数，结合，可知，在有一个零点，故在上有1个零点.②当时，，故时，，在是增函数，结合可知，在无零点，故在上无零点．③当时，，使得时，，在是增函数；时，，在是减函数；47 由知，．当，即时，在上无零点，故在上无零点．当，即时，在上有1个零点，故在上有1个零点.综上所述，时，有2个零点；时，有1个零点；时，无零点.例12．（2023·四川南充·统考三模）已知函数，其中为自然对数的底数.(1)当时，求函数的极值；(2)用表示，中的最大值，记函数，当时，讨论函数在上的零点个数.【解析】（1）当时，，，由得：或；由得：列表：01+00+极大值极小值∴；；（2）由知：（i）当时，，故在上无零点.（ii）当时，，知：当时，，，是的零点；47 当时，，，不是的零点；（iii）当时，，故在的零点就是在的零点.由得：，设，则，在上单调递增，又∵，，∴当时，即在上无零点；当时，即在上有1个零点；当时，即在上无零点；综上所述：时，有2个零点；或时，有1个零点；时，无零点.变式8．（2023·广东·高三专题练习）已知函数，，.(1)若函数存在极值点，且，其中，求证：；(2)用表示m，n中的最小值，记函数，，若函数有且仅有三个不同的零点，求实数a的取值范围.【解析】（1）由题意，，，当时，恒成立，没有极值.当时，令，即，解之得，，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.47 ∴时，有极大值为，时，有极小值为，当时，要证，即证，代入计算有，，，则有符合题意，即得证；当时，要证，即证，代入计算有，，，则有符合题意，即得证.综上，当为极大值点和极小值点时，均成立.（2）①当时，，∴，故函数在时无零点；②当时，，，若，则，，故是函数的一个零点；若，则，∴，故时函数无零点.③当时，，因此只需要考虑，由题意，，，㈠当时，恒成立，∴在上单调递增，，∴在恒成立，即在内无零点，也即在内无零点；㈡当时，，恒成立，∴在上单调递减，即在内有1个零点，也即在内有1个零点；㈢时，函数在上单调递减，47 ∴，若，即时，在内无零点，也即在内无零点；若，即时，在内有唯一的一个零点，也即在内有唯一的零点；若，即时，由，，∴时，在内有两个零点.综上所述，当时，函数有3个零点.变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．(1)若直线与曲线相切，求a的值；(2)用表示m，n中的最小值，讨论函数的零点个数．【解析】（1）设切点为，∵，∴∴（*）消去a整理，得，∴∴（2）①当时，，，∴在上无零点②当时，，．若，，此时，是的一个零点，若，，此时，不是的零点③当时，，此时的零点即为的零点．令，得，令，则，当时，；当时，，∴在上单调递减，在上单调递增，且当时，47 （i）若，即时，在上无零点，即在上无零点（ii）若，即时，在上有一个零点，即在上有一个零点（iii）若，即时，在上有两个零点，即在上有两个零点（iv）若，即时，在上有一个零点，即在上有一个零点综上所述，当或时，在上有唯一零点；当或时，在上有两个零点；当时，在上有三个零点变式10．（2023·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考期末）已知函数.(1)若过点可作的两条切线，求的值.(2)用表示中的最小值，设函数，讨论零点的个数.【解析】(1)设切点为则切线方程为在直线上，则，令，则，令，解得，所以或要想让切线有两条，只需满足或(2)当时，，单调递减，在取得最大值，，所以只需考虑在的零点个数.（i）若或，则当时，在无零点.当时，在单调递减，而在有一个零点；（ii）若，则在单调递减，在单调递增，故当时，取得最小47 值，最小值为①若，即在无零点.②若，即，则在有唯一零点；③若，即，由于所以当时，在有两个零点；当时，在有一个零点综上，当有0个零点；当或时，有一个零点；当时，有两个零点.题型五：零点问题之同构法例13．已知函数，若函数在区间内存在零点，求实数的取值范围【解析】解：方法一：由可得，设，，，则，令，在单调递减，在单调递增，故（1）．①当时，令，当时，单调递减，当时，单调递增，（1），此时在区间内无零点；②当时，（1），此时在区间内有零点；③当时，令，解得或1或，且，此时在单减，，单增，单减，，单增，当或时，，此时在区间内有两个零点；综合①②③知在区间内有零点．47 方法二：由题意可得，即，因为当时等号成立，所以，即，，令，，易知在单减，在上单增，所以（1），又趋近于0和正无穷时，趋近于正无穷，所以．例14．已知．（1）若函数在上有1个零点，求实数的取值范围．（2）若关于的方程有两个不同的实数解，求的取值范围．【解析】解：（1），，，所以，当时，，所以在，单调递增，又因为，所以在，上无零点；当时，，使得，所以在，单调递减，在单调递增，又因为，，所以若，即时，在，上无零点，若，即时，在，上有一个零点，当时，，在，上单调递减，在，上无零点，综上当时，在，上有一个零点；47 （2）由，即，即，则有，令，，则，，所以函数在上递增，所以，则有，即，，因为关于的方程有两个不同的实数解，则方程，有两个不同的实数解，令，则，当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，所以（1），当时，，当时，，所以．例15．已知函数．（1）若，求函数的极值；（2）若函数有且仅有两个零点，求的取值范围．【解析】（1）当时，，，，显然在单调递增，且，当时，，单调递减；当时，，单调递增．在处取得极小值，无极大值．（2）函数有两个零点，即有两个解，即有两个解，设，则，单调递增，有两个解，即有两个解．令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减．，，当时，47 ．题型六：零点问题之零点差问题例16．已知关于的函数，与，在区间上恒有．（1）若，，，求的表达式；（2）若，，，，求的取值范围；（3）若，，，，，，求证：．【解析】解：（1）由得，又，，所以，所以，函数的图象为过原点，斜率为2的直线，所以，经检验：，符合任意，（2），设，设，在上，，单调递增，在上，，单调递减，所以（1），所以当时，，令所以，得，当时，即时，在上单调递增，所以，，所以，当时，即时，△，即，解得，综上，，．（3）①当时，由，得，47 整理得，令△，则△，记，则，恒成立，所以在，上是减函数，则（1），即，所以不等式有解，设解为，因此．②当时，，设，则，令，得，当时，，是减函数，当，时，，是增函数，，（1），则当时，，则，因此，因为，，，所以，③当时，因为，为偶函数，因此也成立，综上所述，．例17．已知函数．（1）如，求的单调区间；（2）若在，单调增加，在，单调减少，证明：．【解析】解：（Ⅰ）当时，，故当或时，；47 当或时，．从而在，单调增加，在，单调减少；（Ⅱ）．由条件得：（2），即，故，从而．因为，所以．将右边展开，与左边比较系数得，，．故．，又，即．由此可得．于是．例18．已知函数，．（1）当时，求函数的单调区间；（2）当，时，函数有两个极值点，，证明：．【解析】（1）解：当时，，，，令，可得，令，可得，所以的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）证明：函数的定义域为，，令，因为函数有两个极值点，，所以，是函数的两个零点，，，令，可得，令，可得，所以在上单调递减，在，上单调递增，所以，，47 由，可得，因为，所以，所以要证，即证，只需证（2），因为，所以（2），所以，得证．题型七：零点问题之三角函数例19．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）已知函数．(1)若对时，，求正实数a的最大值；(2)证明：；(3)若函数的最小值为m，试判断方程实数根的个数，并说明理由．【解析】（1）由题知，令，所以，又因为时，，a为正实数，故在区间恒成立，所以函数在区间上单调递增，且．①当时，在区间上恒成立，函数在上单调递减，此时，符合题意．②当时，，，由零点存在定理，时，有，即函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以当时，有，此时不符合，综上所述，正实数a的最大值为1．（2）由（1）知，当，时，，令时，有，即，所以，，，，47 累加得，即，所以（3）因为，所以，令，则在区间上恒成立，所以函数在区间上单调递增，又，，由零点存在定理，时，有，即，因此，而函数在上递减，在上递增，所以，又因为，令，则，所以在区间上恒成立，即在区间上单调递减，所以，即．设，则，令，则在区间上恒成立所以函数在区间上单调递增，又，，由零点存在定理，时，，即，因此，又，设，则在区间上恒成立，所以函数在上递增，于是且，47 而函数在上递减，在上递增，∴，即函数有唯一零点，故方程有唯一的实数解．例20．（2023·全国·高三专题练习）设函数.(1)证明：当时，；(2)记，若有且仅有2个零点，求的值.【解析】（1）当时，有，单调递增，又，则可知，使得，所以在单调递减，在单调递增，又，则可知；（2）依题意，函数的定义域是，当时，，即，而，时，，时，，有两个零点，符合题意；①当时，若，有，且，有，又，由（1）可知又，则所以在有1个零点：若，有，若，有，可知在有1个零点，符合题意：若，有在单调递增，，（i）若，则当，有，（ii）若，又，则可知，使得；由（i）、（ii），则可知有在单调递减，所以，又有，所以在至少有1个零点，则可知在至少有2个零点，不符合题意；47 若，有在单调递增，又，则可知，使得，所以在单调递增，则有，又有，所以在至少有1个零点，则可知在至少有2个零点，不符合题意；②当时，由，记，由①可知，有且仅有满足题意，即时，满足题意.综上可知，实数a的值为，0，1.例21．（2023·广东深圳·红岭中学校考模拟预测）已知，且0为的一个极值点．(1)求实数的值；(2)证明：①函数在区间上存在唯一零点；②，其中且．【解析】（1）由，则，因为0为的一个极值点，所以，所以．当时，，当时，因为函数在上单调递减，所以，即在上单调递减；当时，，则，因为函数在上单调递减，且，，47 由零点存在定理，存在，使得，且当时，，即单调递增，又因为，所以，，在上单调递增；.综上所述，在上单调递减，在上单调递增，所以0为的一个极值点，故.（2）①当时，，所以单调递减，所以对，有，此时函数无零点；当时，设，则，因为函数在上单调递减，且，，由零点存在定理，存在，使得，且当时，，即单调递增，当时，，即单调递减．又因为，所以，，在上单调递增；因为，，所以存在，当时，，单调递增，当时，，单调递减．所以，当时，单调递增，；当时，单调递减，，47 此时在上无零点；当时，，所以在单减，又，，由零点存在定理，函数在上存在唯一零点；当时，，此时函数无零点；综上所述，在区间上存在唯一零点．②因为，由（1）中在上的单调性分析，知，所以在单增，所以对，有，即，所以．令，则，所以，设，，则，所以函数在上单调递减，则，即，，所以，47 所以，所以.变式11．（2023·山东济南·济南市历城第二中学校考二模）已知，（n为正整数，）．(1)当时，设函数，，证明：有且仅有1个零点；(2)当时，证明：．【解析】（1）当时，记，则所以在区间上单调递增而，所以存在，使得，即当时，，单调递减当时，，单调递增又，，所以在上没有零点，在上有一个零点，综上所述，函数在内只有一个零点.（2）当时，，要证，即证，令，则，所以在单调递减，，即，要证只需证，令，则，∴在单调递减，在单调递增，∴，即，47 ∴，即，所以成立，∴原命题得证.题型八：零点问题之取点技巧例22．已知函数为自然对数的底数，且．（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围．【解析】解：（1），①时，，则时，，在递减，时，，在递增，②当时，由得，，若，则，故在递增，若，则当或时，，时，，故在，递增，在递减；综上：时，在递减，在递增，时，在，递增，在递减；时，在递增；（2）①时，在递增，不可能有2个零点，②当时，在，递增，递减，故当时，取极大值，极大值为，此时，不可能有2个零点，③当时，，由得，此时，仅有1个零点，④当时，在递减，在递增，故，有2个零点，，解得：，，而（1），47 取，则（b），故在，各有1个零点，综上，的取值范围是，．例23．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围．【解析】解：（1）由，可得，①当时，由，可得；由，可得，即有在递减；在递增；②当时，由得或；若，则，当时，，当时，；，恒成立，即有在上递增；若时，则；由，可得或；由，可得．即有在，，递增；在，递减；若，则，由，可得或；由，可得．即有在，，递增；在，递减．（2）①由（1）可得当时，在递减；在递增，且，，取满足且．则，有两个零点；②当时，，所以只有一个零点；③当时，若时，由（1）知在，递减，在，，递增，47 又当时，，所以不存在两个零点；当时，由（1）知，在单调增，又当时，，故不存在两个零点；综上可得，有两个零点时，的取值范围为．例24．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围．【解析】解：（1）．当时，令，得；令，得．故在上单调递减，在上单调递增．当时，令，得，．①当，即时，，在上单调递增．②当，即时，在上单调递减，在，，上单调递增．③当，即时，在上单调递减，在，，上单调递增．（2）当时，由（1）可知只有一个极小值点，且，．（方法一）取，且，则，，因为，所以，则（b），此时有两个零点．（方法二）当时，，，从而，因此有两个零点．47 当时，，此时有一个零点，不符合题意．当时，若，则恒有．当时，在上单调递增，此时在上不可能有两个零点；当时，若，同理可知在上不可能有两个零点；若，在上先减后增，此时在上也不可能有两个零点．综上，的取值范围是．变式12．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围．【解析】解：（1），①当时，，由，得，由，得，的单增区间为，单减区间为．②当时，令，或，当，即时，，在单增，当，即时，由得，，，，由得，，，单增区间为，，，单减区间为，．当，即时，由得，，，，由得，，，的单增区间为，，，的单减区间为，．（2）．当时，，，可得，不符题意，故；47 当时，由（1）可得只需，即时，满足题意；当时，在上单增，不满足题意；当时，的极大值，不可能有两个零点．当时，的极小值，，，只有才能满足题意，即有解，令，，则，（a）在单增，而，（a），方程无解．综上所述，．47 47