2024年高考数学一轮复习讲练测：重难点突破02 函数的综合应用（解析版）

重难点突破02函数的综合应用目录1、高考中考查函数的内容主要是以综合题的形式出现，通常是函数与数列的综合、函数与不等式的综合、函数与导数的综合及函数的开放性试题和信息题，求解这些问题时，着重掌握函数的性质，把函数的性质与数列、不等式、导数等知识点融会贯通，从而找到解题的突破口，要求掌握二次函数图像、最值和根的分布等基本解法；掌握函数图像的各种变换形式（如对称变换、平移变换、伸缩变换和翻折变换等）；了解反函数的概念与性质；掌握指数、对数式大小比较的常见方法；掌握指数、对数方程和不等式的解法；掌握导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的几何意义，特别是应用导数研究函数的单调性、最值等．2、函数的图象与性质分奇、偶两种情况考虑：比如图（1）函数，图（2）函数（1）当为奇数时，函数的图象是一个“”型，且在“最中间的点”取最小值；（2）当为偶数时，函数的图象是一个平底型，且在“最中间水平线段”取最小值；若为等差数列的项时，奇数的图象关于直线对称，偶数的图象关于直线对称．3、若为上的连续单峰函数，且为极值点，则当变化时， 的最大值的最小值为，当且仅当时取得．题型一：函数与数列的综合例1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列，满足，，设数列的前项和为，则以下结论正确的是（    ）A．B．C．D．【答案】B【解析】，把代入递推可得：，令，，则，在单调递增，，即当时，恒有成立，，，，故选项错误；又，选项错误；，，令，，则，函数在，上递减，，，故选项正确；又由可得，，（当且仅当时取““，可得，，故选项错误，故选．例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，数列的前项和为，且满足，则下列有关数列的叙述正确的是（    ）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，解得或，由零点存在性定理得， 当时，，数列单调递减，，，同理，，迭代下去，可得，数列单调递减，故选项和选项都错误；又，，故错误；对于，，而，，故正确．故选．例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，数列的前项和为，且满足，，则下列有关数列的叙述正确的是（    ）A．B．C．D．【答案】C【解析】对于选项，，故错误；对于选项，由知，，故为非负数列，又，设，则，易知在，单调递减，在上单调递增，所以，又，所以，从而，所以为递减数列，且，故错误；对于选项，因为数列为递减数列，当时，有，，故正确；对于选项，因为，而，故错误．故选． 变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：，且，下列说法正确的是（    ）A．若，则B．若，则C．D．【答案】B【解析】，故，．，故且，于是与同号，即．对选项A：若，则，则，，所以，错误；对选项B：，，则，即，于是，即，数列单调递减，，，，故，即，，故，故，故，正确；对选项C：考虑函数，，，函数单调递增，结合的图像，如图所示：  由图可知当时，数列递减，，所以，即，不正确； 对选项D：设，则，，，即，等价于，化简得，而显然不恒成立，不正确；故选：B．变式2．（2023·陕西渭南·统考二模）已知函数，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于，则下列说法中正确的是（    ）A．B．C．数列是递增数列D．【答案】D【解析】的极值点为在上的变号零点.即为函数与函数图像在交点的横坐标.又注意到时，，时，，，时，.据此可将两函数图像画在同一坐标系中，如下图所示.A选项，注意到时，，，.结合图像可知当，.当，.故A错误；B选项，由图像可知，则，故B错误；C选项，表示两点与间距离，由图像可知， 随着n的增大，两点间距离越来越近，即为递减数列，故C错误；D选项，由A选项分析可知，，又结合图像可知，当时，，即此时，得在上单调递增，则，故D正确.故选：D变式3．（2023·上海杨浦·高三复旦附中校考开学考试）无穷数列满足：，且对任意的正整数n，均有，则下列说法正确的是（    ）A．数列为严格减数列B．存在正整数n，使得C．数列中存在某一项为最大项D．存在正整数n，使得【答案】D【解析】因为，所以，所以，由可得，则，则有，设函数，，当时，，当时，，所以在单调递增，单调递减，所以，因为，所以 以此类推，对任意，故B错误；所以，故A错误；因为，所以数列中不存在某一项为最大项，C错误；因为，所以，，所以存在正整数n，使得，D正确.题型二：函数与不等式的综合例4．（2023·全国·高三专题练习）关于x的不等式，解集为___________.【答案】【解析】由题设，，而在R上递增，当即时，，原不等式不成立；当即时，，原不等式恒成立.综上，解集为.故答案为：例5．（2023·全国·高三专题练习）意大利数学家斐波那契年~年）以兔子繁殖数量为例，引人数列：，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即，故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为．设是不等式的正整数解，则的最小值为__________．【答案】8【解析】由，得，得，得，得，，所以，令，则数列即为斐波那契数列， ，则，显然数列为递增数列且，所以数列亦为递增数列，由，得，，，，，，因为，，所以使得成立的的最小值为8．故答案为：.例6．（2023·辽宁·高三校考阶段练习）已知函数，若不等式对任意的恒成立，则实数的最小值为______________.【答案】【解析】因为，所以图象关于点对称，又，所以在上单调递增，等价于，即恒成立，所以，即恒成立，令，可得，而，当且仅当时取等号，所以，即实数的最小值为.故答案为：.变式4．（2023·全国·模拟预测）已知函数是定义域为R的函数，，对任意， ，均有，已知a，b为关于x的方程的两个解，则关于t的不等式的解集为（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，得且函数关于点对称．由对任意，，均有，可知函数在上单调递增．又因为函数的定义域为R，所以函数在R上单调递增．因为a，b为关于x的方程的两个解，所以，解得，且，即．又，令，则，则由，得，所以．综上，t的取值范围是.故选：D．题型三：函数中的创新题例7．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，．已知在处的阶帕德近似为．注：(1)求实数，的值；(2)求证：；(3)求不等式的解集，其中． 【解析】（1）因为，所以，，，则，，由题意知，，，所以，解得，.（2）由（1）知，即证，令，则且，即证时，记，，则，所以在上单调递增，在上单调递增，当时，即，即成立，当时，即，即成立，综上可得时，所以成立，即成立.（3）由题意知，欲使得不等式成立，则至少有，即或，首先考虑，该不等式等价于，即，又由（2）知成立，所以使得成立的的取值范围是， 再考虑，该不等式等价于，记，，则，所以当时，时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即，，所以，，当时由，可知成立，当时由，可知不成立，所以使得成立的的取值范围是，综上可得不等式的解集为.例8．（2023·上海黄浦·上海市敬业中学校考三模）定义：如果函数和的图像上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数和具有C关系．(1)判断函数和是否具有C关系；(2)若函数和不具有C关系，求实数a的取值范围；(3)若函数和在区间上具有C关系，求实数m的取值范围．【解析】（1）与是具有C关系，理由如下：根据定义，若与具有C关系，则在与的定义域的交集上存在，使得，因为，，，所以，令，即，解得，所以与具有C关系.（2）令， 因为，，所以，令，则，故，因为与不具有C关系，所以在上恒为负或恒为正，又因为开口向下，所以在上恒为负，即在上恒成立，当时，显然成立；当时，在上恒成立，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以，所以，综上：，即.（3）因为和，令，则，因为与在上具有C关系，所以在上存在零点，因为，当且时，因为，所以，所以在上单调递增，则，此时在上不存在零点，不满足题意；当时，显然当时，，当时，因为在上单调递增，且，故在上存在唯一零点，设为，则，所以当；当；又当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，在上存在唯一极小值点，因为，所以，又因为，所以在上存在唯一零点，所以函数与在上具有C关系， 综上：，即.例9．（2023·重庆·高三统考阶段练习）悬索桥（如图）的外观大漂亮，悬索的形状是平面几何中的悬链线.年莱布尼兹和伯努利推导出某链线的方程为，其中为参数.当时，该方程就是双曲余弦函数，类似的我们有双曲正弦函数.(1)从下列三个结论中选择一个进行证明，并求函数的最小值；①；②；③.(2)求证：，.【解析】（1）证明：选①，；选②，；选③，.，令，因为函数、均为上的增函数，故函数也为上的增函数，故，则，所以， 所以，当且仅当时取“”，所以的最小值为.（2）证明：，，当时，，，所以，所以，所以成立；当时，则，且正弦函数在上为增函数，，所以，，所以成立，综上，，.变式5．（2023·广东深圳·高三深圳市南山区华侨城中学校考阶段练习）布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续实函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点"函数，而称为该函数的一个不动点．现新定义：若满足，则称为的次不动点．(1)判断函数是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点；若不是，请说明理由(2)已知函数，若是的次不动点，求实数的值：(3)若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数的取值范围．【解析】（1）依题意，设为的不动点，即，于是得，解得或，所以是“不动点”函数，不动点是2和.（2）因是“次不动点”函数，依题意有，即，显然，解得，所以实数的值是.（3）设分别是函数在上的不动点和次不动点，且唯一， 由得：，即，整理得：，令，显然函数在上单调递增，则，，则，由得：，即，整理得：，令，显然函数在上单调递增，，，则，综上得：，所以实数的取值范围.题型四：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）例10．（2023·浙江绍兴·高三浙江省柯桥中学校考开学考试）已知函数，对于任意的实数a，b，总存在，使得成立，则当m取最大值时，（    ）A．7B．4C．D．【答案】A【解析】由，得，设，则，在上单调递增，在上单调递减，，设，画出函数的图像如图对任意的实数a，b，总存在，使得成立，等价于求最大值中的最小值， 由图像可知当时，取得最大值2，此时，故选：A例11．（2023·湖北·高三校联考阶段练习）设函数，若对任意的实数a，b，总存在使得成立，则实数的最大值为（    ）A．－1B．0C．D．1【答案】C【解析】由已知得设构造函数满足，即，解得，则，令，则函数可以理解为函数与函数在横坐标相等时，纵坐标的竖直距离，∵，且（当且仅当时取等号），∴若设直线的方程为，直线的方程为，由此可知当，直线位于直线和直线中间时，纵坐标的竖直距离取得最大值中的最小值，故，所以实数的最大值为.故选：.例12．（2023·全国·高三专题练习）设函数，若对任意的正实数，总存在，使得，则实数的取值范围为（    ）A．B．C．D．【答案】D【解析】对任意的正实数，总存在，，使得，，．令，，函数在，单调递减，∴（1），（4）．①时，，则．②时，，，则． ③时，，，则．④时，，则．综上①②③④可得：，即．实数的取值范围为，．故选：D．变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若对任意的实数a，b，总存在，使得成立，则实数m的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】B【解析】由存在，使得成立，故，又对任意的实数a，b，，则，可看作横坐标相同时，函数与函数图象上的纵向距离的最大值中的最小值，又，作示意图如图所示：设，则直线的方程，设与相切，则，得，有，得或，由图知，切点，则，当直线与，平行且两直线距离相等时，即恰好处于正中间时，函数与图象上的纵向距离能取到最大值中的最小值，此时，，故.故选：B 变式7．（2023·高一课时练习）已知函数，当时，设的最大值为，则的最小值为（    ）A．B．C．D．1【答案】B【解析】函数，当,时，的最大值为，可得，，，可得,,,，即，即有，则的最小值为，故选：B变式8．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）已知函数，且，满足，当时，设函数的最大值为，则的最小值为（    ）A．B．C．D．【答案】D【解析】设，则，当时，，为减函数，当时，，为增函数，所以，作出的图象如下， 令，即，得，且，显然，在上，当时，，当时，，当时取等号；当时，，所以，此时点到直线的距离都是，当时，三点中中至少有一个点满足，所以，综上所述，，故选：D.变式9．（2023·上海虹口·高三上海市复兴高级中学校考期中）若a、，且对于时，不等式均成立，则实数对_________．【答案】【解析】对于时，不等式均成立，即恒成立.令，，则表示圆心为，半径为的圆在上的圆弧；表示圆心为，半径为的圆在上的圆弧，如下所示： 根据题意，要满足题意，其图象需在圆弧以及圆弧之间，数形结合可知：连接后所形成的直线恰好满足题意，且唯一.其斜率为，故其方程为，故实数对.为严谨，下证直线与圆相切，圆心到直线的距离，其与半径1相等，故圆与直线相切，即证.故答案为：.题型五：倍值函数例13．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在使得在上的值域为，则称函数为“成功函数”．若函数（其中，且）是“成功函数”，则实数的取值范围为（   ）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为、的单调性相同，所以为定义域上的增函数，因为存在使得在上的值域为， 所以，即有两解，即在R上有两个不相等的实数根，令，则在上有两个不同的解，所以，解得，故选：D．例14．（2023·上海金山·高三上海市金山中学校考期末）设函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：（1）在上是单调函数；（2）在上的值域是，则称区间是函数的“和谐区间”，下列结论错误的是A．函数存在“和谐区间”B．函数不存在“和谐区间”C．函数存在“和谐区间”D．函数（，）不存在“和谐区间”【答案】D【解析】函数中存在“和谐区间”,则①在内是单调函数；②或,若,若存在“和谐区间”,则此时函数单调递增,则由,得存在“和谐区间”正确.若,若存在“和谐区间”,则此时函数单调递增,则由,得,即是方程的两个不等的实根,构建函数,所以函数在上单调减,在上单调增,函数在处取得极小值，且为最小值,,无解,故函数不存在“和谐区间”,正确.若函数,,若存在“和谐区间”,则由 ,得,即存在“和谐区间”,正确.若函数,不妨设,则函数定义域内为单调增函数,若存在“和谐区间”,则由,得,即是方程的两个根,即是方程的两个根,由于该方程有两个不等的正根，故存在“和谐区间”,结论错误,故选D.例15．（2023·安徽·高三统考期末）函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有①；②；③；④A．①②③④B．①②④C．①③④D．①③【答案】C【解析】函数存在“倍值区间”，即函数的图像与直线有交点，与直线有交点是（0，0），（2,4）；对于，构造函数；所以没有零点，即与直线没有交点；与直线的交点是（0，0），（1,2）.解方程即，当无解；有两解.故不满足题意.选C.变式10．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为，对给定的正数，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为 的级“理想区间”.下列结论错误的是（    ）A．函数（）存在1级“理想区间”B．函数（）不存在2级“理想区间”C．函数（）存在3级“理想区间”D．函数，不存在4级“理想区间”【答案】D【解析】A中，当时，在上是单调增函数，且在上的值域是，所以存在1级“理想区间”，所以A正确；B中，当时，在上是单调增函数，且在上的值域是，所以不存在2级“理想区间”，所以B正确；C中，由，得，当时，，所以在上为增函数，假设存在Ü，使得，则有，即，由，得或，所以当时，满足条件，即区间为，所以C正确；D中，若存在“4级理想区间”，则是方程的两个根，由和在内有3个交点，如图所示，所以该方程存在两个不等的根，故存在“4级理想区间”，所以D错误，故选：D 变式11．（2023·全国·高三专题练习）设函数的定义域为D，若满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍缩函数”.若函数为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是A．B．C．D．【答案】B【解析】因为函数为“倍缩函数”，且为递增函数所以存在，使在上的值域为则，由此可知等价于有两个不等实数根令则，令解得代入方程得 解得，因为有两个不等的实数根所以t的取值范围为所以选B题型六：函数不动点问题例16．（2023·广西柳州·统考模拟预测）设函数（，为自然对数的底数），若曲线上存在点使成立，则的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，存在，使成立，即存在，使成立，所以，即，所以所以存在，使与有交点，对，，求导得，设，则，令，即；令，即，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以在上单调递增，又，，要使与有交点，则，所以的取值范围是.故选：A.例17．（2023·全国·高三专题练习）设函数，若曲线是自然对数的底数）上存在点使得，则的取值范围是 A．B．C．D．【答案】C【解析】因为,所以在上有解因为,(易证),所以函数在上单调递增,因此由得在上有解，即,因为，选C.例18．（2023·江苏·高二专题练习）若存在一个实数，使得成立，则称为函数的一个不动点.设函数为自然对数的底数，定义在R上的连续函数满足，且当时，若存在，且为函数的一个不动点，则实数的取值范围为（   ）A．B．C．D．【答案】B【解析】依题意知，令，，，为奇函数，，且当时，，当时，，单调递减，在R上单调递减，由，得，即，，即，，为函数的一个不动点，，即，，即关于x的方程在上有解.令，，则，在上单调递减，， 要使关于x的方程在上有解，则，即实数a的取值范围为.故选：B变式12．（2023·全国·高三专题练习）设函数（为自然对数的底数），若曲线上存在点使得，则的取值范围是A．B．C．D．【答案】D【解析】法一：由题意可得，，而由可知，当时，＝为增函数，∴时，．∴不存在使成立，故A，B错；当时，＝，当时，只有时才有意义，而，故C错．故选D．法二：显然，函数是增函数，，由题意可得，，而由可知，于是，问题转化为在上有解．由，得，分离变量，得，因为，，所以，函数在上是增函数，于是有，即，应选D．变式13．（2023·全国·高三专题练习）设函数（），为自然对数的底数，若曲线上存在点，使得，则的取值范围是（     ）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵曲线上存在点∴ 函数（）在上是增函数，根据单调性可证   即在上有解，分离参数，，，根据是增函数可知，只需故选A.题型七：函数的旋转问题例19．（2023·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习）将函数f(x)＝ln(x＋1)(x≥0)的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(θ∈(0，α])，得到曲线C，若对于每一个旋转角θ，曲线C都仍然是一个函数的图象，则α的最大值为（）A．πB．C．D．【答案】D【解析】函数的图像绕坐标原点逆时针方向连续旋转时，当且仅当其任意切线都不经过y轴时，其图像都仍然是一个函数的图像.因为在是减函数且，当且仅当时等号成立，故函数的图像的切线中，在处切线的倾斜角最大，其值为.由此可知－.故选.例20．（2023·上海长宁·高三上海市延安中学校考期中）设是含数的有限实数集，是定义在上的函数，若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f（1）=，，0时，此时得到的圆心角为，，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当x=，此时旋转，此时满足一个x只会对应一个y，故选B． 例21．（2023·全国·高三专题练习）双曲线绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数f（x）的图象，关于此函数f（x）有如下四个命题，其中真命题的个数为（    ）①f（x）是奇函数；②f（x）的图象过点或；③f（x）的值域是；④函数y＝f（x）－x有两个零点．A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】C【解析】双曲线关于坐标原点对称，可得旋转后得到的函数的图象关于原点对称，所以为奇函数，故①正确；双曲线的顶点为，渐近线方程为，可得的图象渐近线为和，图象关于直线对称，所以的图象过点或，由图象的对称性可得，逆时针旋转60度，位于一、三象限，按顺时针旋转60度，位于二、四象限；故②正确；逆时针旋转60度，位于一、三象限，由图象可得顶点为或，不是极值点，则的值域不是 ，顺时针旋转60度，位于二、四象限，由图象的对称性知的值域不是，故③错误；当的图象位于一、三象限时，的图象与直线有2个交点，函数有两个零点，当的图象位于二、四象限时，的图象与直线没有交点，函数没有零点，故④错误，故选；C.变式14．（2023·全国·高三专题练习）将函数的图像绕着原点逆时针旋转角得到曲线，当时都能使成为某个函数的图像，则的最大值是（    ）A．B．C．D．【答案】B【解析】在原点处的切线斜率为，切线方程为当绕着原点逆时针方向旋转时，若旋转角大于，则旋转所成的图像与轴就会有两个交点，则曲线不再是函数的图像.所以的最大值为.故选：B.题型八：函数的伸缩变换问题例22．（2023·河北唐山·高三开滦第二中学校考期末）定义域为的函数满足，当时，.若时，恒成立，则实数的取值范围是（     ）A．B．C．D． 【答案】C【解析】当x∈(2,3),则x−2∈(0,1)，则f(x)=2f(x−2)−1=2(x−2)2−2(x−2)−1，即为f(x)=2x2−10x+11，当x∈[3，4]，则x−2∈[1，2]，则f(x)=2f(x−2)−1=.当x∈(0,1)时,当x=时,f(x)取得最小值,且为−；当x∈[1,2]时,当x=2时,f(x)取得最小值,且为；当x∈(2,3)时,当x=时,f(x)取得最小值,且为−；当x∈[3,4]时,当x=4时,f(x)取得最小值，且为0.综上可得,f(x)在(0,4]的最小值为−.若x∈(0,4]时,恒成立，则有.解得.当x∈(0,2)时,f(x)的最大值为1,当x∈(2,3)时,f(x)∈[−,−1)，当x∈[3,4]时,f(x)∈[0,1]，即有在(0,4]上f(x)的最大值为1.由，即为，解得，综上，即有实数t的取值范围是.故选：C.例23．（2023·全国·高三专题练习）定义域为的函数满足，当时，，若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ）A．B． C．D．【答案】B【解析】因为当时，不等式恒成立，所以，当时，当时，，当时，，因此当时，，选B.例24．（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为R的函数满足，当时，，设在上的最大值为则数列的前n项和的值为（    ）A．B．C．D．【答案】D【解析】时，，最大值为，时，，易知时，递增，时，递减，因此最大值为，综上，，，即，又，即，当时，，∴，∴是等比数列，公比为， ∴．故选：D．变式15．（2023·甘肃·高三西北师大附中阶段练习）定义域为R的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是(　　)A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，的取值范围是；当时，的取值范围是，所以当时，的取值范围是,因为函数满足，所以，又当时,,故的取值范围是，所以时，，故，解得，所以实数的取值范围是，故选：D.题型九：V型函数和平底函数例25．（2023·全国·高三专题练习）已知a1，a2，a3与b1，b2，b3是6个不同的实数，若关于x的方程|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|＝|x﹣b1|+|x﹣b2|+|x﹣b3|解集A是有限集，则集合A中，最多有__个元素．【答案】1【解析】令f(x)＝|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|，g(x)＝|＝|x﹣b1|+|x﹣b2|+|x﹣b3|，将关于x的方程|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|＝|x﹣b1|+|x﹣b2|+|x﹣b3|解的个数的问题转化为两个函数图象交点个数的问题 不妨令a1＜a2＜a3，b1＜b2＜b3，由于f(x)＝|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|＝，g(x)＝|x﹣b1|+|x﹣b2|+|x﹣b3|＝，考查两个函数，可以看到每个函数都是由两条射线与两段折线所组成的，且两条射线的斜率对应相等，两条线段的斜率对应相等．当a1，a2，a3的和与b1，b2，b3的和相等时，此时两个函数射线部分完全重合，这与题设中方程的解集是有限集矛盾不妨令a1，a2，a3的和小于b1，b2，b3的和即a1+a2+a3＜b1+b2+b3，﹣a1﹣a2﹣a3＞﹣b1﹣b2﹣b3，两个函数图象射线部分端点上下位置不同，即若左边f(x)＝|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|的射线端点在上，右边射线端点一定在下，反之亦有可能．不妨认为左边f(x)＝|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|的射线端点在上，右边射线端点一定在下，且射线互相平行，中间线段也对应平行，图象只能如图：故两函数图象只能有一个交点，即方程的解集是有限集时，最多有一个元素，故答案为：1．例26．（浙江省衢州市2022-2023学年高三数学试题）已知等差数列满足：，则的最大值为（    ）A．18B．16C．12D．8 【答案】C【解析】不为常数列，且数列的项数为偶数，设为则，一定存在正整数k使得或不妨设，即，从而得，数列为单调递增数列，，且，，同理即，根据等差数列的性质，所以n的最大值为12，选项C正确，选项ABD错误故选：C.例27．（上海市川沙中学2022-2023学年高三第二学期数学试题）等差数列，满足，则（）A．的最大值为50B．的最小值为50C．的最大值为51D．的最小值为51【答案】A【解析】为等差数列，则使，所以数列中的项一定有正有负，不妨设，因为为定值，故设，且，解得.若且，则，同理若，则.所以 ，所以数列的项数为，所以，由于，所以，解得，故，故选A.变式16．（上海市青浦区2023届高三二模数学试题）等差数列，满足，则（　　）A．的最大值是50B．的最小值是50C．的最大值是51D．的最小值是51【答案】A【解析】时，满足条件，所以满足条件，即最小值为2，舍去B,D.要使得取最大值，则项数n为偶数，设，等差数列的公差为，首项为，不妨设，则，且，由可得，所以,因为，所以，所以，而，所以，故.故选A变式17．（浙江省金丽衢十二校2022-2023学年高三第一次联考数学试题）设等差数列，，…，（，)的公差为，满足，则下列说法正确的是A．B．的值可能为奇数C．存在，满足D．的可能取值为【答案】A【解析】因为所以 令则（）①当时，，不满足（），舍去．②当时，由（）得为平底型，故为偶数．的大致图像为：则所以，故A正确．由当时当时故不存在，满足，C错由于所以，故D错③当时，令由于的图像与的图像关于轴对称，故只需研究故令因为 所以由②知为平底型，故为偶数，故B错令所以，故A正确由②知，不存在，满足，故C错由②知，，故D错综上所述，A正确,BCD错误故选A.