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2024年高考数学一轮复习讲练测:重难点突破01 ω的取值范围与最值问题(六大题型)(解析版)
2024年高考数学一轮复习讲练测:重难点突破01 ω的取值范围与最值问题(六大题型)(解析版)
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重难点突破01的取值范围与最值问题目录1、在区间内没有零点同理,在区间内没有零点31 2、在区间内有个零点同理在区间内有个零点3、在区间内有个零点同理在区间内有个零点4、已知一条对称轴和一个对称中心,由于对称轴和对称中心的水平距离为,则.5、已知单调区间,则.31 题型一:零点问题例1.(2023·全国·高三专题练习)设函数,若对于任意实数,函数在区间上至少有3个零点,至多有4个零点,则的取值范围是( )A.B.C.D.【答案】C【解析】因为为任意实数,故函数的图象可以任意平移,从而研究函数在区间上的零点问题,即研究函数在任意一个长度为的区间上的零点问题,令,得,则它在轴右侧靠近坐标原点处的零点分别为,,,,,,则它们相邻两个零点之间的距离分别为,,,,,故相邻四个零点之间的最大距离为,相邻五个零点之间的距离为,所以要使函数在区间上至少有3个零点,至多有4个零点,则需相邻四个零点之间的最大距离不大于,相邻五个零点之间的距离大于,即,解得.故选:C例2.(2023·全国·高一专题练习)设函数,在区间上至少有2个不同的零点,至多有3个不同的零点,则的取值范围是( )A.B.C.D.【答案】D【解析】函数,在区间上至少有2个不同的零点,至多有3个不同的零点,31 即在区间上至少有2个不同的根,至多有3个不同的根,,如图:①当,则,得无解;②当,则,求得;③当时,则,求得;④当时,区间长度超过了正弦函数的两个最小正周期长度,故方程在区间上至少有4个根,不满足题意;综上,可得或;故选:D.例3.(2023·河北·高二统考学业考试)设函数,若对于任意实数,在区间上至少有2个零点,至多有3个零点,则的取值范围是( )A.B.C.D.【答案】B【解析】令,则令,则则问题转化为在区间上至少有两个,至少有三个t,使得,求的取值范围.31 作出和的图像,观察交点个数,可知使得的最短区间长度为2π,最长长度为,由题意列不等式的:解得:.故选:B变式1.(2023·全国·高三专题练习)已知函数的图象是由()的图象向右平移个单位得到的,若在上仅有一个零点,则的取值范围是( ).A.B.C.D.【答案】C【解析】由题知,函数在上仅有一个零点,所以,所以,令,得,即.若第一个正零点,则(矛盾),因为函数在上仅有一个零点,31 所以,解得.故选:C. 变式2.(2023·全国·高三专题练习)记函数的最小正周期为.若,为的零点,则的最小值为( )A.2B.3C.4D.6【答案】C【解析】因为的最小正周期为,且,所以,因为,所以,所以,因为为的零点,所以,所以,解得,因为,所以的最小值为4,故选:C变式3.(2023·全国·模拟预测)若函数在上有3个零点,则31 的取值范围是( )A.B.C.D.【答案】D【解析】令,则当时,,即,当时,,矛盾,所以,且,又,所以,且,所以.所以,因为,所以函数的正零点从小到大依次为:,,,,因为函数在上有3个零点,所以所以.故选:D.题型二:单调问题例4.(2023·四川成都·石室中学校考模拟预测)已知函数的图象关于点对称,且在上单调,则的取值集合为( )A.B.C.D.【答案】C【解析】关于点对称,所以,所以①;31 ,而在上单调,所以,②;由①②得的取值集合为.故选:C例5.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,是函数的一个零点,是函数的一条对称轴,若在区间上单调,则的最大值是( )A.B.C.D.【答案】A【解析】设函数的最小正周期为,因为是函数的一个零点,是函数的一条对称轴,则,其中,所以,,,因为函数在区间上单调,则,所以,.所以,的可能取值有:、、、、.(i)当时,,,所以,,则,,,所以,,当时,,所以,函数在上不单调,不合乎题意;(ii)当时,,,所以,,则,,,所以,,当时,,所以,31 函数在上单调递减,合乎题意.因此,的最大值为.故选:A.例6.(2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测)若直线是曲线的一条对称轴,且函数在区间[0,]上不单调,则的最小值为( )A.9B.7C.11D.3【答案】C【解析】因直线是曲线的一条对称轴,则,即,由得,则函数在上单调递增,而函数在区间上不单调,则,解得,所以的最小值为11.故选:C变式4.(2023·全国·高三专题练习)已知函数的一个对称中心为,在区间上不单调,则的最小正整数值为( )A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】由函数的一个对称中心为,可得,所以,,,,,由在区间上不单调,所以在区间上有解,31 所以,在区间上有解,所以,所以,,又,所以,所以,当时,,此时的最小正整数为.故选:B变式5.(2023·全国·高三专题练习)已知函数在上单调,且,则的可能取值( )A.只有1个B.只有2个C.只有3个D.有无数个【答案】C【解析】设的最小正周期为T,则由函数在上单调,可得,即.因为,所以.由在上单调,且,得的一个零点为,即为的一个对称中心.因为,所以为的一条对称轴.因为,所以有以下三种情况:①,则;31 ②当时,则,符合题意;③,则,符合题意.因为,不可能满足其他情况.故的可能取值只有3个.故选:C题型三:最值问题例7.(2023·全国·高三专题练习)已知函数在区间上单调递增,且在区间上只取得一次最大值,则的取值范围是( )A.B.C.D.【答案】B【解析】依题意,函数,,因为在区间上单调递增,由,则,于是且,解得且,即,当时,,因为在区间上只取得一次最大值,因此,解得,所以的取值范围是.故选:B例8.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,若,且在上有最大值,没有最小值,则的最大值为______.【答案】17【解析】由,且在上有最大值,没有最小值,可得,所以.由在上有最大值,没有最小值,可得,解得,又,当时,,则的最大值为17,,31 故答案为:17例9.(2023·全国·高三专题练习)已知函数在处取得最大值,且,若函数在上是单调的,则的最大值为______.【答案】/11.25【解析】由题意,函数满足,,可得,,两式相减得,其中,解得,又由,可得,即,解得,故m的最大值为8,此时取得最大值.故答案为:变式6.(2023·全国·高三专题练习)已知函数在(0,2]上有最大值和最小值,且取得最大值和最小值的自变量的值都是唯一的,则的取值范围是___________.【答案】【解析】易知时不满足题意,由Z,得Z,当时,第2个正最值点,解得,第3个正最值点,解得,故;当时,第2个正最值点,解得,31 第3个正最值点,解得,故.综上,的取值范围是.故答案为:变式7.(2023·全国·高三专题练习)已知函数的最大值为2,则使函数在区间上至少取得两次最大值,则取值范围是_______【答案】/【解析】,因为,,故,原式为,当取到最大值时,,当,取得前两次最大值时,分别为0和1,时,,,此时需满足,解得.故答案为:变式8.(2023·全国·高三专题练习)已知函数在上有最大值,无最小值,则的取值范围是________.【答案】【解析】.由题可知,,所以,当时,,因为函数在上有最大值,无最小值,所以存在,使得整理得,().31 因为,所以,解得.故答案为:.题型四:极值问题例10.(2023·全国·高三专题练习)记函数的最小正周期为T.若为的极小值点,则的最小值为__________.【答案】14【解析】因为所以最小正周期,又所以,即;又为的极小值点,所以,解得,因为,所以当时;故答案为:14例11.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,,函数在上有且仅有一个极小值但没有极大值,则的最小值为( )A.B.C.D.【答案】C【解析】∵,∴.又,∴.当时,函数取到最小值,此时,.解得,.所以当时,.故选:C.例12.(2023·山西运城·高三统考期中)已知函数在区间内有且仅有一个极小31 值,且方程在区间内有3个不同的实数根,则的取值范围是( )A.B.C.D.【答案】C【解析】因为,所以,若在区间内有且仅有一个极小值,则.若方程在区间内有3个不同的实数根,则,所以,由,解得.所以的取值范围是.故选:C变式9.(2023·全国·校联考三模)已知函数,.若函数只有一个极大值和一个极小值,则的取值范围为( )A.B.C.D.【答案】C【解析】令,因为,所以则问题转化为在上只有一个极大值和一个极小值,因为函数只有一个极大值和一个极小值,则,即,又,所以,所以则解得故故选:C变式10.(2023·全国·高三专题练习)函数在上有唯一的极大值,则( )A.B.C.D.31 【答案】C【解析】方法一:当时,,因为函数在上有唯一的极大值,所以函数在上有唯一极大值,所以,,解得.故选:C方法二:令,,则,,所以,函数在轴右侧的第一个极大值点为,第二个极大值点为,因为函数在上有唯一的极大值,所以,解得.故选:C变式11.(2023·全国·高三专题练习)已知函数在区间内有且仅有一个极大值,且方程在区间内有4个不同的实数根,则的取值范围是( )A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意,函数,因为,所以,若在区间内有且仅有一个极大值,则,解得;若方程在区间内有4个不同的实数根,31 则,解得.综上可得,实数的取值范围是.故选:C.题型五:对称性例13.(2023·全国·高三专题练习)已知函数在区间[0,]上有且仅有3条对称轴,则的取值范围是( )A.(,]B.(,]C.[,)D.[,)【答案】C【解析】,令,,则,,函数f(x)在区间[0,]上有且仅有3条对称轴,即有3个整数k符合,,得,则,即,∴.故选:C.例14.(2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测)已知函数,若在区间上有且仅有个零点和条对称轴,则的取值范围是( )A.B.C.D.【答案】D【解析】函数,令,由,则,又函数在区间上有且仅有个零点和条对称轴,即在区间上有且仅有个零点和条对称轴,作出的图象如下,31 所以,得.故选:D.例15.(2023·全国·高三专题练习)已知函数在区间上有且仅有4条对称轴,下列四个结论正确的是( )A.在区间上有且仅有3个不同的零点B.的最小正周期可能是C.的取值范围是D.在区间上单调递增【答案】C【解析】函数,令,,得,,函数在区间,上有且仅有4条对称轴,即有4个整数满足,得,可得,1,2,3,则,,即的取值范围是,故C正确;,,由于得,,当时,在区间上有且仅有4个不同的零点,故A错误;周期,由,得,,的最小正周期不可能是,故B错误;,,31 又,,又,在区间上不一定单调递增,故D错误.故选:C变式12.(2023·浙江衢州·高一统考期末)函数在区间上恰有两条对称轴,则的取值范围为( )A.B.C.D.【答案】D【解析】,令,,则,,函数在区间[0,]上有且仅有2条对称轴,即有2个整数k符合,,得,则,即,∴.故选:D.变式13.(2023·内蒙古呼和浩特·高三呼市二中校考阶段练习)已知函数在内有且仅有三条对称轴,则的取值范围是( )A.B.C.D.【答案】B【解析】时,函数,则,函数在内有且仅有三条对称轴,则:满足,解得,即实数的取值范围是.题型六:性质的综合问题31 例16.(2023·全国·高三专题练习)函数(,),已知,且对于任意的都有,若在上单调,则的最大值为( )A.B.C.D.【答案】D【解析】∵ ,,∴,,又对于任意的都有,∴,,∴,又,∴或,当时,,且,当时,,若,则,∴在上不单调,C错误,当时,,且,当时,,若,则,∴在上不单调,A错误,当时,,若,则,31 ∴在上单调,D正确,故选:D.例17.(2023·全国·高一专题练习)设函数,已知在[有且仅有4个零点,下述四个结论:①在有且仅有2个零点;②在有且仅有2个零点;③的取值范围是;④在单调递增,其中正确个数是( )A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】D【解析】由时,得到,根据在[有且仅有4个零点,则在第4个零点和第5个零点之间,然后利用余弦函数的性质求解.当时,,因为在[有且仅有4个零点,所以在第4个零点和第5个零点之间,所以,解得,故③正确;当时,,又,,结合知最多有3个零点,故①错误;当时,,又,,结合有且仅有2个零点,故②正确;当时,,因为,所以,则,所以在单调递增,故④正确;故选:D例18.(多选题)(2023·福建漳州·统考三模)已知函数在上有且仅有条对称轴;则( )31 A.B.可能是的最小正周期C.函数在上单调递增D.函数在上可能有个或个零点【答案】AD【解析】;对于A,当时,,在上有且仅有条对称轴,,解得:,即,A正确;对于B,若是的最小正周期,则,不能是的最小正周期,B错误;对于C,当时,;,,,,当时,不是单调函数,C错误;对于D,当时,,,;当时,在上有个零点;当时,在上有个零点;在上可能有个或个零点,D正确.故选:AD.变式14.(多选题)(2023·广东汕头·统考一模)知函数,则下述结论中正确的是( )31 A.若在有且仅有个零点,则在有且仅有个极小值点B.若在有且仅有个零点,则在上单调递增C.若在有且仅有个零点,则的范围是D.若的图象关于对称,且在单调,则的最大值为【答案】ACD【解析】令,由,可得出,作出函数在区间上的图象,如下图所示:对于A选项,若在有且仅有个零点,则在有且仅有个极小值点,A选项正确;对于C选项,若在有且仅有个零点,则,解得,C选项正确;对于B选项,若,则,所以,函数在区间上不单调,B选项错误;对于D选项,若的图象关于对称,则,.,,,.当时,,当时,,此时,函数在区间上单调递减,合乎题意,D选项正确.故选:ACD.变式15.(多选题)(2023·全国·高三专题练习)已知函数,则下述结论中错误的是()A.若f(x)在[0,2π]有且仅有4个零点,则f(x)在[0,2π]有且仅有2个极小值点31 B.若f(x)在[0,2π]有且仅有4个零点,则f(x)在上单调递增C.若f(x)在[0,2π]有且仅有4个零点,则ω的范围是D.若f(x)图象关于对称,且在单调,则ω的最大值为11【答案】BD【解析】因为,因为在有且仅有个零点,所以,所以.所以选项C正确;此时,在有且仅有个极小值点,故选项A正确;因为,因为,所以当时,所以,此时函数不是单调函数,所以选项B错误;若的图象关于对称,则,.,,,.当时,,当时,,此时,函数在区间上单调递减,故的最大值为9.故选项D错误.故选:BD变式16.(多选题)(2023·全国·高三专题练习)已知函数在上有且仅有三个对称轴,则下列结论正确的是( )A.函数在上单调递增.31 B.不可能是函数的图像的一个对称中心C.的范围是D.的最小正周期可能为【答案】AB【解析】的对称轴方程为:上有且仅有三个对称轴,,.A选项:,所以A正确;B选项:若是f(x)的一个对称中心,则:,,,所以k不存在,B正确;C选项:由上解得,所以C错误;D选项:,所以D错误.故选:AB.变式17.(多选题)(2023·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测)已知函数的最小正周期,,且在处取得最大值.下列结论正确的有( )A.B.的最小值为C.若函数在上存在零点,则的最小值为D.函数在上一定存在零点【答案】ACD【解析】A选项,因在处取得最大值,则图象关于对称,则,故A正确;31 B选项,最小正周期,则,,则或,又在处取得最大值,则,则或,其中,则的最小值为,故B错误;C选项,由A选项分析结合,可知时,可取,令,则,其中.当时,不存在相应的,当时,,则存在满足题意;由A选项分析结合,可知时,可取,令,则,当时,不存在相应的,当时,,则存在满足题意,综上可知的最小值为,故C正确;D选项,由C分析可知,时,可取,此时,,存在零点;时,可取,此时,,存在零点;当时,,注意到,31 则此时函数在上一定存在零点,综上在上一定存在零点,故D正确.故选:ACD变式18.(多选题)(2023·全国·高一专题练习)记函数的最小正周期为T,若,在区间恰有三个零点,则关于下列说法正确的是( )A.在上有且仅有1个最大值点B.在上有且仅有2个最小值点C.在上单调递增D.的取值范围为【答案】AD【解析】由题意函数的最小正周期为T,则,由可得,即,由于,故,由在区间恰有三个零点,而时,,结合函数的图象如图示:则在原点右侧的零点依次为,则,即的取值范围为,D正确;由于时,,,31 结合图象可知,仅在时取得最大值,故在有且仅有1个最大值点,A正确;由A的分析可知,在时取得最小值,由于,故可能取到,也可能取不到,故在可能有1个最小值点,也可能有2个最小值点,B错误;当时,,由于,所以,因为在上单调递减,C错误;故选:变式19.(多选题)(2023·全国·高一专题练习)下列说法正确的是( )A.函数在上单调递增B.函数的最大值是1C.若函数,对任意,都有,并且在区间上不单调,则的最小值是4D.若函数在区间内没有零点,则的取值可以是【答案】BC【解析】对于A,由,得,所以,又,函数在上单调递减,所以函数在上单调递减,故A错误;对于B,,当时,函数取得最大值,最大值为1,故B正确;对于C,由知,函数的对称轴为,31 所以Z),解得Z),由知,当时,,,函数在上单调递增,不符合题意;当时,,,函数在上不单调,故的最小值为4,故C正确;对于D,,当时,,由,得,当时,为函数的零点,故D错误.故选:BC.变式20.(多选题)(2023·江西九江·高一德安县第一中学校考期中)已知函数(其中,),,恒成立,且函数在区间上单调,那么下列说法正确的是( )A.存在,使得是偶函数B.C.是的整数倍D.的最大值是6【答案】BC【解析】对于A,∵,成立,∴,整理得,解得,,假设存在,使得是偶函数,则,即,该式左侧为偶数,不可能等于5,矛盾,故A错误;对于B,因为,函数的图象关于对称,∴,故B正确;对于C,∵,∴是的整数倍,故C正确;31 对于D,∵函数在区间上单调,∴,即,当时,由,整理得,故无解,故D错误.故选:BC.31 31
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