2024年高考数学一轮复习讲练测：重难点突破01 ω的取值范围与最值问题（六大题型）（解析版）

重难点突破01的取值范围与最值问题目录1、在区间内没有零点同理，在区间内没有零点31 2、在区间内有个零点同理在区间内有个零点3、在区间内有个零点同理在区间内有个零点4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为，则．5、已知单调区间，则.31 题型一：零点问题例1．（2023·全国·高三专题练习）设函数，若对于任意实数，函数在区间上至少有3个零点，至多有4个零点，则的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为为任意实数，故函数的图象可以任意平移，从而研究函数在区间上的零点问题，即研究函数在任意一个长度为的区间上的零点问题，令，得，则它在轴右侧靠近坐标原点处的零点分别为，，，，，，则它们相邻两个零点之间的距离分别为，，，，，故相邻四个零点之间的最大距离为，相邻五个零点之间的距离为，所以要使函数在区间上至少有3个零点，至多有4个零点，则需相邻四个零点之间的最大距离不大于，相邻五个零点之间的距离大于，即，解得.故选：C例2．（2023·全国·高一专题练习）设函数，在区间上至少有2个不同的零点，至多有3个不同的零点，则的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数，在区间上至少有2个不同的零点，至多有3个不同的零点，31 即在区间上至少有2个不同的根，至多有3个不同的根，，如图：①当，则，得无解；②当，则，求得；③当时，则，求得；④当时，区间长度超过了正弦函数的两个最小正周期长度，故方程在区间上至少有4个根，不满足题意；综上，可得或；故选：D.例3．（2023·河北·高二统考学业考试）设函数，若对于任意实数，在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（　　）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，则令，则则问题转化为在区间上至少有两个，至少有三个t，使得，求的取值范围.31 作出和的图像，观察交点个数，可知使得的最短区间长度为2π，最长长度为，由题意列不等式的：解得：.故选：B变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象是由（）的图象向右平移个单位得到的，若在上仅有一个零点，则的取值范围是（   ）．A．B．C．D．【答案】C【解析】由题知，函数在上仅有一个零点，所以，所以，令，得，即.若第一个正零点，则（矛盾），因为函数在上仅有一个零点，31 所以，解得.故选：C.    变式2．（2023·全国·高三专题练习）记函数的最小正周期为.若，为的零点，则的最小值为（    ）A．2B．3C．4D．6【答案】C【解析】因为的最小正周期为，且，所以，因为，所以，所以，因为为的零点，所以，所以，解得，因为，所以的最小值为4，故选：C变式3．（2023·全国·模拟预测）若函数在上有3个零点，则31 的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】D【解析】令，则当时，，即，当时，，矛盾，所以，且，又，所以，且，所以．所以，因为，所以函数的正零点从小到大依次为：，，，，因为函数在上有3个零点，所以所以．故选：D．题型二：单调问题例4．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数的图象关于点对称，且在上单调，则的取值集合为（    ）A．B．C．D．【答案】C【解析】关于点对称，所以，所以①；31 ，而在上单调，所以，②；由①②得的取值集合为.故选：C例5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，是函数的一个零点，是函数的一条对称轴，若在区间上单调，则的最大值是（    ）A．B．C．D．【答案】A【解析】设函数的最小正周期为，因为是函数的一个零点，是函数的一条对称轴，则，其中，所以，，，因为函数在区间上单调，则，所以，.所以，的可能取值有：、、、、.（i）当时，，，所以，，则，，，所以，，当时，，所以，函数在上不单调，不合乎题意；（ii）当时，，，所以，，则，，，所以，，当时，，所以，31 函数在上单调递减，合乎题意.因此，的最大值为.故选：A.例6．（2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测）若直线是曲线的一条对称轴，且函数在区间[0，]上不单调，则的最小值为（    ）A．9B．7C．11D．3【答案】C【解析】因直线是曲线的一条对称轴，则，即，由得，则函数在上单调递增，而函数在区间上不单调，则，解得，所以的最小值为11.故选：C变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的一个对称中心为，在区间上不单调，则的最小正整数值为（    ）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】由函数的一个对称中心为，可得，所以，，，，，由在区间上不单调，所以在区间上有解，31 所以，在区间上有解，所以，所以，，又，所以，所以，当时，，此时的最小正整数为.故选：B变式5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上单调，且，则的可能取值（    ）A．只有1个B．只有2个C．只有3个D．有无数个【答案】C【解析】设的最小正周期为T，则由函数在上单调，可得，即．因为，所以.由在上单调，且，得的一个零点为，即为的一个对称中心.因为，所以为的一条对称轴.因为，所以有以下三种情况：①，则；31 ②当时，则，符合题意；③，则，符合题意．因为，不可能满足其他情况.故的可能取值只有3个．故选：C题型三：最值问题例7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值，则的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】B【解析】依题意，函数，，因为在区间上单调递增，由，则，于是且，解得且，即，当时，，因为在区间上只取得一次最大值，因此，解得，所以的取值范围是.故选：B例8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若，且在上有最大值，没有最小值，则的最大值为______．【答案】17【解析】由，且在上有最大值，没有最小值，可得，所以.由在上有最大值，没有最小值，可得，解得，又，当时，，则的最大值为17，,31 故答案为：17例9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在处取得最大值，且，若函数在上是单调的，则的最大值为______．【答案】/11.25【解析】由题意，函数满足，，可得，，两式相减得，其中，解得，又由，可得，即，解得，故m的最大值为8，此时取得最大值．故答案为：变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在（0，2]上有最大值和最小值，且取得最大值和最小值的自变量的值都是唯一的，则的取值范围是___________.【答案】【解析】易知时不满足题意，由Z，得Z，当时，第2个正最值点，解得，第3个正最值点，解得，故；当时，第2个正最值点，解得，31 第3个正最值点，解得，故.综上，的取值范围是.故答案为：变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的最大值为2，则使函数在区间上至少取得两次最大值，则取值范围是_______【答案】/【解析】，因为，，故，原式为，当取到最大值时，，当，取得前两次最大值时，分别为0和1，时，，，此时需满足，解得.故答案为：变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上有最大值，无最小值，则的取值范围是________．【答案】【解析】．由题可知，，所以，当时，，因为函数在上有最大值，无最小值，所以存在，使得整理得，（）.31 因为，所以，解得.故答案为：.题型四：极值问题例10．（2023·全国·高三专题练习）记函数的最小正周期为T．若为的极小值点，则的最小值为__________．【答案】14【解析】因为所以最小正周期，又所以，即；又为的极小值点，所以，解得，因为，所以当时；故答案为：14例11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，函数在上有且仅有一个极小值但没有极大值，则的最小值为（    ）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，∴．又，∴．当时，函数取到最小值，此时，．解得，．所以当时，.故选：C．例12．（2023·山西运城·高三统考期中）已知函数在区间内有且仅有一个极小31 值，且方程在区间内有3个不同的实数根，则的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，若在区间内有且仅有一个极小值，则.若方程在区间内有3个不同的实数根，则，所以，由，解得.所以的取值范围是.故选：C变式9．（2023·全国·校联考三模）已知函数，.若函数只有一个极大值和一个极小值，则的取值范围为（    ）A．B．C．D．【答案】C【解析】令，因为，所以则问题转化为在上只有一个极大值和一个极小值，因为函数只有一个极大值和一个极小值，则，即，又，所以，所以则解得故故选：C变式10．（2023·全国·高三专题练习）函数在上有唯一的极大值，则（    ）A．B．C．D．31 【答案】C【解析】方法一：当时，，因为函数在上有唯一的极大值，所以函数在上有唯一极大值，所以，，解得.故选：C方法二：令，，则，，所以，函数在轴右侧的第一个极大值点为，第二个极大值点为，因为函数在上有唯一的极大值，所以，解得.故选：C变式11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间内有且仅有一个极大值，且方程在区间内有4个不同的实数根，则的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，函数，因为，所以，若在区间内有且仅有一个极大值，则，解得；若方程在区间内有4个不同的实数根，31 则，解得．综上可得，实数的取值范围是．故选：C.题型五：对称性例13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间[0，]上有且仅有3条对称轴，则的取值范围是（    ）A．（，]B．（，]C．[，）D．[，）【答案】C【解析】，令，，则，，函数f（x）在区间[0，]上有且仅有3条对称轴，即有3个整数k符合，，得，则，即，∴.故选：C.例14．（2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测）已知函数，若在区间上有且仅有个零点和条对称轴，则的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数，令，由，则，又函数在区间上有且仅有个零点和条对称轴，即在区间上有且仅有个零点和条对称轴，作出的图象如下，31 所以，得．故选：D．例15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上有且仅有4条对称轴，下列四个结论正确的是（    ）A．在区间上有且仅有3个不同的零点B．的最小正周期可能是C．的取值范围是D．在区间上单调递增【答案】C【解析】函数，令，，得，，函数在区间,上有且仅有4条对称轴，即有4个整数满足，得，可得，1，2，3，则，，即的取值范围是，故C正确；，，由于得，，当时，在区间上有且仅有4个不同的零点，故A错误；周期，由，得，，的最小正周期不可能是，故B错误；，，31 又，，又，在区间上不一定单调递增，故D错误．故选：C变式12．（2023·浙江衢州·高一统考期末）函数在区间上恰有两条对称轴，则的取值范围为（    ）A．B．C．D．【答案】D【解析】，令，，则，，函数在区间[0，]上有且仅有2条对称轴，即有2个整数k符合，，得，则，即，∴.故选：D.变式13．（2023·内蒙古呼和浩特·高三呼市二中校考阶段练习）已知函数在内有且仅有三条对称轴，则的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】B【解析】时，函数，则，函数在内有且仅有三条对称轴，则：满足，解得，即实数的取值范围是.题型六：性质的综合问题31 例16．（2023·全国·高三专题练习）函数（，），已知，且对于任意的都有，若在上单调，则的最大值为（    ）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵  ，，∴，，又对于任意的都有，∴，，∴，又，∴或，当时，，且，当时，，若，则，∴在上不单调，C错误，当时，，且，当时，，若，则，∴在上不单调，A错误，当时，，若，则，31 ∴在上单调，D正确，故选：D.例17．（2023·全国·高一专题练习）设函数，已知在[有且仅有4个零点，下述四个结论：①在有且仅有2个零点；②在有且仅有2个零点；③的取值范围是；④在单调递增，其中正确个数是（    ）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】D【解析】由时，得到，根据在[有且仅有4个零点，则在第4个零点和第5个零点之间，然后利用余弦函数的性质求解.当时，，因为在[有且仅有4个零点，所以在第4个零点和第5个零点之间，所以，解得，故③正确；当时，，又，，结合知最多有3个零点，故①错误；当时，，又，，结合有且仅有2个零点，故②正确；当时，，因为，所以，则，所以在单调递增，故④正确；故选：D例18．（多选题）（2023·福建漳州·统考三模）已知函数在上有且仅有条对称轴；则（    ）31 A．B．可能是的最小正周期C．函数在上单调递增D．函数在上可能有个或个零点【答案】AD【解析】；对于A，当时，，在上有且仅有条对称轴，，解得：，即，A正确；对于B，若是的最小正周期，则，不能是的最小正周期，B错误；对于C，当时，；，，，，当时，不是单调函数，C错误；对于D，当时，，，；当时，在上有个零点；当时，在上有个零点；在上可能有个或个零点，D正确.故选：AD.变式14．（多选题）（2023·广东汕头·统考一模）知函数，则下述结论中正确的是（    ）31 A．若在有且仅有个零点，则在有且仅有个极小值点B．若在有且仅有个零点，则在上单调递增C．若在有且仅有个零点，则的范围是D．若的图象关于对称，且在单调，则的最大值为【答案】ACD【解析】令，由，可得出，作出函数在区间上的图象，如下图所示：对于A选项，若在有且仅有个零点，则在有且仅有个极小值点，A选项正确；对于C选项，若在有且仅有个零点，则，解得，C选项正确；对于B选项，若，则，所以，函数在区间上不单调，B选项错误；对于D选项，若的图象关于对称，则，.，，，.当时，，当时，，此时，函数在区间上单调递减，合乎题意，D选项正确.故选：ACD.变式15．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则下述结论中错误的是（）A．若f（x）在[0，2π]有且仅有4个零点，则f（x）在[0，2π]有且仅有2个极小值点31 B．若f（x）在[0，2π]有且仅有4个零点，则f（x）在上单调递增C．若f（x）在[0，2π]有且仅有4个零点，则ω的范围是D．若f（x）图象关于对称，且在单调，则ω的最大值为11【答案】BD【解析】因为,因为在有且仅有个零点，所以，所以.所以选项C正确；此时，在有且仅有个极小值点，故选项A正确；因为，因为，所以当时，所以，此时函数不是单调函数，所以选项B错误；若的图象关于对称，则，.，，，.当时，，当时，，此时，函数在区间上单调递减，故的最大值为9．故选项D错误.故选：BD变式16．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上有且仅有三个对称轴，则下列结论正确的是（    ）A．函数在上单调递增.31 B．不可能是函数的图像的一个对称中心C．的范围是D．的最小正周期可能为【答案】AB【解析】的对称轴方程为：上有且仅有三个对称轴，，.A选项：，所以A正确；B选项：若是f(x)的一个对称中心，则：，，，所以k不存在，B正确；C选项:由上解得，所以C错误；D选项：，所以D错误.故选：AB.变式17．（多选题）（2023·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测）已知函数的最小正周期，，且在处取得最大值.下列结论正确的有（    ）A．B．的最小值为C．若函数在上存在零点，则的最小值为D．函数在上一定存在零点【答案】ACD【解析】A选项，因在处取得最大值，则图象关于对称，则，故A正确；31 B选项，最小正周期，则，，则或，又在处取得最大值，则，则或，其中，则的最小值为，故B错误；C选项，由A选项分析结合，可知时，可取，令，则，其中.当时，不存在相应的，当时，，则存在满足题意；由A选项分析结合，可知时，可取，令，则，当时，不存在相应的，当时，，则存在满足题意，综上可知的最小值为，故C正确；D选项，由C分析可知，时，可取，此时，，存在零点；时，可取，此时，，存在零点；当时，，注意到，31 则此时函数在上一定存在零点，综上在上一定存在零点，故D正确.故选：ACD变式18．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）记函数的最小正周期为T，若，在区间恰有三个零点，则关于下列说法正确的是（    ）A．在上有且仅有1个最大值点B．在上有且仅有2个最小值点C．在上单调递增D．的取值范围为【答案】AD【解析】由题意函数的最小正周期为T，则，由可得，即，由于，故，由在区间恰有三个零点，而时，，结合函数的图象如图示：则在原点右侧的零点依次为，则，即的取值范围为，D正确；由于时，，，31 结合图象可知，仅在时取得最大值，故在有且仅有1个最大值点，A正确；由A的分析可知，在时取得最小值，由于，故可能取到，也可能取不到，故在可能有1个最小值点，也可能有2个最小值点，B错误；当时，，由于，所以，因为在上单调递减，C错误；故选：变式19．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）下列说法正确的是（    ）A．函数在上单调递增B．函数的最大值是1C．若函数，对任意，都有，并且在区间上不单调，则的最小值是4D．若函数在区间内没有零点，则的取值可以是【答案】BC【解析】对于A，由，得，所以，又，函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，故A错误；对于B，，当时，函数取得最大值，最大值为1，故B正确；对于C，由知，函数的对称轴为，31 所以Z)，解得Z)，由知，当时，，，函数在上单调递增，不符合题意；当时，，，函数在上不单调，故的最小值为4，故C正确；对于D，，当时，，由，得，当时，为函数的零点，故D错误.故选：BC.变式20．（多选题）（2023·江西九江·高一德安县第一中学校考期中）已知函数（其中，），，恒成立，且函数在区间上单调，那么下列说法正确的是（    ）A．存在，使得是偶函数B．C．是的整数倍D．的最大值是6【答案】BC【解析】对于A,∵，成立，∴，整理得，解得，，假设存在，使得是偶函数，则，即，该式左侧为偶数，不可能等于5，矛盾,故A错误；对于B，因为，函数的图象关于对称，∴，故B正确；对于C，∵，∴是的整数倍，故C正确；31 对于D，∵函数在区间上单调，∴，即，当时，由，整理得，故无解，故D错误．故选：BC．31 31