重难点06两种数列最值求法（核心考点讲与练）-2024年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考专用）-(解析版）

重难点06两种数列最值求法（核心考点讲与练）能力拓展题型一：单调性法求数列最值一、单选题1．（2022·安徽淮南·二模（文））已知等差数列的前n项和为，，则数列（       ）A．有最大项，无最小项B．有最小项，无最大项C．既无最大项，又无最小项D．既有最大项，又有最小项【答案】D【分析】根据等差数列的首项,公差列方程,可得和,进而可得,通项,进而根据的单调性,即可得最值.【详解】等差数列的首项为,公差为,由得,故当时,单调递减,故,且当时,单调递减,故,且故有最大值为2,最小值为故选:D2．（2022·北京·二模）已知等差数列与等比数列的首项均为－3，且，，则数列（       ）A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项【答案】A【分析】求出等差数列和等比数列的通项公式，得出，确定数列中奇数项都是负数，偶数 项都是正数，然后设，用作差法得出的单调性，从而可得数列的最值．【详解】，，则，，，，，，，，显然奇数项都是负数，偶数项都是正数，设，则，，即时，，，时，，，即数列，从到递增，从往后递减，由于中奇数项都是负数，偶数项都是正数，所以中，最大，又，，所以是最小项．故选：A．3．（2022·安徽·芜湖一中三模（文））已知等差数列的首项，且，正项等比数列的首项，且，若数列的前n项和为，则数列的最大项的值为（       ）A．B．1C．D．2【答案】C【分析】先求出，的得到，再求出，从而得出，然后分析出数列的单调性，得出答案.【详解】设等差数列的公比为，由，则即，故，则则设正项等比数列的公比为，由，则所以，解得，则 ，设，则当时，，即当时，，即所以最大.故选：C4．（2022·广东·一模）已知正项数列满足，当最大时，的值为（       ）A．2B．3C．4D．5【答案】B【分析】先令，两边取对数，再分析的最值即可求解.【详解】令，两边取对数，有，令，则，当时，；当时，.所以在上单调递增，在上单调递减.所以时，取到最大值，从而有最大值，因此，对于，当时，；当时，.而，因此，当最大时，.故选：B二、多选题5．（2021·广东·高三阶段练习）设数列的前n项和为，若，则下列结论中正确的是（       ）A．B．C． D．满足的n的最大值为2020【答案】ACD【分析】A选项，对化简后得到结果；B选项，对通项公式分离常数后利用裂项相消法求和；C选项，是单调递减数列，故；D选项，在B选项的基础上进行求解即可..【详解】，故A正确；因为，所以，故B错误；因为，所以，所以是单调递减数列，所以，故C正确；因为，所以单调递增，且，，所以满足的n的最大值为2020，故D正确．故选：ACD6．（2022·全国·高三专题练习）等比数列各项均为正数，，，数列的前项积为，则（       ）A．数列单调递增B．数列单调递减C．当时，最大D．当时，最小【答案】BC【分析】由等比数列基本量求得等比数列的公比，由可得数列的增减性，然后由判断数列的单调性，从而得到的最值.【详解】设等比数列的公比为，，，等比数列各项均为正数，，，，，，数列单调递减；，，，当时，；当时，； 数列中，从到递增，从开始递减，时，数列中最大.故选：BC7．（2021·河北·高三阶段练习）已知，分别是等差数列的公差及前项和，，设，数列的前项和为，则下列结论中正确的是（       ）A．满足的最小值为B．C．D．时，取得最小值【答案】AC【分析】由已知可得，，，公差，利用等差数列前项和公式以及等差数列的性质可判断A；由可判断B；作差结合可判断C；由的单调性以及的符号即可求出的最小值可判断D，进而可得正确选项.【详解】由题意知：，，，选项A中：，，所以满足的最小值为，故选项A正确；选项B中：，即，故选项B错误；选项C中：由，可知公差，则所以，故选项C正确；选项D中：当时，，当时，，所以当时，，；，，当时，，所以，；当时，，，所以，所以当时，取得最小值，故选项D不正确，故选：AC.8．（2022·江苏·高三专题练习）在（）中，内角的对边分别为， 的面积为，若，，，且，，则（       ）A．一定是直角三角形B．为递增数列C．有最大值D．有最小值【答案】ABD【解析】先结合已知条件得到，进而得到，得A正确，再利用面积公式得到递推关系，通过作差法判定数列单调性和最值即可.【详解】由，得，，故，又，，，故一定是直角三角形，A正确；的面积为，而，故，故，又（当且仅当时等号成立），又由，知不是恒成立，即，故，故为递增数列，有最小值，无最大值，故BD正确，C错误.故选：ABD.【点睛】本题解题关键是利用递推关系得到，进而得到，再逐步突破.数列单调性常用作差法判定，也可以借助于函数单调性判断.9．（2021·江苏·盐城中学一模）对于数列，若存在数列满足（），则称数列是的“倒差数列”，下列关于“倒差数列”描述正确的是（       ）A．若数列是单增数列，但其“倒差数列”不一定是单增数列；B．若，则其“倒差数列”有最大值； C．若，则其“倒差数列”有最小值；D．若，则其“倒差数列”有最大值.【答案】ACD【分析】根据新定义进行判断．【详解】A．若数列是单增数列，则，虽然有，但当时，，因此不一定是单增数列，A正确；B．，则，易知是递增数列，无最大值，B错；C．，则，易知是递增数列，有最小值，最小值为，C正确；D．若，则，首先函数在上是增函数，当为偶数时，，∴，当为奇数时，，显然是递减的，因此也是递减的，即，∴的奇数项中有最大值为，∴是数列中的最大值．D正确．故选：ACD．【点睛】本题考查数列新定义，解题关键正确理解新定义，把问题转化为利用数列的单调性求最值．三、填空题10．（2022·上海徐汇·二模）已知定义在上的函数满足，当时，．设在区间上的最小值为．若存在，使得有解，则实数的取值范围是______________．【答案】【分析】根据题意，利用换元法，分别求出当，，时，的解析式，进而 求出，然后，得到存在，使得有解，则有有解，进而必有，进而求出,即可求解.【详解】当时，，因为定义在上的函数满足，，令，则，所以，当时，有，所以，当时，，，令，则，，有，所以，当时，，同理可得，时，，根据规律，明显可见当，，且此时的必为增函数，又因为为在区间上的最小值，所以，，所以，若存在，使得有解，则有有解，进而必有，根据该函数的特性，明显可见，当时，有，所以，此时有故答案为：11．（2022·浙江台州·二模）已知等差数列的各项均为正数，且数列的前项和为，则数列的最大项为___________.（用数字作答）【答案】1【分析】由等差数列各项均为正数可判定该数列为递增数列，结合等差数列的通项公式和前和公式，可判定数列为递减数列，进而可得到该数列的最大项.【详解】由题，等差数列的各项均为正数，所以，，且，所以数列是递增数列，又， 所以，即是递减数列，所以当时，得到数列的最大项为，故答案为：112．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{an}对任意m，n∈N*都满足am+n=am+an，且a1=1，若命题“∀n∈N*，λan≤+12”为真，则实数λ的最大值为____.【答案】7【分析】先求出的通项公式，然后参变分离转化为求最值【详解】令m=1，则an+1=an+a1，an+1－an=a1=1，所以数列{an}为等差数列，首项为1，公差为1，所以an=n，所以λan≤+12⇒λn≤n2+12⇒λ≤n+，又函数在上单调递减，在上单调递增，当或时，所以故答案为：713．（2022·天津市新华中学高三期末）在数列中，，则数列中的最大项的________.【答案】6或【分析】利用作商法判断数列的单调性即可求出其最大项.【详解】，令，解得，即时，，当时，， 所以或最大，所以或.故答案为：6或7.14．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝，an＋2an＋1＝0，则Sn－的最大值与最小值的积为________.【答案】－【分析】先计算出公比，求出Sn，分奇偶性讨论得出Sn－的最大值与最小值，即可求解.【详解】因为an＋2an＋1＝0，所以，所以等比数列{an}的公比为，因为a1＝，所以Sn＝.①当n为奇数时，Sn＝，Sn随着n的增大而减小，则1＜Sn≤S1＝，又Sn－随着Sn的增大而增大，故0＜Sn－≤；②当n为偶数时，Sn＝，Sn随着n的增大而增大，则＝S2≤Sn＜1，又Sn－随着Sn的增大而增大，故≤Sn－＜0.综上，Sn－的最大值与最小值分别为，.故Sn－的最大值与最小值的积为.故答案为：－.15．（2022·河南·模拟预测（文））已知数列满足，则的最大值为________． 【答案】【分析】令，分为奇偶性，分别求出，通过判断的单调性可求出其最大值【详解】令，当为奇数时，，因为，所以，所以当为奇数时，数列为递减数列，所以当为奇数时，最大，，当为偶数时，，当增大时，在减小，所以为偶数时，最大，，因为，所以数列的最大值为，故答案为：16．（2022·全国·模拟预测）已知数列的前n项和为，等差数列的首项为1，公差为1，则的最大值为__________.【答案】【分析】由题意求出，再求出，令，求出的单调性即可求出的最大值.【详解】由题意知，则，则，，令，则 .由，易得当时，，所以；当时，，所以…，故的最大值为，即当时，取得最大值，为.故答案为:.四、解答题17．（2022·湖北·模拟预测）已知数列的前n项之积为，且．(1)求数列和的通项公式；(2)求的最大值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用即项与和的关系方法求得，再利用求得；（2）再由定义求得，并利用作差法得出是递减的，从而易得最大值．(1)∵①，∴②，由①②可得，由①也满足上式，∴③，∴④，由③④可得，即，∴，∴．(2)由（1）可知，则，记， ∴，∴，∴，即单调递减，∴的最大值为．18．（2022·天津市宁河区芦台第一中学模拟预测）设数列的前项和为,且满足.(1)求数列的通项公式;(2)记，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立,求的取值范围.【答案】(1)(2).【分析】（1）利用与的关系即可求解；（2）根据裂项相消法和错位相减法求出数列的前项和为，再将不等式的恒成立问题转化为求最值问题即可求解.(1)由题意,当时，,当时，，所以，即，数列是首项为，公比为的等比数列，故数列的通项公式为.(2)， 由(1)，得当为偶数时，，当为奇数时，，设数列的前项中奇数项的和为，所以，设数列的前项中偶数项的和为，，由两，得，整理得故，，.不等式对一切恒成立,即不等式对一切恒成立,在上是单调增所以，易知在上为递增数列，当为偶数时，，当为奇数时,，解得， 所以的取值范围为.19．（2022·天津·高三专题练习）设数列的前项和．(1)求数列的通项公式；(2)若求的前项和取最小值时的值；(3)证明：【答案】(1)(2)或(3)证明见解析【分析】（1）利用递推关系，当时，，两式相减得，再用构造法得：，即可求出的通项公式；（2）先求出的通项公式，由二次函数求最值即可求出答案.（3）对进行放缩得：，再求的前项和即可证明此题.因为，①时，，时，②①-②得，所以，，所以数列是为首项，为公比的等比数列，故(2)，所以，于是当时，；；当时，.所以当或时，取最小值.(3) ．故20．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知数列的首项，.(1)证明：数列是等比数列；(2)求数列的前项和的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由已知等式变形得出，结合等比数列的定义可证得结论成立；（2）分析数列的单调性，确定的符号，由此可求得的最小值.(1)解：因为，则，且，所以，数列是以为首项，为公比的等比数列.(2)解：由（1）知，，则.所以，，所以，，故数列为递增数列，，，，，，，故当时，；当时，.所以，的最小值为.21．（2022·辽宁实验中学模拟预测）已知数列的前n项和为，满足：(1)求证：数列为等差数列；(2)若，令，数列的前n项和为，若不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）利用关系可得，即有，将两式相减并整理有，即可证结论.（2）由（1）结论及题设可得，令、，应用作差法比较它们的大小，即可确定的单调性并求其最大值，结合恒成立求m的取值范围． (1)由题设，，则，所以，整理得，则，所以，即，，所以，故数列为等差数列，得证.(2)由，可得，又，结合（1）结论知：公差，所以，故，则，所以，且，所以，即，所以，在且上递减，则，要使对任意恒成立，即，所以.题型二：不等法求数列最值一、单选题1．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知曲线在点处的切线为l，数列的首项为1，点为切线l上一点，则数列中的最小项为（       ）A．B．C．D．【答案】C【分析】首先求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程，则，从而求出的通项公式，再构造不等式组求出数列中的最小项；【详解】因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率.所以切线l的方程为. 所以.所以数列是首项为1，公比为3的等比数列.所以.所以由，解得.因为，所以.所以数列中的最小项为.故选：C.2．（2021·辽宁·建平县实验中学高三阶段练习）已知数列满足，，若，且存在，使得成立，则实数的取值范围是（       ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据题意，令，进而证明数列是以为首项，为公差的等差数列，故可得，，在结合题意将问题转化为，再求数列的最大值代入解一元二次不等式即可得答案.【详解】，．令，，又，∴数列是以为首项，为公差的等差数列， ，即，，∵存在，使得成立，．令得则，，或．，，即，解得，∴实数的取值范围是．故选：D．3．（2021·浙江·高三期中）已知数列满足，，则（       ）A．B．C．D．【答案】B【分析】由题意化简可得，根据，利用累加法可得；根据，利用累加法计算化简可得，进而得出，令计算即可.【详解】解：显然，对任意，．，化简可得，所以，则，累加可得，所以．又，所以，则 ，注意到，所以，则，所以．综上．当时，，即.故选：B4．（2020·江西·鹰潭一中高三期中（文））数列通项公式为：，则中的最大项为（       ）A．第1项B．第1010项C．第1011项D．第1012项【答案】B【分析】数列的通项公式为，所以．由得，从而求得结果.【详解】解：依题意，数列的通项公式为，所以．由，即且，，解得，故最大项为第1010项，故选：B．二、多选题5．（2022·全国·高三专题练习）在数列{an}中，an＝(n＋1)n，则数列{an}中的最大项可以是（       ）A．第6项B．第7项C．第8项D．第9项【答案】AB 【分析】假设an最大，则有解不等式组，可求出的范围，从而可得答案【详解】假设an最大，则有即且，所以，即6≤n≤7，所以最大项为第6项和第7项．故选：AB6．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，下列命题正确的有（       ）A．当时，数列为递减数列B．当时，数列一定有最大项C．当时，数列为递减数列D．当为正整数时，数列必有两项相等的最大项【答案】BCD【分析】分别代入和计算判断AB选项；再利用放缩法计算判断C选项；按k的范围分类，可判断D；【详解】当时，，知A错误；当时，，当，，，，所以可判断一定有最大项，B正确；当时，，所以数列为递减数列，C正确；当为正整数时，，当时，，当时，令，解得，则，当时，，结合B，数列必有两项相等的最大项，故D正确；故选：BCD. 7．（2020·河北·沧州市民族中学高三阶段练习）已知数列的前项和为，且，，著不等式对任意的恒成立，则下列结论正确的为（       ）A．B．C．的最大值为D．的最小值为【答案】ABC【分析】先用两式相减的方法消去，求出，判断A选项；再代入已知求出，判断B选项；然后将恒成立问题转化为最值问题，最后利用数列的单调性，求出最值即可判断C，D选项.【详解】依题意得当时，，由于，解得；当时，，因此有：；整理得：，所以数列是以为首项，公差的等差数列，因此，故A正确；，故B正确；由得：，令，则取2时，取最小值，所以①当为偶数时，，，②当为奇数时，，，，故C正确，D错误.所以A、B、C正确；D错误.故选：ABC【点睛】知识点点睛：（1）已知求，利用前项和与通项公式的关系，此时一定要注意分类讨论. （2）数列与不等式的恒成立问题常用构造函数的方式，通过函数的单调性、最值解决问题，注意只能取正整数.三、填空题8．（2022·安徽亳州·高三期末（理））已知数列满足，，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是___________.【答案】【分析】分析可知数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得，由参变量分离法可得出，利用数列的单调性求得数列的最大项的值，可得出关于实数的不等式，进而可求得实数的取值范围.【详解】当时，在等式两边同时除以可得且，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，，因为对任意恒成立，即，令，则.当时，，即；当时，，即.故数列中的最大项为，，解得.故答案为：.9．（2021·湖北·高三阶段练习）已知数列的首项，其前项和为，且满足，则当取得最小值时，___________.【答案】5【分析】首先根据得到，令得到，从而得到，再求当取得最小值时的值即可.【详解】由题意， 可得，.令，则，即是常数列，所以，故.当时，；当时，.故当时，取得最小值.故答案为：5四、解答题10．（2022·全国·模拟预测（理））已知数列满足，且．(1)求数列的通项公式；(2)设，且数列的前n项和为，若恒成立，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）当时，有，两式作商求得，进而求得数列的通项公式；（2）由（1）得到，结合乘公比错位相减法求得，进而求得，再根据的单调性，即可求解.(1)解：数列满足，且，当时，有，两式作商，可得，又由，得. (2)解：当时，，当时，，所以对任意的，均有，则，可得②，两式相减可得，求得，由，可得，令，则，因为，所以，即随着增大，减小，所以．11．（2022·全国·高三专题练习）数列满足，(1)求的值；(2)求数列前项和；(3)令，，证明：数列的前项和满足．【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析.【分析】(1)根据已知条件，分别取n＝1，2，3即可依次算出；(2)用作差法求出的通项公式，再求其前n项和；(3)求，猜想，用数学归纳法证明；用导数证明，令，得，用这个不等式对放缩即可得证. (1)依题，；(2)依题当时，，，又也适合此式，，数列是首项为1，公比为的等比数列，故；(3)，，，，，猜想：   ①下面用数学归纳法证明：(i)当n＝1，2时，已证明①成立；(ii)假设当时，①成立，即.从而.故①成立.先证不等式   ②令，则.，即②成立. 在②中令，得到   ③当时，；当时，由①及③得：.证明完毕.【点睛】本题是数列的综合性大题，关键是猜想，并用数学归纳法证明；根据结论构造不等式，令，得，然后用这个不等式对放缩.12．（2022·全国·高三专题练习（文））已知数列是递增的等比数列，且，．(1)求数列的通项公式；(2)记数列的前项和为，求使成立的正整数的最小值．【答案】(1)；(2)5.【分析】（1）由已知条件求得，，利用等比数列通项公式列方程组求基本量，写出等比数列通项公式即可.（2）由（1）得，根据等差数列前n项和公式求，由求的范围，即可确定正整数的最小值．(1)设等比数列的公比为，首项为，又，，且是递增的等比数列，∴，，则，解得，∴；(2)设，由（1）知：， ∴，由，得：，解得或，∴使成立的正整数的最小值为5．13．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的各项均为正数，前项和为，.（1）求，，的的值；（2）求数列的通项公式；（3）若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1），，；（2）；（3）.【分析】（1）在已知等式中，令n=1求得a1,令n=2求得a2,令n=3,求得a3;（2）根据一般数列和与项的关系，利用作差法消去和，得到项的递推关系，分解因式化简得到数列是公差为2的等差数列，进而求得通项公式；（3）令，利用作差法研究其单调性，求得最大值，进而根据不等式恒成立的意义得到实数的取值范围.【详解】解：（1）令得，故令得，又，故，令，得，又，故；（2），当时相减整理得，∴，∴，，∴数列是公差为2的等差数列，故； （3）由恒成立，令，，n=1时为正，n≥2时为负.的最大值为，故实数的取值范围是.14．（2021·江西·赣州市赣县第三中学高二开学考试（理））已知数列的前项和，，在等差数列中，，.（1）求的通项公式；（2）求数列的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）本题首先可通过得出，然后根据得出，最后根据等比数列定义即可得出结果；（2）本题可设等差数列的公差为，根据得出，然后根据得出、，再然后得出，最后将其分为、、三种情况进行讨论，即可得出结果.【详解】（1）当时，，，，即，，当时，，解得，则数列是首项为、公比为的等比数列，.（2）设等差数列的公差为，则即，， 因为，所以，，，则，当时，，；当时，，；当时，，，故当或时，最大，.15．（2022·全国·高三专题练习（文））已知数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由题意可得当时与已知条件两式相减，即可得，再检验是否满足即可.（2）由等差数列前项和公式求出，由不等式分离出，转化为最值问题，再利用基本不等式求最值即可求解.【详解】（1）因为，所以两式相减可得：所以，当时，满足，所以，（2），由可得：，所以， 令，只需.，当且仅当即时等号成立，此时，所以，所以实数的取值范围为.16．（2021·河南洛阳·三模（理））已知数列的前项和为，且对任意的，都满足，．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的最小项的值．【答案】（1），；（2）.【分析】（1）由递推公式，结合等比数列的定义进行求解即可；（2）利用商比法判断数列的单调性进行求解即可.【详解】解：（1）∵，∴当时，．两式相减，得：．又，∴是以2为公比，2为首项的等比数列，∴，（2）∵，易于知，，∴，当时，， 当时，，又，，，∴当时，有最小值．