考点01 集合（核心考点讲与练）2024年高考一轮复习核心考点讲与练（新高考专用）-(解析版）

考点01集合（核心考点讲与练）1、集合的概念：（1）集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；（2）集合的分类：①按元素个数分：有限集，无限集；②按元素特征分；数集，点集。如数集{y|y=x2}，表示非负实数集，点集{(x，y)|y=x2}表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线；（3）集合的表示法：①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N+={0，1，2，3，…}；②描述法。2、两类关系：（1）元素与集合的关系，用或表示；（2）集合与集合的关系，用，，=表示，当AB时，称A是B的子集；当AB时，称A是B的真子集。3、集合运算（1）交，并，补，定义：A∩B={x|x∈A且x∈B}，A∪B={x|x∈A，或x∈B}，CUA=｛x|x∈U，且xA｝，集合U表示全集；（2）运算律，如A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），CU（A∩B）=（CUA）∪（CUB），CU（A∪B）=（CUA）∩（CUB）等。集合基本运算的方法技巧：（1）当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算；（2）当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验.集合常与不等式，基本函数结合，常见逻辑用语常与立体几何，三角函数，数列，线性规划等结合.venn图法解决集合运算问题一、单选题 1．（2022·海南·嘉积中学模拟预测）已知全集，集合，集合，则图中的阴影部分表示的集合为（       ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据给定条件，利用韦恩图表达的集合运算直接计算作答.【详解】依题意，图中的阴影部分表示的集合是，而全集，，，所以.故选：D2．（2022·山东潍坊·模拟预测）如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合中，所包含元素的个数为（            ）A．B．C．D．【答案】B【分析】求出集合，分析可知阴影部分所表示的集合为，利用交集的定义可求得结果.【详解】因为或，则，由题意可知，阴影部分所表示的集合为.故选：B.3．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知全集，集合，，则（       ）A．B． C．D．【答案】A【分析】根据集合的补集与交集的运算求解即可.【详解】解：因为全集，集合，，所以，所以.故选：A二、填空题4．（2020·江苏南通·三模）已知集合A＝{0，2}，B＝{﹣1，0}，则集合AB＝_______.【答案】{﹣1，0，2}【解析】直接根据并集运算的定义求解即可．【详解】解：∵A＝{0，2}，B＝{﹣1，0}，∴AB＝{﹣1，0，2}，故答案为：{﹣1，0，2}．【点睛】本题主要考查集合的并集运算，属于基础题．分类讨论方法解决元素与集合关系问题1．（2022·北京石景山·一模）已知非空集合A，B满足：，，函数对于下列结论：①不存在非空集合对，使得为偶函数；②存在唯一非空集合对，使得为奇函数；③存在无穷多非空集合对，使得方程无解．其中正确结论的序号为_________．【答案】①③【分析】通过求解可以得到在集合A，B含有何种元素的时候会取到相同的函数值，因为存在能取到相同函数值的不同元素，所以即使当与都属于一个集合内时，另一个集合也不会产生空集的情况，之后再根据偶函数的定义判断①是否正确，根据奇函数的定义判断②是否正确，解方程判断③是否正确 【详解】①若，，则，，若，，则，，若，，则，，若，，则，，综上不存在非空集合对，使得为偶函数②若，则或，当，时，满足当时，所以可统一为，此时为奇函数当，时，满足当时，所以可统一为，此时为奇函数所以存在非空集合对，使得为奇函数，且不唯一③解的，解的，当非空集合对满足且，则方程无解，又因为，，所以存在无穷多非空集合对，使得方程无解故答案为：①③【点睛】本题主要考查集合间的基本关系与函数的奇偶性，但需要较为缜密的逻辑推理①通过对所属集合的分情况讨论来判断是否存在特殊的非空集合对使得函数为偶函数②观察可以发现为已知的奇函数，通过求得不同元素的相同函数值将解析式归并到当中，使得成为奇函数③通过求解解析式零点，使得可令两个解析式函数值为0的元素均不在所对应集合内即可得到答案2（2020·北京·模拟预测）对给定的正整数，令，，，，，，2，3，，．对任意的，，，，，，，，定义与的距离．设是的含有至少两个元素的子集，集合，，中的最小值称为的特征，记作（A）．（Ⅰ）当时，直接写出下述集合的特征：，0，，，1，，，0，，，1，，，0，，，1，，，0，，，0，，，1，，，1，．（Ⅱ）当时，设且（A），求中元素个数的最大值； （Ⅲ）当时，设且（A），求证：中的元素个数小于．【答案】（Ⅰ）答案详见解析；（Ⅱ）2；（Ⅲ）证明详见解析.【解析】（Ⅰ）根据与的距离的定义，直接求出的最小值即可；（Ⅱ）一方面先证明中元素个数至多有2个元素，另一方面证明存在集合中元素个数为2个满足题意，进而得出中元素个数的最大值；（Ⅲ）设，，，定义的邻域，先证明对任意的，中恰有2021个元素，再利用反证法证明，于是得到中共有个元素，但中共有个元素，所以，进而证明结论．【详解】（Ⅰ）（A），（B），（C）；（Ⅱ）（a）一方面：对任意的，，，，，，令（a），，，，，，则，（a），故（a），令集合（a），则，且和的元素个数相同，但中共有个元素，其中至多一半属于，故中至多有2个元素．（b）另一方面：设，，，是偶数，则中的元素个数为对任意的，，，，，，，，，易得与奇偶性相同，故为偶数，由，得，故，注意到，0，0，0，，0，，，1，0，0，，且它们的距离为2，故此时满足题意， 综上，中元素个数的最大值为2．（Ⅲ）当时，设且（A），设，，，任意的，定义的邻域，（a）对任意的，中恰有2021个元素，事实上①若，则，恰有一种可能；，②若，则与，恰有一个分量不同，共2020种可能；综上，中恰有2021个元素，（b）对任意的，，事实上，若，不妨设，，，，，则，这与（A），矛盾，由（a）和（b），中共有个元素，但中共有个元素，所以，注意到是正整数，但不是正整数，上述等号无法取到，所以，集合中的元素个数小于．【点睛】本题考查集合的新定义，集合的含义与表示、集合的运算以及集合之间的关系，反证法的应用，考查学生分析、解决问题的能力，正确理解新定义是关键，综合性较强，属于难题． 根据集合包含关系求参数值或范围一、单选题1．（2021·全国·模拟预测）已知集合，．若，则实数k的取值范围为（       ）A．B．C．D．【答案】D【分析】求出集合，再根据，知，列出不等式，解之即可得出答案.【详解】解：解不等式，得，即，或，由，知，所以或，解得或.故选：D．2．（2021·全国·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围是（       ）A．B．C．D．【答案】B【分析】首先通过解绝对值不等式化简集合，然后由题意得，从而建立不等式组求得的范围.【详解】解不等式，得，所以.由，得，∴，解得﹒故选：B数轴法解决集合运算问题一、单选题 1．（2022·四川·泸县五中模拟预测（文））设全集，已知集合，，则=（       ）A．B．C．D．【答案】D【分析】化简集合，先求出，再求出其补集即可得解.【详解】或，，所以，所以，即.故选：D2．（2022·江西宜春·模拟预测（文））已知集合，，则（       ）A．RB．C．D．【答案】D【分析】求函数定义域化简集合A，解不等式化简集合B，再利用交集的定义求解作答.【详解】由得，则，由解得，即，所以.故选：D3．（2022·全国·模拟预测（文））已知集合，，则（       ）A．B．C．D．【答案】C【分析】求出集合M，N，然后进行并集的运算即可.【详解】∵，，∴.故选：C.二、填空题 4．（2022·重庆市育才中学模拟预测）设集合，则________.【答案】【分析】根据交集的定义求解即可.【详解】解不等式，得，解得，即，；故答案为：.5．（2020·上海·模拟预测）已知集合，，则______．【答案】【分析】先解对数不等式和分式不等式求得集合A、B，再根据交集定义求得结果.【详解】因为，，所以，故答案为：.【点睛】本题考查对数不等式和分式不等式的解法以及交集定义，属于基础题.6．（2020·江苏·模拟预测）已知集合，，则______.【答案】【分析】利用集合的交运算即可求解.【详解】由集合，，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查了集合的交概念以及运算，属于基础题.7．（2020·江苏·吴江盛泽中学模拟预测）已知集合，集合，则________． 【答案】【详解】，，所以．【点睛】本题考查了交集运算，此题属于简单题.8．（2020·江苏镇江·三模）已知全集U＝R，A＝{x|f（x）＝ln（x2﹣1）}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，则＝_____．【答案】或【分析】先化简集合,再求，最后求得解.【详解】解：A＝{x|f（x）＝ln（x2﹣1）}＝{x|x＜﹣1或x＞1}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，则＝{x|x≥3或x≤﹣1}，则＝或，故答案为：或．【点睛】本题主要考查对数型复合函数的定义域的求法，考查一元二次不等式的解法，考查集合的交集和补集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.一、单选题1．（2021·新高考全国11卷）设集合，则（       ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据交集、补集的定义可求.【详解】由题设可得，故，故选：B.2．（2021·新高考全国1卷）设集合，，则（       ）A．B．C．D． 【答案】B【分析】利用交集的定义可求.【详解】由题设有，故选：B.3．（2021·全国·高考真题）设集合，，则（       ）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用交集的定义可求.【详解】由题设有，故选：B.4．（2021·全国·高考真题（理））已知集合，，则（       ）A．B．C．D．【答案】C【分析】分析可得，由此可得出结论.【详解】任取，则，其中，所以，，故，因此，.故选：C.5．（2021·全国·高考真题（理））设集合，则（       ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据交集定义运算即可【详解】因为，所以,故选：B. 【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.6．（2021·全国·高考真题）设集合，则（       ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据交集、补集的定义可求.【详解】由题设可得，故，故选：B.一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，，则（       ）A．B．C．D．【答案】B【分析】由题知，，进而根据补集运算与交集运算求解即可.【详解】解：因为，，所以，所以故选：B2．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，，则等于（       ）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用指数函数的单调性求出指数函数的值域进而得出集合，根据二次根式的意义求出集合 ，利用并集的定义和运算直接计算即可.【详解】..因此.故选：D3．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，，则（       ）A．B．C．D．【答案】D【分析】先化简集合B，再去求.【详解】则故选：D4．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，，则（       ）A．B．C．D．【答案】B【分析】首先根据定义域求出函数的值域，得集合B，然后根据集合的交集运算法则求得结果.【详解】当时，，则，所以.故选:B.5．（2022·全国·高三专题练习）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（       ）A．B．C．D． 【答案】B【分析】先求出集合A、B，由韦恩图分析，求.【详解】由，得，则，所以.由，得，则，则图中阴影部分表示的集合为.故选:B.6．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，，则（       ）A．B．C．D．【答案】D【分析】先解不含参数的一元二次不等式，进而求出集合，然后根据交集的概念即可求出结果.【详解】解不等式得，又，所以，所以，故选：D.7．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，，则下列结论一定正确的是（       ）A．B．C．D．【答案】B【分析】由对数函数定义域、一元二次不等式的解法分别求得集合，进而得到结果.【详解】，，，，.故选：B.8．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，，则（       ）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用指数函数的性质可化简集合，根据对数函数性质得集合，然后计算交集．【详解】由已知，， ∴．故选：C．9．（2022·全国·高三专题练习）若集合，，则（       ）A．B．C．D．【答案】C【分析】先解不等式求出集合A，再求出集合B，然后求两集合的交集即可【详解】解不等式，得，又，所以，所以，所以．故选：C10．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，，则（       ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据一元二次不等式的解法和函数定义域的定义，求得集合，集合集合并集的运算，即可求解.【详解】由不等式，解得或，所以集合或，又由，解得，所以集合，所以.故选：D.11．（2022·全国·高三专题练习）设全集，，则为（       ）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据全集求出的补集即可.【详解】，，. 故选：A.12．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，，则（       ）.A．B．C．D．【答案】C【分析】先化简集合A，再利用集合的交集运算求解.【详解】因为集合，，所以，故选：C13．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，则（       ）A．B．C．D．【答案】A【分析】先求出集合A和集合A的补集，集合B，再求出【详解】由，得，解得，所以，所以或，由得，所以，所以故选：A14．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，，图中阴影部分为集合M，则M中的元素个数为（       ）A．1B．2C．3D．4 【答案】C【分析】由Venn图得到求解.【详解】如图所示，，，解得且，又，，，，所以M中元素的个数为3故选：C15．（2022·全国·高三专题练习）已知全集，，，则（       ）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据集合的运算法则计算．【详解】，．故选：C．二、多选题16．（2022·全国·高三专题练习）已知集合E是由平面向量组成的集合，若对任意，，均有，则称集合E是“凸”的，则下列集合中是“凸”的有（       ）．A．B．C．D．【答案】ACD【分析】作出各个选项表示的平面区域，根据给定集合E是“凸”的意义判断作答.【详解】设，，，则C为线段AB上一点，因此一个集合E是“凸”的就是E表示的平面区域上任意两点的连线上的点仍在该区域内，四个选项所表示的平面区域如图中阴影所示：                   A                                                     B                  C                                                     D观察选项A，B，C，D所对图形知，B不符合题意，ACD符合题意.故选：ACD【点睛】思路点睛：涉及符合某个条件的点构成的平面区域问题，理解不等式变为对应等式时的曲线方程的意义，再作出方程表示的曲线，作图时一定要分清虚实线、准确确定区域.17．（2022·全国·高三专题练习）已知全集，集合，则关于的表达方式正确的有（       ）A．B．C．D．【答案】AB【分析】根据补集的概念及分式不等式及其解法即可求解.【详解】由题意得，， 所以，故AB正确，CD错误，故选：AB.18．（2022·全国·高三专题练习）设表示不大于的最大整数，已知集合，，则（       ）A．B．C．D．【答案】ABD【分析】由对数运算可知，，由的定义可知AC正误；解不等式求得集合，由交集和并集定义可知BD正误.【详解】对于A，，，，A正确；对于C，，，C错误；对于BD，，，，，BD正确.故选：ABD.19．（2022·全国·高三专题练习）给定数集M，若对于任意a，，有，且，则称集合M为闭集合，则下列说法中不正确的是（       ）A．集合为闭集合B．正整数集是闭集合C．集合为闭集合D．若集合为闭集合，则为闭集合【答案】ABD【分析】根据集合M为闭集合的定义，对选项进行逐一判断，可得出答案．【详解】选项A：当集合时，，而，所以集合M不为闭集合，A选项错误；选项B：设是任意的两个正整数，则，当时，是负数，不属于正整数集，所以正整数集不为闭集合，B选项错误； 选项C：当时，设，则，所以集合M是闭集合，C选项正确；选项D：设，由C可知，集合为闭集合，，而，故不为闭集合，D选项错误．故选：ABD．三、填空题20．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，，则___________【答案】【分析】利用交集的定义进行求解.【详解】因为，，所以.故答案为：.