考点13 数列概念及通项公式（核心考点讲与练）-2024年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考专用）-(解析版）

考点13数列概念及通项公式（核心考点讲与练）一、数列的概念及简单表示法1.数列的定义按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.2.数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列an＋1＞an其中n∈N+递减数列an＋1＜an常数列an＋1＝an摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法.4.数列的通项公式(1)通项公式：如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个式子an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.(2)递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.5.数列求和的几种常用方法(1)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.(2)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. (3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解.(4)倒序相加法如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.1.若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝2.数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关.3.易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号.4.Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化．①利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解；②利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．　5.由递推关系式求通项公式的常用方法(1)已知a1且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an，即an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1.(2)已知a1且＝f(n)，可用“累乘法”求an，即an＝··…···a1.(3)已知a1且an＋1＝qan＋b，则an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为等比数列{an＋k}．(4)形如an＋1＝(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解．6.在利用裂项相消法求和时应注意：(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；(2)要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 7.用错位相减法求和时，应注意(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意与的关系1.（2022湖北省新高考）已知数列的首项，其前项和为，若，则__________．【答案】96【分析】由题意易得，两式相减可得数列从第二项开始成等比数列，进而可得结果.【详解】因为，所以，两式相减得，又因为，，得，所以数列从第二项开始成等比数列，因此其通项公式为，所以，故答案为：96.由递推公式求通项1.（2022河南省顶级名校9月开学联考）若数列满足：，则数列的通项公式为（）A．B．C．D．【答案】D 分析】利用整体相减的方法即可计算出数列的通项公式【详解】由①得，当时②由①②得当时也满足上式故选：D2.（2022辽宁省盘锦市高级中学9月月考）已知数列满足，，且=+-（n≥2），则数列的通项公式为_____________.【答案】【分析】化简题设条件得到，得出数列是以为首项，为公差的等差数列，求得则，再利用叠加法，即可求解，得到答案.【详解】由题意，数列满足（），两侧同除，可得，即，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以（），当时，适合上式，所以，所以数列的通项公式. 故答案为：【点睛】关键点睛：本题主要考查了等差数列定义及通项公式，以及“叠加法”的应用，其中解答中熟记等差数列的定义和通项公式，合理利用“叠加法”求解是解答的关键.分组求和1.（2022湖北省武汉市部分学校9月质量检测）设数列的前项和为，满足.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求的表达式.【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据，即可求出数列的通项公式；（2）利用分组求和法以及等差数列的前和公式即可求出结果.【详解】（1）当时，，即，当时，，即，因此，所以，经检验，时成立，所以；（2），所以 2.（2022安徽省江淮十校高三上学期第一次联考）已知数列的前n项和为，满足，（t为常数）．（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前n项和为．【答案】（1）；（2）．【分析】(1)令,解得:,再由,即可求出,(2)根据(1)的结论,再利用并项求和,即可求解.【详解】解：（1）令，，可得，所以时，，可得所以（），又因为满足上式，所以（2）因为所以裂项相消法求和1.（2022河南省部分名校高三上学期8月份摸底）已知数列的前项和为，且. （1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的前项和.答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）根据数列与的关系，消去，即可证明数列是等比数列；（2）根据（1）的结果，知，再利用裂项相消法求和.【详解】解：（1）由，得，①于是得，②②-①得，即，当时，，即，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.（2）由（1）知，所以，所以，所以.错位相减求和1.（2021高三数学冲刺原创卷）已知是首项为1的单调递增的等差数列，其中，， 成等比数列．的前项和为，且，．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．【答案】(1)；(2).【分析】(1)根据等比数列的性质及已知条件，求出等差数列的公差，再利用等差数列的通项公式即可求解；(2)根据数列的递推公式求出数列的通项公式，再利用错位相减法及等比数列的求和公式即可求解．【详解】(1)因为是首项为1的单调递增的等差数列，所以，设数列的公差为且，则，，．因为，，成等比数列，所以，即，解得或（舍负），所以．(2)因为，①所以，②由①-②得，所以．因为，，所以是从第二项开始的等比数列， 则数列的通项公式为由（Ⅰ）知则，③，④③-④得，所以．2.（2022河南省顶级名校高三上学期9月联考）已知数列、满足：且，．（1）求数列和的通项公式；（2）数列满足：，其中，若数列的前项和为，求．【答案】（1）；；（2）．【分析】（1）由递推关系可构造等比数列，即可求出，代入化简即可得；（2）由（1）可得，利用错位相减法求解即可.【详解】（1）由，令，得，是以为首项，以为公比的等比数列．，即．． （2）由题意知，①②①-②得，，．1.（2020年新课标Ⅰ）数列满足，前16项和为540，则______________.【答案】【分析】对为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立方程，求解即可得出结论.【详解】，当为奇数时，；当为偶数时，.设数列的前项和为，，.故答案为：. 【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能力，属于较难题.2.（2020年新课标Ⅰ）设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．（1）求的公比；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由已知结合等差中项关系，建立公比的方程，求解即可得出结论；（2）由（1）结合条件得出的通项，根据的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.【详解】（1）设的公比为，为的等差中项，，；（2）设的前项和为，，，①，②①②得，，.【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求解能力，属于基础题.3.（2021年全国高考乙卷）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．（1）证明：数列是等差数列; （2）求的通项公式．【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列;（2）由（1）可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得.【详解】（1）[方法一]：由已知得,且，,取,由得,由于为数列的前n项积，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以数列是以为首项，以为公差等差数列;[方法二]【最优解】： 由已知条件知①于是．②由①②得．③又，④由③④得．令，由，得．所以数列是以为首项，为公差的等差数列．[方法三]：由，得，且，，．又因为，所以，所以．在中，当时，．故数列是以为首项，为公差的等差数列．[方法四]：数学归纳法由已知，得，，，，猜想数列是以为首项，为公差的等差数列，且．下面用数学归纳法证明．当时显然成立．假设当时成立，即．那么当时，． 综上，猜想对任意的都成立．即数列是以为首项，为公差的等差数列．（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，,,当n=1时，,当n≥2时,,显然对于n=1不成立,∴.【整体点评】（1）方法一从得，然后利用的定义，得到数列的递推关系，进而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论；方法二先从的定义，替换相除得到，再结合得到，从而证得结论，为最优解；方法三由，得，由的定义得，进而作差证得结论；方法四利用归纳猜想得到数列，然后利用数学归纳法证得结论．（2）由（1）的结论得到，求得的表达式,然后利用和与项的关系求得的通项公式；一、单选题 1．（2022·浙江嘉兴·二模）已知数列满足，，为数列的前n项和，则（       ）A．B．C．D．【答案】D【分析】先判断出，通过放缩得到，再通过分析法证得，结合裂项相消即可证得，又由证得即可.【详解】当，时，因为，所以，又因为，且，下证，即证，即证，即证，即证，即证 令，即证，当，时，不等式恒成立.因此，，所以，又因为，故选：D.【点睛】本题关键点在于分析法的应用，通过分析法证得，又由放缩得到，进而通过裂项相消证得，最后由证得即可.2．（2022·全国·模拟预测）已知数列满足，则当取得最大值时的值为（       ）A．2020B．2024C．2022D．2023【答案】A【分析】利用作商法可得，讨论n的取值判断与1的大小关系，即可得最大时的值.【详解】∵，∴当时，；当时，，∴根据选项，当时，取得最大值.故选：A． 二、多选题3．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）已知数列的前项和为，且对于恒成立，若定义，，则以下说法正确的是（       ）A．是等差数列B．C．D．存在使得【答案】BC【分析】利用退位相减法可得数列的通项及即可判断A选项，按照给出的定义求出即可判断B选项，数学归纳法和累加法即可判断C、D选项.【详解】当时，，当时，由，得，故，即，所以数列为等比数列，首项，公比，故，A选项错误；则，所以，，B选项正确；当时，，假设当时，成立，当时，由可得，则，，，，，将上式相加可得 ，又，则，故，即时也成立，故，C选项正确；D选项，当时，由知不成立，当时，由C选项知：，则，，，，，上式相加得，又由上知，，则，可得，又由可得，，即，D选项错误；故选：BC.【点睛】本题关键在于C、D选项的判断，C选项通过数学归纳法和累加法以及组合数的性质即可求解；D选项借助C选项的结论，通过累加法以及组合数的性质进行判断即可.三、填空题4．（2022·辽宁葫芦岛·一模）已知数列，，对于任意正整数m，n，都满足，则______．【答案】【分析】令,得，用累加法求出，由此利用裂项相消求和求出的值.【详解】令，得，所以，则 ，，……，，，所以当时，，又满足上式，所以所以，.故答案为：.5．（2022·江西景德镇·三模（理））已知数列和正项数列，其中，且满足，数列的前n项和为，记，满足．对于某个给定或的值，则下列结论中：①；②；③若，则数列单调递增；④若，则数列从第二项起单调递增．其中正确命题的序号为______．【答案】①②③【分析】求得的范围判断①；求得的值判断②；判定出数列单调性判断③；由数列第三项小于第二项否定④.【详解】由，可知，则，又则，解之得.则①判断正确；由，可得，则，则又由，可知，则则由，则或（舍）则或（舍）.则②判断正确； 由，可知，则若，则，又，则，则，则由，可得，则又，则数列单调递增.则③判断正确；由，可得由，，则当时，，即数列的第三项小于第二项.则数列从第二项起单调递增的说法判断错误.故答案为：①②③四、解答题6．（2022·重庆八中模拟预测）已知是公差不为零的等差数列的前n项和，，.(1)求数列的通项公式；(2)设数列，数列化的前2n项和为，若，求正整数n的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）设等差数列的公差为.由题意，列方程组求，即求通项公式；（2）求得，由裂项相消法求，解不等式可得的最小值.(1)公差不为零的等差数列，由，，解得.又，可得， 所以数列是以1为首项和公差的等差数列，所以.(2)解：由（1）可知，，，所以的最小值为505.7．（2022·福建·模拟预测）设等比数列的前项和为，已知，且.(1)求数列的通项公式；(2)已知数列是等差数列，且，，设，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据，作差得到，即可得到是以1为首项，2为公比的等比数列，从而得到通项公式；（2）首先求出的通项公式，即可得到，利用错位相减法求和即可；(1)解：因为，所以，两式相减，可得，整理得，∵时，，∴，所以公比，即数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以；(2)解：易知，，所以公差，所以，所以，因为，则，两式相减可得. 即8．（2022·江苏·海安高级中学二模）已知数列前n项积为，且．(1)求证：数列为等差数列；(2)设，求证：．【分析】（1）由已知得，，两式相除整理得，从而可证得结论，（2）由（1）可得，再利用累乘法求，从而，然后利用放缩法可证得结论(1)因为，所以，所以，两式相除，得，整理为，再整理得，．所以数列为以2为首项，公差为1的等差数列．(2)因为，所以，由（1）知，，故，所以．所以．又因为，所以．9．（2022·广东广州·二模）问题：已知，数列的前n项和为，是否存在数列，满足，__________﹖若存在．求通项公式﹔若不存在，说明理由． 在①﹔②；③这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】选①：；选②：；选③：【分析】选①：利用与的关系得到关于的递推公式，再由递推公式求，然后可得通项；选②：利用与的关系得到递推公式，然后构造等比数列可求通项；选③：根据递推公式构造等比数列可解.【详解】选①：，即是以2为公差，1为首项的等差数列，即当时，显然，时，上式不成立，所以.选②：当时，，即所以整理得又，所以从第二项起，是以2为公比，4为首项的等比数列当时，，即显然，时，上式成立，所以选③：又是以2为公比和首项的等比数列 ，即10．（2022·浙江嘉兴·二模）设等差数列的前n项和为，数列是首项为1公比为的等比数列，其前n项和为，且，对任意恒成立.(1)求数列，的通项公式；(2)设，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据已知条件及等差等比数列的通项公式及前n项和公式即可求解；（2）利用（1）得出的通项公式，再利用错位相减法求出，将不等式恒成立问题转化为最值问题即可求解.(1)设等差数列的首项为，公差为则由，得即由①得，由②得，由③得，所以数列的通项公式为，所以数列的通项公式为.(2)由（1）知，，所以，①②②-①得：化简得：，又因为，即即，（i）当时，，所以； （ii）当时，，令，则当时，，所以单调递减；当时，，所以单调递增；当时，取得最小值为，即,所以的取值范围是.