考点08三角恒等变换（核心考点讲与练）-2024年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考专用）-(原卷版）

考点08三角恒等变换（核心考点讲与练）一、任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝y，cosα＝x，tanα＝(x≠0).(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线.二、同角三角函数基本关系式与诱导公式1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：＝tan__α.2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sinα－sin__α－sin__αsin__αcos__αcos__α余弦cosα－cos__αcos__α－cos__αsin__α－sin__α正切tanαtan__α－tan__α－tan__α口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限三、解两角和与差的正弦、余弦和正切公式1两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β.cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β. tan(α±β)＝.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sin__αcos__α.cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.tan2α＝.3.函数f(α)＝asinα＋bcosα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝·cos(α－φ).[名师提醒]1.tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ).2.cos2α＝，sin2α＝.3.1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝sin.1.定义法求三角函数值的三种情况①已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值．先求P到原点的距离，再用三角函数的定义求解；②已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值；③已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．2.三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．3.“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解． 4.“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．5.“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．三角函数的定义1.（2020湖北百所重点校高三联考）已知角的终边经过点且，则等于（）A.B.C.D.2.已知顶点在原点，始边在x轴非负半轴的锐角绕原点逆时针转后，终边交单位圆于，则的值为（）A．B．C．D．化简求值1.(2020湖北武汉模拟)＝（）A.B.C.D.2.（2022高三一轮复习联考（一）（全国1卷））已知，则___________.3.（2022河南省大联考）若，则（） A.B.C.D.4.（2022云南省昆明市五华区高三模拟）若，，则______．5.(2020四川南充模拟)已知，，且，，则________.1.（2021年全国高考乙卷）（）A.B.C.D.2.（2021年全国高考甲卷）若，则（）A.B.C.D.3.（2021年全国新高考Ⅰ卷）若，则（）A.B.C.D.一、单选题1．（2022·河北·模拟预测）已知函数，若的图象在区间上有且只有1个最低点，则实数的取值范围为（       ）A．B．C．D．2．（2022·辽宁丹东·一模）已知，若，则（       ） A．B．C．D．3．（2022·四川广安·一模（理））若，，则的值为（       ）A．B．C．0D．4．（2022·江苏南通·模拟预测）在△ABC中，若，则（       ）A．B．C．D．二、多选题5．（2022·江苏·南京市第一中学三模）在中，，则下列说法正确的是（       ）A．B．C．的最大值为D．6．（2022·重庆·模拟预测）重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，始于1551年明代嘉靖年间，明末已成为贡品人朝，产品以其精湛的工业制作而闻名于海内外．经历代艺人刻苦钻研、精工创制，荣昌折扇逐步发展成为具有独特风格的中国传统工艺品，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱．古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长，偏称游人携袖里，不劳侍女执花傍；宫罗旧赐休相妒，还汝团圆共夜凉”图1为荣昌折扇，其平面图为图2的扇形COD，其中，动点P在上（含端点），连接OP交扇形OAB的弧于点Q，且，则下列说法正确的是（       ）图1                                          图2A．若，则B．若，则C．D．7．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）已知向量，，且，，其中，下列说法正确的是（       ）A．与所成角的大小为B． C．当时，取得最大值D．的最大值为三、填空题8．（2022·广东湛江·二模）若，，则___________.9．（2022·河北秦皇岛·二模）已知为锐角，且，则___________.10．（2022·安徽·芜湖一中三模（理））已知函数的图象与函数的图象相邻的三个交点依次为A，B，C，且的面积是，则______．四、解答题11．（2022·天津·一模）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.(1)求角B的大小；(2)设，，求和的值.12．（2022·广东惠州·一模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且.(1)求证：；(2)当时，求.13．（2022·四川雅安·二模）已知向量，，设函数．(1)求函数的单调递增区间；(2)设的内角，，所对的边分别为，，，且______，求的取值范围．从下面三个条件中任选一个，补充在上面的问题中作答．①；②；③，， 成等比数列．注：如果选择多个条件分别解答，按第一解答计分．14．（2022·全国·模拟预测）在中，，，分别为角A，，的对边，且满足．（1）求A；（2）若点满足，，求的取值范围．15．（2022·安徽·芜湖一中三模（理））已知函数的最小正周期为6．(1)已知△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若，，求的值；(2)若，求数列的前2022项和．16．（2022·湖北·二模）如图，在平面四边形中，．(1)若，求； (2)若，求四边形的面积．