2024年高考数学一轮复习讲练测：重难点突破08 证明不等式问题 （十三大题型）（解析版）

重难点突破08证明不等式问题目录利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.（4）对数单身狗，指数找基友（5）凹凸反转，转化为最值问题（6）同构变形题型一：直接法例1．（2023·北京房山·北京市房山区良乡中学校考模拟预测）已知函数．(1)若函数在点处的切线平行于直线，求切点P的坐标及此切线方程；(2)求证：当时，．（其中）【解析】（1）由题意得，，所以切线斜率，所以，即，此时切线方程为；（2）令，，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，又，，所以，即恒成立，所以当时，．例2．（2023·北京·高二北京二十中校考期中）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求证：.55 重难点突破08证明不等式问题目录利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.（4）对数单身狗，指数找基友（5）凹凸反转，转化为最值问题（6）同构变形题型一：直接法例1．（2023·北京房山·北京市房山区良乡中学校考模拟预测）已知函数．(1)若函数在点处的切线平行于直线，求切点P的坐标及此切线方程；(2)求证：当时，．（其中）【解析】（1）由题意得，，所以切线斜率，所以，即，此时切线方程为；（2）令，，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，又，，所以，即恒成立，所以当时，．例2．（2023·北京·高二北京二十中校考期中）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求证：.55 【解析】（1）,，,所以切点为，由点斜式可得，，所以切线方程为：.（2）由题可得，设，，所以当时，，当时，，所以在单调递增，单调递减，所以，即.例3．已知函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，证明：，．【解析】解：（1），因，，①当时，，函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；②当时，，函数在内单调递增；③当时，，函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；综上：当时，函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；当时，函数在内单调递增；当时，函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；（2）当时，由（1）得，函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增，函数在内的最小值为，欲证不等式成立，即证，即证，55 因，所以只需证，令，则，所以，函数在，内单调递减，（1），又因，即．所以，即当时，成立，综上，当时，，．题型二：构造函数（差构造、变形构造、换元构造、递推构造）例4．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数．(1)证明：；(2)讨论的单调性，并证明：当时，．【解析】（1）证明：令，则，所以在上单调递减，所以，即．令，则有，所以，所以，即．（2）由可得，令，则，令，则，所以在上单调递增，．令，则有，所以在上单调递增，所以在上单调递增，所以对于，有，55 所以，所以，即，整理得：．例5．已知曲线与曲线在公共点处的切线相同，（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求证：当时，．【解析】（Ⅰ）解：，，依题意（1）（1），；（Ⅱ）证明：由，得，令，则，时，，递减；时，，递增．时，（1），即，综上所述，时，．例6．已知函数，．（1）求函数的单调区间；（2）若直线是函数图象的切线，求证：当时，．【解析】（1）解：，当时，，在上单调递增；当时，令，可得，当时，，单调递减，当时，，单调递增．综上可得，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）证明：直线是函数图象的切线，设切点为，，则，即，55 切点在切线上，，，，解得，当时，等价于，等价于，设，则，，，由，得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，（1），即，．变式1．已知函数．（1）证明：；（2）数列满足：，．（ⅰ）证明：；（ⅱ）证明：，．【解析】证明：（1）由题意知，，，①当时，，所以在区间上单调递减，②当时，令，因为，所以在区间上单调递增，因此，故当时，，所以在区间上单调递增，因此当时，，55 所以；（2）（ⅰ）由（1）知，在区间上单调递增，，因为，故，所以，因此当时，，又因为，所以，（ⅱ）函数，，则，令，则，所以在区间上单调递增；因此，所以在区间上单调递减，所以，因此，所以对，．变式2．讨论函数的单调性，并证明当时，．【解析】解：，，当时，或，在和上单调递增，证明：时，．题型三：分析法例7．已知函数，已知是函数的极值点．（1）求；55 （2）设函数．证明：．【解析】（1）解：由题意，的定义域为，令，则，，则，因为是函数的极值点，则有，即，所以，当时，，且，因为，则在上单调递减，所以当时，，当时，，所以时，是函数的一个极大值点．综上所述，；（2）证明：由（1）可知，，要证，即需证明，因为当时，，当时，，所以需证明，即，令，则，所以，当时，，当时，，所以为的极小值点，所以，即，故，所以．例8．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知函数55 (1)求在处的切线;(2)若，证明当时，.【解析】（1）因为，所以，切线斜率为因为，所以切点为切线方程为即（2）法一：令，所以，所以在单调递增，，所以，所以，所以要证只需证明变形得因为所以只需证明，即两边同取对数得：令，则显然在递增，所以存在当时递减，当时递增;因为所以在上恒成立，所以原命题成立法二：设则，要证：需证：即证：因为，需证，即证：①时必然成立55 ②时，因为所以只需证明，令，，令，∴在上为增函数因为，所以所以存在，使得∴在上为减函数，在上为增函数∴综上可知，不等式成立例9．已知，函数，其中为自然对数的底数．（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；（Ⅱ）记为函数在上的零点，证明：（ⅰ）；（ⅱ）．【解析】证明：（Ⅰ），恒成立，在上单调递增，，（2），又，函数在上有唯一零点．（Ⅱ），，，，令，，，一方面，，，，在单调递增，，55 ，，另一方面，，，当时，成立，只需证明当时，，，，，当时，，当时，，，（1），，（1），，在单调递减，，，综上，，．要证明，只需证，由得只需证，，只需证，只需证，即证，，，，．变式3．已知函数在上有零点，其中是自然对数的底数．（Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）记是函数的导函数，证明：．【解析】（Ⅰ）解：函数，则，①当时，恒成立，则在上单调递增，所以，故函数无零点，不符合题意；②当时，由，得，若，即，此时在上单调递增，不符合题意；55 若，即，则在上单调递减，在上单调递增，又，故，使得，而当时，时，故，使得，根据零点存在定理，，，使得，符合题意；综上所述，实数的取值范围是；（Ⅱ）证明：，所以，即，由（Ⅰ）知且在上单调递减，在上单调递增，故只要证明：，即，，设，则，故在上单调递增，即（1），所以成立；综上所述，成立．题型四：凹凸反转、拆分函数例10．（2023·北京·高三专题练习）已知函数，当，时，证明：任意的，都有恒成立.【解析】由题设有，设，，要证即证.下面证明：当时，.此时，，当时，，故在上为减函数，在上为增函数，当时，，故在上为增函数，在上为减函数，55 故在上，有，，故当时，.当，，，当时，要证即证即证，设，其中，故，当时，；当时，，故在上为增函数，在上为减函数，故在上，，故，所以当时，成立.综上，任意的，都有恒成立.例11．（2023·河南开封·校考模拟预测）设函数，．(1)若函数在上存在最大值，求实数的取值范围；(2)当时，求证：．【解析】（1）（1）由得：（），①当时，，所以在上单调递增，在不存在最大值，②当时，令，解得：，当时，，在上单调递增，当时，在上单调递减，所以在时，取得最大值，又由函数在上存在最大值，因此，解得：，所以的取值范围为.（2）证明：当时，，且函数的定义域为，要证明，即证明时，，55 只需要证明：时，，因为，所以不等式等价于设（），则，令得：，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，故，且当时，等号成立；又设（），则，令得：，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，故，且当时，等号成立；综上可得：时，，且等号不同时成立，所以时，，即当时，得证.例12．已知函数．（Ⅰ）若是的极小值点，求的取值范围；（Ⅱ）若，为的导函数，证明：当时，．【解析】解：（Ⅰ）的定义域是，则，若，则当时，，当，时，，故是函数的极小值点，符合条件，若，令，解得：或，若，则当和，时，当时，，故是的极小值点，符合条件，若，则恒成立，没有极值点，不符合条件，55 若，则当和时，当，时，故是的极大值点，不符合条件，故的取值范围是，；（Ⅱ）当时，，，则，，，设，，，，由，可得（1），当且仅当时“”成立，，设，则在，上递减，（1），（2），故存在，，使得当时，，当，时，，故在上单调递增，在，上单调递减，由于（1），（2），故（2），当且仅当时“”成立，故当时，（1）（2）．变式4．已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）求证：．【解析】解当时，恒成立，故函数在上单调递增当时，由可得或由可得综上可得，时，恒成立，故函数在上单调递增当时，函数的单调递增区间为，，，单调递减区间55 证明：原不等式可化为容易得，上式两边同乘以可得设，则由可得（舍或时，，时，当时，函数取得最小值当且仅当即时取等号令，可得在上单调递增，且（1）当时，有最小值由于上面两个等号不能同时取得，故有，则原不等式成立题型五：对数单身狗，指数找朋友例13．已知函数．（Ⅰ）当时，求在，上最大值及最小值；（Ⅱ）当时，求证．【解析】解：（Ⅰ），；时，；，时，；（1）是函数的极小值，即的最小值；又，（2）；的最大值是；函数在上的最小值是0，最大值是；（Ⅱ），要证明原不等式成立，只要证明；55 设，则；函数在上是增函数，（1）；；原不等式成立．例14．已知函数，曲线在点，（1）处的切线方程为．（1）求、的值；（2）当且时．求证：．【解析】解：（1）函数的导数为，曲线在点，（1）处的切线方程为，可得（1），（1），解得；（2）证明：当时，，即为，即，当时，，即为，设，，可得在递增，当时，（1），即有；当时，（1），即有．综上可得，当且时，都成立．例15．已知二次函数对任意实数都满足，且（1），令．55 （1）求的表达式；（2）设，．证明：对任意，，，恒有．【解析】（1）解：设，于是，所以，，又（1），则．所以．（5分）（2）证明：因为对，，，所以在，内单调递减．于是（1）证明，即证明，记，则，所以函数在，是单调增函数，所以（e），故命题成立．（12分）变式5．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数图象过点，求证：．【解析】解：（1）函数的定义域为，又，当时，，在上单调递增；当时，由得，若，则在上单调递增；若，则在上单调递减；（2）证明：函数图象过点，可得，此时，要证，令，则，55 令，则，当时，，故在上单调递增，由，即，故存在使得，此时，故，当时，，当，时，，函数在上单减，在，上单增，故当时，有最小值，成立，即得证．变式6．已知函数．（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）若函数图象过点，求证：．【解析】解：（Ⅰ）函数的定义域为，．当时，，在上单调递增；当时，由，得．若，，单调递增；若，，单调递减综合上述：当时，在上单调递增；当时，在单调递增，在上单调递减．（Ⅱ）证明：函数图象过点，，解得．．即．．令．．．令，，函数在上单调递增，存在，使得，可得，．55 ．成立．题型六：放缩法例16．（2023·全国·高三专题练习）已知，，．(1)当时，求函数的极值；(2)当时，求证：．【解析】（1），当时，，即在上单调递减，故函数不存在极值；当时，令，得，x+0-增函数极大值减函数故，无极小值.综上，当时，函数不存在极值；当时，函数有极大值，，不存在极小值．（2）显然，要证：，即证：，即证：，即证：．令，故只须证：．设，则，当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，即，所以，从而有．故，即．例17．（2023·湖南常德·常德市一中校考二模）已知函数（，为自然对数的底数）．55 (1)讨论函数的单调性；(2)当时，求证：.【解析】（1），（ⅰ）当时，，所以，，则在上单调递增，在上单调递减；（ⅱ）当时，令，得，①时，，所以或，，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；②时，，则在上单调递增；③时，，所以或，，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．综上，时，在上单调递增，在上单调递减；时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；时，在上单调递增；时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；（2）方法一：等价于，当时，，则当时，，则，令，令，因为函数在区间上都是增函数，所以函数在区间上单调递增，55 ∵，∴存在，使得，即，当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增，∴，∴，故.方法二：当时，，令，令，则，令，则，当时，，当时，，∴在区间上单调递减，上单调递增，∴，即，∴.例18．已知函数．（其中常数，是自然对数的底数．（1）讨论函数的单调性；（2）证明：对任意的，当时，．【解析】（1）解：由，得．①当时，，函数在上单调递增；②当时，由，解得，由，解得，故在，上单调递增，在，上单调递减．综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，在，上单调递增，在，上单调递减．（2）证明：．令，则．当时，．55 令，则当时，．当时，单调递增，．当时，；当时，；当时，．（1）．即，故．变式7．已知函数，（1）讨论函数的单调性；（2）求证：当时，．【解析】解：（1），当，即时，，函数在上单调递增当，即时，由解得，由解得，函数在上单调递减，在上单调递增．综上所述，当时，函数在上单调递增；当时函数在上单调递减，在上单调递增．（2）令当时，欲证，即证．即证，即，即证先证：．设则设，在上单调递减，在，上单调递增，，则，即，当且仅当，时取等号．再证：．设，则．在上单调递增，则，即．，所以．．当且仅当时取等号．又与．两个不等式的等号不能同时取到，55 成立，即当时，成立．变式8．已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）解关于的不等式【解析】解：（1）函数．定义域为：．，（1）．令，，函数在定义域上单调递增．，．，函数单调递减．时，，函数单调递增．（2）不等式，即．，，舍去．当时，不等式的左边右边，舍去．，且．①时，由，要证不等式．可以证明：．等价于证明：．令．，函数在上单调递减，（1）．②当时，不等式．55 令，．，函数在上单调递增，（1）．由，．不等式成立．综上可得：不等式的解集为：．题型七：虚设零点例19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)当时，证明：对任意的，．【解析】（1）由题可知函数的定义域为，，即，(i)若，则在定义域上恒成立，此时函数在上单调递增；(ii)若，令，即，解得,令，即，解得,所以在上单调递减，上单调递增.综上，时，在上单调递增；时，在上单调递减，上单调递增.（2）当时，，要证明，只用证明，令，，55 令，即，可得方程有唯一解设为，且，所以，当变化时，与的变化情况如下，单调递减单调递增所以，因为，因为，所以不取等号，即，即恒成立，所以，恒成立，得证.例20．（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知函数.(1)若在区间上有极小值，求实数的取值范围；(2)求证：.【解析】（1）函数，定义域为，，在上单调递增，若在区间上有极小值，则有，解得.故实数的取值范围为.（2），即，由，可化简得，要证，即证.设，，由，则有，得，即，函数在上单调递减，55 时，时，则，，此时，则时，时，在上单调递增，在上单调递减，，函数在上单调递减，，故，即.设，，解得，解得，在上单调递减，在上单调递增，，由，得，则有，即故，即有.所以，即.例21．（2023·全国·模拟预测）已知函数在处取得极小值．(1)求实数的值；(2)当时，证明：．【解析】（1），由题意知，则，即，由，知，即．（2）由（1）得，设，则．55 设，则在上单调递增，且，所以存在唯一，使得，即．当时，单调递减；当时，单调递增．．设，则，当时，单调递减，所以，所以，故当时，．变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．当时，证明：．【解析】记．．令，则，所以即在上单调递增．由，知．．即，当单调递减；当单调递增．故在处取得极小值，也是最小值，，由（*）式，可得．代入式，得．令，则，55 当时，，当时，，故在上单调递增，在单调递减，故，即，故．．由．故，即，原不等式得证．变式10．（2023·山东淄博·统考三模）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)证明：当时，.【解析】（1）函数的定义域为，.令函数，.当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，所以，即恒成立，故的单调递增区间是和.（2）当时，，即当时，.令，，令，，令，.当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，又，，所以存在，使得.55 当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.，故当时，；当时，，即当时，；当时，，故在上单调递减，在上单调递增.于是，所以.令函数，.当时，；当时，，所以在上单调递增；在上单调递减，则.因为，所以，故，得.综上所述：当时，.题型八：同构法例22．已知函数，．（1）讨论的单调区间；（2）当时，证明．【解析】解：（1）的定义域为，，①当时，，此时在上单调递减，②当时，由可得，由，可得，在上单调递减，在，上单调递增，③当时，由可得，由，可得，在上单调递增，在，上单调递减，证明（2）设，则，由（1）可得在上单调递增，55 （1），当时，，当时，，在上单调递减，当时，，，，．例23．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，求证：在上恒成立；（3）求证：当时，．【解析】（1）解：函数的定义域为，，令，即，△，解得或，若，此时△，在恒成立，所以在单调递增．若，此时△，方程的两根为：，且，，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．若，此时△，方程的两根为：，且，，所以在上单调递增．综上所述：若，在单调递增；若，在，上单调递增，在上单调递减．55 （2）证明：由（1）可知当时，函数在上单调递增，所以（1），所以在上恒成立．（3）证明：由（2）可知在恒成立，所以在恒成立，下面证，即证2，设，，设，，易知在恒成立，所以在单调递增，所以，所以在单调递增，所以，所以，即当时，．法二：，即，令，则原不等式等价于，，令，则，递减，故，，递减，又，故，原结论成立．例24．已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，求证：．【解析】（1）解：，得，得，55 在上递减，在上递增．（2）解：函数在处取得极值，，，令，则，由得，，由得，，在，上递减，在，上递增，，即．（3）证明：，即证，令，则只要证明在上单调递增，又，显然函数在上单调递增．，即，在上单调递增，即，当时，有．变式11．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在处取得极值，不等式对恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，证明不等式．【解析】解：（1）．当时，，从而，函数在单调递减；55 当时，若，则，从而，若，则，从而，函数在单调递减，在单调递增．（4分）（2）根据（1）函数的极值点是，若，则，，即，，即，令，则，得：是函数在内的唯一极小值点，也是最小值点，故，故；（3）由即，构造函数，则，，，即在递增，，，．题型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理例25．（2023·全国·高三专题练习）证明不等式：．【解析】设，则，，代入的二阶泰勒公式，有，．55 所以原题得证．例26．（2023·全国·高三专题练习）证明：【解析】证明：设，则在处带有拉格朗日余项．三阶泰勒公式例27．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）已知正数数列满足，且.（函数求导次可用表示）(1)求的通项公式.(2)求证：对任意的，，都有.【解析】（1）由，得，所以或，因为，所以，所以，所以（2）证明：当时，恒成立，令，即，则55 ，……，所以在上递增，所以，所以在上递增，所以，所以在上递增，……所以在上递增，所以，所以在上递增，所以，综上对任意的，，都有.变式12．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数.(1)若，求实数a的值；(2)已知且，求证：.【解析】（1）因为，所以函数定义域为，.因为，且，所以是函数的极小值点，则，所以，得.当时，，当时，，当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，55 所以，满足条件，故.（2）由（1）可得，.令，则，所以，即，，所以.证毕.变式13．已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若，对，恒成立，求实数的取值范围；（3）当时．若正实数，满足，，，，证明：．【解析】解：（1），，△，①时，恒成立，故函数在递增，无递减区间，②时，或，故函数在，，递增，在，递减，综上，时，函数在递增，无递减区间，时，函数在，，递增，在，递减，（2），对，恒成立，即，时，恒成立，令，，则，令，则，在递减且（1），时，，，递增，当，，，递减，（1），55 综上，的范围是，．（3）证明：当时，，，不妨设，下先证：存在，，使得，构造函数，显然，且，则由导数的几何意义可知，存在，，使得，即存在，，使得，又为增函数，，即，设，则，，①，②，由①②得，，即．变式14．（2023·全国·高三专题练习）给出以下三个材料：①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作．类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，阶导数的导数叫做阶导数，记作．②若，定义．③若函数在包含的某个开区间上具有阶的导数，那么对于任一有，我们将称为函数在点处的阶泰勒展开式．例如，在点处的阶泰勒展开式为．根据以上三段材料，完成下面的题目：（1）求出在点处的阶泰勒展开式，并直接写出在点处的阶泰勒展开式；（2）比较（1）中与的大小．55 （3）已知不小于其在点处的阶泰勒展开式，证明：．【解析】（1），，，，，，，即；同理可得：；（2）由（1）知：，，令，则，，，在上单调递增，又，当时，，单调递减；当时，，单调递增；，，在上单调递增，又，当时，；当时，；综上所述：当时，；当时，；当时，．（3）令，则，，在上单调递增，又，在上单调递减，在上单调递增，，即；在点处的阶泰勒展开式为：，，①由（2）知：当时，，当时，；②由（2）知：当时，，，55 令，则，在上单调递减，，即当时，，，；综上所述：．题型十：分段分析法、主元法、估算法例28．（2023·贵州安顺·统考模拟预测）已知函数．（1）讨论函数的导函数的单调性；（2）若，求证：对，恒成立．【解析】（1）由已知可得，，设，则．当时，有恒成立，所以，即在R上单调递增；当时，由可得，．由可得，，所以，即在上单调递减；由可得，，所以，即在上单调递增．综上所述，当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）因为，所以对，有．设，则．解可得，或或．由可得，，所以，函数在上单调递增；由可得，或，所以，函数在上单调递减，在上单调递减．所以，在处取得极大值，在处取得极小值．又，所以，即．55 所以，有，整理可得，，所以，有，恒成立．例29．（2023·山东泰安·校考模拟预测）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)证明：当，且时，．【解析】（1），，①当，即时，，在区间单调递增．②当，即时，令，得，令，得，所以在区间单调递增；在区间单调递减．③当，即时，若，则，在区间单调递增．若，令，得，令，得，所以在区间单调递减；在区间单调递增．综上，时，在区间单调递增；在区间单调递减；时，在区间单调递增时，在区间单调递减、在区间单调递增．（2）证明：要证，即证，即证．令，，则，所以在区间单调递增，所以时，，即时，．令，，则在时恒成立，55 所以，且时，单调递增，因为时，，，且，所以，且时，，即．所以，且时，．例30．若定义在上的函数满足，，．（Ⅰ）求函数解析式；（Ⅱ）求函数单调区间；（Ⅲ）若、、满足，则称比更接近．当且时，试比较和哪个更接近，并说明理由．【解析】解：（Ⅰ）根据题意，得（1），所以（1）（1），即．又（1），所以．（Ⅱ），，①时，，函数在上单调递增；②当时，由得，时，，单调递减；时，，单调递增．综上，当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．（Ⅲ）解：设，，，在，上为减函数，又（e），当时，；当时，．55 ，，在，上为增函数，又（1），，时，，在，上为增函数，（1）．①当时，，设，则，在，上为减函数，（1），当，，，比更接近．②当时，，设，则，，在时为减函数，（e），在时为减函数，（e），，比更接近．综上：在且时时，比更接近．变式15．已知函数，其中，为自然对数的底数．（1）当时，讨论函数的单调性；55 （2）当时，求证：对任意的，，．【解析】解：（1）当时，，则，，故则在上单调递减．（2）当时，，要证明对任意的，，．则只需要证明对任意的，，．设（a），看作以为变量的一次函数，要使，则，即，恒成立，①恒成立，对于②，令，则，设时，，即．，，在上，，单调递增，在上，，单调递减，则当时，函数取得最大值，故④式成立，综上对任意的，，．题型十一：割线法证明零点差大于某值，切线法证明零点差小于某值例31．已知函数（1）求曲线在原点处的切线方程；55 （2）若恒成立，求实数的取值范围；（3）若方程有两个正实数根，，求证：．【解答】解：（1），，，故曲线在原点处的切线方程为．（2）①当时，；②当时，问题等价于恒成立．设，则，在上单调递增，且（1）在递减，在递增．在的最小值为（1）；③当时，问题等价于恒成立．设，则，在上单调递减，且时，．，综上所述：．（3）依（2）得时，，曲线在原点处的切线方程为设，，，令，解得，或．在，递增，在递减．，时，，递增，而，当时，，设，分别与，交点的横坐标为，，，．则，，（证毕）55 例32．已知函数，曲线在点处的切线方程为．（1）求，的值；（2）证明：；（3）若函数有两个零点，，证明．【解答】（1）解：函数的定义域为，，（1），曲线在点处的切线方程为即，，；（2）证明：令，则，令，则，单调递增，又（1），当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，（1），，，（3）证明：的两个零点，，即为的两根，不妨设，由题知，曲线在处的切线方程为，令，即即的根为，则，由（2）知，，单调递增，，设曲线在处的切线方程为，，，55 设方程即的根为，则，令，由（2）同理可得，即，，又单调递减，，．例33．设函数．（1）求曲线在点，处的切线方程；（2）若关于的方程有两个实根，设为，，证明：．【解答】解：（1），则，又，切线方程为，即；（2）证明：先证明，令，则，易知函数在上递减，在，上递增，则，即，再证明，令，则，易知函数在上递减，在上递增，则（1），即，如图，设直线与直线，相交点的横坐标分别为，，由，得，当且仅当时等号成立，由，得，当且仅当时等号成立，，即得证．55 题型十二：函数与数列不等式问题例34．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数.(1)若，求实数的值；(2)已知且，求证：.【解析】（1）由，得.令，则.注意到，所以是函数的极小值点，则，所以，得.当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，所以，满足条件，故.（2）由（1）可得，.令，则，所以，即.令，则，且不恒为零，所以函数在上单调递增，故，则，所以，令分别取，累加得：55 .即证.例35．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数.(1)若在上单调递增，求的值；(2)证明：（且）.【解析】（1）函数，求导得，由于函数在R上单调递增，则恒成立，令，则，当时，，当时，，不满足条件；当时，，在R上单调递增，又，即，不满足条件；当时，令，得，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，于是当时，取得最小值，于是，即，令，则，当时，，单调递增；时，，单调递减，则，由于恒成立，因此，则有，所以单调递增时，的值为1.（2）由（1）知，当时，，即有，当且仅当时取等号，即当时，，因此当且时，，而当时，，所以，55 则，所以，.例36．（2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）已知函数.(1)是的导函数，求的最小值；(2)证明：对任意正整数，都有（其中为自然对数的底数）【解析】（1）由题意，，，，令，解得，又时，时，，所以在上单调递减，在单调递增，，即的最小值为0.（2）证明：由（1）得，，可知，当且仅当时等号成立，令，则.，即，也即，所以，故对任意正整数，都有.变式16．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数.(1)求的极值；55 (2)对任意的，求证：.【解析】（1）因为，则，当时，，时，故在上单调递减，在上单调递增，故在处取得极小值，无极大值.（2）由（1）知在上单调递增，故时，即：，令得，化简得：，于是有：，，，累加得：即变式17．（2023·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）已知函数.(1)若恒成立，求的取值范围；(2)当时，证明：.【解析】（1），可得.令，其中，则.①当时，，合乎题意；②当时，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，，当且仅当时，等号成立，55 所以，，所以，不恒成立，不合乎题意；③当时，，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，，可得，解得.综上所述，实数的取值范围是；（2）当时，，所以.由（1）知：，即，所以.令，得，即，所以.当时，，则，显然，结论成立；当时，，结论成立.因此，当时，成立.题型十三：三角函数例37．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．当，时，求证：．【解析】证明：要证，即证，只需证，因为，也就是要证，令，55 因为，所以，所以在上为减函数，所以，所以得证．例38．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数.(1)讨论的极值；(2)当时，证明：.【解析】（1）由函数，可得，当时，可得，解得，即函数的定义域为，令，解得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，函数取得极小值；当时，可得，解得，即函数的定义域为，令，解得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，函数取得极小值，综上可得，函数的极小值为，无极大值.（2）证明：因为，所以，解得，即函数的定义域为，令，可得，所以在单调递增，所以，即，要证不等式，只需证明，又由函数，可得，55 当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，即，即，当且仅当时，等号成立，所以，当时，，只需证明：，即，即，即，令，可得，设，可得，令，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，所以，所以，当且仅当时，等号成立，又由以上不等式的等号不能同时成立，所以.例39．已知函数在，（1）处的切线为．（1）求的单调区间与最小值；（2）求证：．【解析】解：（1），故（1），得，又（1），所以，得．则，，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以．（2）证明：令，，，递增，所以，所以当时，，令，，，递增，，所以当时，，55 要证，由，，及，得，，故原不等式成立，只需证，即证．由（1）可得，且，所以，则原不等式成立．55