2024年高考数学一轮复习讲练测：重难点突破05 极值点偏移问题与拐点偏移问题（七大题型）（原卷版）

重难点突破05极值点偏移问题与拐点偏移问题目录1、极值点偏移的相关概念所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性。若函数在处取得极值，且函数与直线交于两点，则的中点为，而往往。如下图所示。17 图1极值点不偏移图2极值点偏移极值点偏移的定义：对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为，且，（1）若，则称函数在区间上极值点偏移；（2）若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏；（3）若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏。2、对称变换主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：(1)定函数(极值点为)，即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点x0.(2)构造函数，即根据极值点构造对称函数，若证，则令.(3)判断单调性，即利用导数讨论的单调性．(4)比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系．(5)转化，即利用函数的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求．【注意】若要证明的符号问题，还需进一步讨论与x0的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处导数值的正负．构造差函数是解决极值点偏移的一种有效方法，函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效17 3、应用对数平均不等式证明极值点偏移：①由题中等式中产生对数；②将所得含对数的等式进行变形得到；③利用对数平均不等式来证明相应的问题.4、比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可.题型一：极值点偏移:加法型例1．（2023·河南周口·高二校联考阶段练习）已知函数，(1)若，求的单调区间；(2)若，，是方程的两个实数根，证明：．例2．（2023·河北石家庄·高三校联考阶段练习）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)若函数有两个零点、，证明.例3．（2023·广东深圳·高三红岭中学校考期末）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)①证明函数（为自然对数的底数）在区间内有唯一的零点；②设①中函数的零点为，记（其中表示中的较小值），若在区间内有两个不相等的实数根，证明：.17 变式1．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知函数为其极小值点．(1)求实数的值；(2)若存在，使得，求证：．变式2．（2023·湖北武汉·高二武汉市第六中学校考阶段练习）已知函数，a为实数．(1)求函数的单调区间；(2)若函数在处取得极值，是函数的导函数，且，，证明：变式3．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知函数(1)若函数在定义域上单调递增，求的最大值；(2)若函数在定义域上有两个极值点和，若，，求的最小值．变式4．（2023·全国·模拟预测）已知函数．(1)讨论函数的极值点的个数；(2)若函数恰有三个极值点、、，且，求的最大值．17 变式5．（2023·广西玉林·高二广西壮族自治区北流市高级中学校联考阶段练习）已知函数．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当时，若，求证：变式6．（2023·安徽·高二安徽师范大学附属中学校考阶段练习）已知函数．(1)若为定义域上的增函数，求a的取值范围；(2)令，设函数，且，求证：．变式7．（2023·全国·高二专题练习）已知函数（）．(1)试讨论函数的单调性；(2)若函数有两个零点，（），求证：．变式8．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若有两个零点，证明：.变式9．（2023·全国·高三专题练习）设函数.17 (1)若对恒成立，求实数的取值范围；(2)已知方程有两个不同的根、，求证：，其中为自然对数的底数.变式10．（2023·江西宜春·高三校考开学考试）已知函数，.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)设，是的两个不同零点，证明：.变式11．（2023·海南·海南华侨中学校考模拟预测）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若存在，且，使得，求证：.题型二：极值点偏移:减法型例4．（2023·全国·模拟预测）已知函数．(1)求函数的单调区间与极值．(2)若，求证：．例5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，（其中是自然对数的底数）(1)试讨论函数的零点个数；17 (2)当时，设函数的两个极值点为、且，求证：.例6．（2023·四川成都·高二川大附中校考期中）已知函数.（1）若在定义域上不单调，求的取值范围；（2）设分别是的极大值和极小值，且，求的取值范围.题型三：极值点偏移:乘积型例7．（2023·全国·高三统考阶段练习）已知函数．(1)当，和有相同的最小值，求的值；(2)若有两个零点，求证：．例8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)证明：.(2)若函数，若存在使，证明：.例9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，.(1)求证：，；(2)若存在、，且当时，使得成立，求证：.17 变式12．（2023·全国·高二专题练习）已知函数．(1)证明：若，则；(2)证明：若有两个零点，，则．变式13．（2023·江西南昌·南昌县莲塘第一中学校联考二模）已知函数，．(1)当时，恒成立，求a的取值范围．(2)若的两个相异零点为，，求证：．变式14．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知．(1)当时，讨论函数的极值点个数；(2)若存在，，使，求证：．变式15．（2023·北京通州·统考三模）已知函数(1)已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，求实数a的值；(2)已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.(3)已知有两个零点，，求实数a的取值范围并证明.17 题型四：极值点偏移:商型例10．（2023·浙江杭州·高三浙江大学附属中学校考期中）已知函数，其中为自然对数的底数.（1）讨论函数的单调性；（2）若，且，证明：.例11．（2023·全国·统考高考真题）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.例12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)设，为两个不相等的正数，且，证明：.变式16．（2023·广东茂名·茂名市第一中学校考三模）已知函数，．(1)讨论函数的单调性；(2)若关于的方程有两个不相等的实数根、，（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）求证：．17 题型五：极值点偏移:平方型例13．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知函数.(1)讨论函数的单调性：(2)若是方程的两不等实根，求证：；例14．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.(1)若，求实数的取值范围；(2)若有2个不同的零点（），求证：.例15．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，．(1)若，求的取值范围；(2)证明：若存在，，使得，则．变式17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数(1)讨论f(x)的单调性；(2)若，且，证明:.17 变式18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，，求证：.题型六：极值点偏移:混合型例16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（为自然对数的底数，）．(1)求的单调区间和极值；(2)若存在，满足，求证：．例17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)若f（1）=2，求a的值；(2)若存在两个不相等的正实数，满足，证明：①；②.例18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，在其定义域内有两个不同的极值点.(1)求的取值范围；(2)记两个极值点为，，且，当时，求证：不等式恒成立.17 变式19．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）已知．（1）求的单调区间；（2）当时，若关于x的方程存在两个正实数根，证明：且．变式20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．（1）判断函数的单调性；（2）若方程有两个不同的根，求实数的取值范围；（3）如果，且，求证：．变式21．（2023·天津河西·统考二模）设，函数．（1）若，求曲线在处的切线方程；（2）若无零点，求实数的取值范围；（3）若有两个相异零点，求证：．变式22．（2023·四川成都·高二四川省成都列五中学校考阶段练习）已知函数，.(1)讨论f（x）的单调性；(2)若时，都有，求实数a的取值范围；(3)若有不相等的两个正实数，满足，证明：.变式23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中a，b为常数，为自然对数底17 数，．(1)当时，若函数，求实数b的取值范围；(2)当时，若函数有两个极值点，，现有如下三个命题：①；②；③；请从①②③中任选一个进行证明．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）变式24．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知函数.(1)讨论的单调性和最值；(2)若关于的方程有两个不等的实数根，求证：.变式25．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）已知函数.(1)若有两个零点，的取值范围；(2)若方程有两个实根、，且，证明：.变式26．（2023·广东佛山·高二统考期末）已知函数，其中．(1)若，求的极值：(2)令函数，若存在，使得，证明：．变式27．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.17 (1)讨论的单调性；(2)若时，都有，求实数的取值范围；(3)若有不相等的两个正实数满足，求证：.题型七：拐点偏移问题例19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程.（2）若正实数满足，求证：.例20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，当时，恒成立．(1)求实数的取值范围；(2)若正实数、满足，证明：．例21．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程;(2)（ⅰ）若对于任意，都有，求实数的取值范围;（ⅱ）设，且，求证:.17 变式28．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，设，若正实数，，满足，求证：变式29．（2023·江苏盐城·江苏省东台中学校考一模）已知函数，．(1)若在处取得极值，求的值；(2)设，试讨论函数的单调性；(3)当时，若存在正实数满足，求证：．变式30．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．(1)若在处取得极值，求的值；(2)设，试讨论函数的单调性；(3)当时，若存在实数，满足，求证：．变式31．（2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）对实数，令，正实数，满足，求的最小值.变式32．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，.17 （1）若在处取得极值，求的值；（2）设，试讨论函数的单调性；（3）当时，若存在正实数满足，求证：.17 17