2024年高考数学一轮复习讲练测：重难点突破05 极值点偏移问题与拐点偏移问题（七大题型）（解析版）

重难点突破05极值点偏移问题与拐点偏移问题目录1、极值点偏移的相关概念所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性。若函数在处取得极值，且函数与直线交于两点，则的中点为，而往往。如下图所示。72 图1极值点不偏移图2极值点偏移极值点偏移的定义：对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为，且，（1）若，则称函数在区间上极值点偏移；（2）若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏；（3）若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏。2、对称变换主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：(1)定函数(极值点为)，即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点x0.(2)构造函数，即根据极值点构造对称函数，若证，则令.(3)判断单调性，即利用导数讨论的单调性．(4)比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系．(5)转化，即利用函数的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求．【注意】若要证明的符号问题，还需进一步讨论与x0的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处导数值的正负．构造差函数是解决极值点偏移的一种有效方法，函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效72 3、应用对数平均不等式证明极值点偏移：①由题中等式中产生对数；②将所得含对数的等式进行变形得到；③利用对数平均不等式来证明相应的问题.4、比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可.题型一：极值点偏移:加法型例1．（2023·河南周口·高二校联考阶段练习）已知函数，(1)若，求的单调区间；(2)若，，是方程的两个实数根，证明：．【解析】（1）由题可知的定义域为，.令，则的两根分别为，．当或时，；当时，；所以的单调递增区间为，单调递减区间为，．（2）原方程可化为，设，则，．令，得．∵在上，，在上，，∴在上单调递增，在上单调递减，∴，且当，趋向于0时，趋向于，当趋向于时，趋向于．则在和上分别有一个零点，，不妨设，∵，∴，设，则72 ，．当时，，∴在上单调递增，而，∴当时，，，即．∵，∴．∵在上单调递减，∴，即．例2．（2023·河北石家庄·高三校联考阶段练习）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)若函数有两个零点、，证明.【解析】（1）因为的定义域为，则，令，解得，令，解得，所以的单调减区间为，单调增区间为.（2）证明：不妨设，由（1）知：必有.要证，即证，即证，又，即证.令，其中，则，令，则72 在时恒成立，所以在上单调递减，即在上单调递减，所以，所以在上单调递增，所以，即，所以；接下来证明，令，则，又，即，所以，要证，即证，有，不等式两边取对数，即证，即证，即证，令，，则，令，其中，则，所以，在上单调递增，则当时，，故当时，可得函数单调递增，可得，即，所以，综上，.例3．（2023·广东深圳·高三红岭中学校考期末）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)①证明函数（为自然对数的底数）在区间内有唯一的零点；②设①中函数的零点为，记（其中表示中的较小值），若在区间内有两个不相等的实数根，证明：.【解析】（1）由已知，72 函数的定义域为，导函数当时，恒成立，所以在上单调递增；当时，令有，∴当时，，单调递增，当时，，单调递减.综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）①的定义域为，导函数，当时，，即在区间内单调递增，又，，且在区间内的图像连续不断，∴根据零点存在性定理，有在区间内有且仅有唯一零点.②当时，，函数在上单调递增，又，∴当时，，故，即；当时，，故，即，∴可得，当时，，由得单调递增；当时，，由得单调递减：若在区间内有两个不相等的实数根，，则，∴要证，需证，又，而在内递减，72 故需证，又，即证，即下证：记，，由知：，记，则：当时，；当时，，故，而，所以，由，可知.∴，即单调递增，∴当时，，即，故，得证.变式1．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知函数为其极小值点．(1)求实数的值；(2)若存在，使得，求证：．【解析】（1）的定义域为，，依题意得，得，此时，当时，，，，故，在内单调递减，当时，，，，故，在内单调递增，故在处取得极小值，符合题意.综上所述：.72 （2）由（1）知，，不妨设，当时，不等式显然成立；当，时，不等式显然成立；当，时，由（1）知在内单调递减，因为存在，使得，所以，要证，只要证，因为，所以，又在内单调递减，所以只要证，又，所以只要证，设，则，令，则，因为，所以，在上为减函数，所以，即，所以在上为减函数，所以，即.综上所述：.变式2．（2023·湖北武汉·高二武汉市第六中学校考阶段练习）已知函数，a为实数．(1)求函数的单调区间；(2)若函数在处取得极值，是函数的导函数，且，，证明：【解析】（1）函数的定义域为，72 令，所以，得，当，，当，，故函数递减区间为，递增区间为.（2）因为函数在处取得极值，所以，得，所以，得，令，因为，当时，，所以函数在单调递减，在单调递增，且当时,,当时,,故.                           先证，需证.因为，下面证明.设,则,故在上为增函数,故,所以,则,所以,即得，下面证明：令，当时，所以成立,所以，所以.当时，记,所以时，所以为减函数得,所以,即得.所以得证，综上，.变式3．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知函数72 (1)若函数在定义域上单调递增，求的最大值；(2)若函数在定义域上有两个极值点和，若，，求的最小值．【解析】（1）因为，其中，则，因为函数在上单调递增，对任意的，，即，令，其中，则，，由可得，由可得，所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，所以，，故，所以，的最大值为.（2）由题意可知，，设，由可得，则，可得，，所以，，令，其中，所以，，令，其中，则，因为，由，可得，由可得，所以，函数在上单调递减，在上单调递增，且，又因为且，所以，当时，，即，当时，，即，所以，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，.变式4．（2023·全国·模拟预测）已知函数．72 (1)讨论函数的极值点的个数；(2)若函数恰有三个极值点、、，且，求的最大值．【解析】（1）函数的定义域为，且．①，，由，可得；由，可得.所以在上单调递增，在上单调递减，因此在处取得极大值，故当时，有一个极值点；②，令，其中，则，由可得，由可得，因此在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，故，由可得，由可得，所以在上单调递减，在上单调递增，因此在处取得极小值，故当时，有一个极值点；③当时，，令得或，令，由②知，而，，令，则，所以在上单调递减，因此，故，所以函数在和上各存在唯一的零点，分别为、，所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故函数在和处取得极小值，在处取得极大值，72 所以当时，有三个极值点．综上所述，当或时，有一个极值点；当时，有三个极值点．（2）因为函数恰有三个极值点、、，所以由（1）知，，，由，两式相除得到．令，则，则，，得，，因此，所以，则．令，其中，则，令，则，所以在上单调递增，则当时，，即，故在上单调递增，所以当时，，故的最大值为．变式5．（2023·广西玉林·高二广西壮族自治区北流市高级中学校联考阶段练习）已知函数．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当时，若，求证：【解析】（1）的定义域为，因为，当时，，所以在上单调递增；当时，令得，令得，所以在上单调递增，在上单调递减；综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．72 （2）当时，，定义域为，，所以在上单调递增，在上单调递减，又因为，所以，设，则在上恒成立，所以在上单调递增，所以，即，又因为，，所以，又因为在上单调递减，所以，即．变式6．（2023·安徽·高二安徽师范大学附属中学校考阶段练习）已知函数．(1)若为定义域上的增函数，求a的取值范围；(2)令，设函数，且，求证：．【解析】（1）的定义域为，由为定义域上的增函数可得恒成立.则由得，令，所以当时，单调递增；当时，单调递减；故,则有解得.故a的取值范围为（2）72 由有有即即.令由可得当时，单调递增；当时，单调递减；则，即，解得或(负值舍去)，故.变式7．（2023·全国·高二专题练习）已知函数（）．(1)试讨论函数的单调性；(2)若函数有两个零点，（），求证：．【解析】（1）由已知，的定义域为，，①当时，，恒成立，∴此时在区间上单调递增；②当时，令，解得，当时，，在区间上单调递增，当时，，在区间上单调递减，综上所述，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减.（2）若函数有两个零点，（），则由（1）知，，在区间上单调递增，在区间上单调递减，72 且，，，当时，，当时，，（*）∵，∴，∴，又∵，∴，∴只需证明，即有.下面证明，设，，设，则，令，解得，当时，，在区间单调递减，当时，，在区间单调递增，∴，在区间上单调递增，又∵，∴，即，∴由（*）知，，∴，即.又∵，，∴，原命题得证.变式8．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.(1)讨论的单调性；72 (2)若有两个零点，证明：.【解析】（1）函数的定义域为，时，恒成立，所以在上单调递减；时，令得，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.（2）证明：时，由（1）知至多有一个零点.时，由（1）知当时，取得最小值，最小值为.①当时，由于，故只有一个零点；②当时，即，故没有零点；③当时，即，又，由（1）知在上有一个零点.又，由（1）知在有一个零点，所以在上有两个零点，的取值范围为不妨设，则，且，令，72 则，由于（且仅当等号成立，所以当时，在单调递减，又，所以，即，又，所以，又由于，且在上单调递增，所以即.变式9．（2023·全国·高三专题练习）设函数.(1)若对恒成立，求实数的取值范围；(2)已知方程有两个不同的根、，求证：，其中为自然对数的底数.【解析】（1）由，得.令，，则，令，则.所以，函数在上单增，故.①当时，则，所以在上单增，，此时对恒成立，符合题意；②当时，，，72 故存在使得，当时，，则单调递减，此时，不符合题意.综上，实数的取值范围.（2）证明：由（1）中结论，取，有，即.不妨设，，则，整理得.于是，即.变式10．（2023·江西宜春·高三校考开学考试）已知函数，.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)设，是的两个不同零点，证明：.【解析】（1）当时，，，，，曲线在处的切线方程为，即；（2）令，可得，令，，设函数与相切于，由、、可得，，，，的大致图象如下，当时，与有两个不同的交点，72 即有两个零点，所以的取值范围为，，当时，，在上递增，当时，，在上递减，要证，只要证，不妨设，由，则，构造函数，，∵，∴，∴在是递增，又，∴，∴，∴，又，∴，而，，在上递减，∴，即，∴.变式11．（2023·海南·海南华侨中学校考模拟预测）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若存在，且，使得，求证：.【解析】（1）函数的定义域为，，令，得或，在上，，在上，，在上，，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.72 （2）由（1）可知，设，，  则，因为，所以，在上单调递增.又，所以当时，，即.因为，所以，所以，因为在上单调递增，且，，所以，即.①设，，则.因为，所以，在上单调递增，又，所以当时，，即，因为，所以，所以.因为在上单调递增，且，，所以，即.②由①得，由②得，所以.题型二：极值点偏移:减法型例4．（2023·全国·模拟预测）已知函数．(1)求函数的单调区间与极值．(2)若，求证：．【解析】（1）定义域为，，令，解得：或，72 当时，；当时，；的单调递增区间为和，单调递减区间为；的极大值为，极小值为.（2）由（1）知：，，．令，，则；令，则；令，则，在上恒成立，在上单调递增，，在上恒成立，在上单调递增，，在上恒成立，在上单调递增，，对任意恒成立．，，又，，在上单调递增，，，即；令，，则；在上单调递增，，在上恒成立，在上单调递增，，对任意恒成立．，．又，，在上单调递增，且，，；由得：，，.例5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，（其中是自然对数的底数）(1)试讨论函数的零点个数；(2)当时，设函数的两个极值点为、且，求证：.72 【解析】（1）由可得，令，其中，则函数的零点个数等于直线与函数图象的公共点个数，，令可得，列表如下：减极小值增如下图所示：当时，函数无零点；当时，函数只有一个零点；当时，函数有两个零点.（2）证明：，其中，所以，，由已知可得，上述两个等式作差得，要证，即证，因为，设函数的图象交轴的正半轴于点，则，因为函数在上单调递增，，，，设函数的图象在处的切线交直线于点，函数的图象在处的切线交直线于点，因为，所以，函数的图象在处的切线方程为，联立可得，即点，72 构造函数，其中，则，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，，所以，对任意的，，当且仅当时等号成立，由图可知，则，所以，，因为，可得，函数在处的切线方程为，联立，解得，即点，因为，所以，，构造函数，其中，则，，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，则，所以，对任意的，，当且仅当时，等号成立，所以，，可得，因此，，故原不等式成立.例6．（2023·四川成都·高二川大附中校考期中）已知函数.（1）若在定义域上不单调，求的取值范围；（2）设分别是的极大值和极小值，且，求的取值范围.【解析】分析：（1）利用导数法求出函数单调递增或单调递减时，参数的取值范围为，则72 可知函数在定义域上不单调时，的取值范围为  ；（2）易知，设的两个根为，并表示出，则，令，则，再利用导数法求的取值范围.  详由已知，（1）①若在定义域上单调递增，则，即在上恒成立，而，所以；②若在定义域上单调递减，则，即在上恒成立，而，所以.因为在定义域上不单调，所以，即.（2）由（1）知，欲使在有极大值和极小值，必须.又，所以.令的两根分别为，，即的两根分别为，，于是.不妨设，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以，，所以.令，于是，，由，得，72 又，所以.因为，所以在上为减函数，所以.题型三：极值点偏移:乘积型例7．（2023·全国·高三统考阶段练习）已知函数．(1)当，和有相同的最小值，求的值；(2)若有两个零点，求证：．【解析】（1）问题转化为有两个零点，证明，进而只需要证明只需要证明，也即是，从而令，构造函数求出最值即可证出结论．【详解】（1）由．所以．所以．令，则为上的增函数，且．所以在上单调递减，上单调递增．所以．又．所以．令，则所以为上的增函数．又．令，因为在上单调递增，且，而，因此函数与直线有唯一交点，故方程在上有唯一解，所以存在唯一，使得．72 即，故，所以在上单调递减，在上单调递增．所以．所以．故而．（2）由题意有两个零点．所以，即．所以等价于：有两个零点，证明.不妨令．由．要证，只需要证明．即只需证明：．只需证明：，即．令．只需证明：．令．则，即在上为增函数．又．所以．综上所述，原不等式成立．例8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)证明：.72 (2)若函数，若存在使，证明：.【解析】（1）令，，，令，解得：；令，解得：，∴在递增，在递减，则，∴恒成立，即.（2）∵，，∴，令，解得：；令，解得：；∴在递增，在递减.又∵，，，，且，.要证，即证.∵，∴，又∵，∴只证即可.令，，恒成立，∴在单调递增.又∵，∴，∴，即，∴.例9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，.(1)求证：，；(2)若存在、，且当时，使得成立，求证：.72 【解析】（1）证明：构造函数，其中，则，因为，则，，即当时，，所以，函数在上单调递减，故当时，，即.（2）证明：先证明对数平均不等式，其中，即证，令，即证，令，其中，则，所以，函数在上为减函数，当时，，所以，当时，，本题中，若，则，此时函数在上单调递减，不合乎题意，所以，，由（1）可知，函数在上单调递减，不妨设，则，则，即，所以，，因为，则，所以，，所以，，72 所以，，所以，，由对数平均不等式可得，可得，所以，.变式12．（2023·全国·高二专题练习）已知函数．(1)证明：若，则；(2)证明：若有两个零点，，则．【解析】（1）因为定义域为，所以等价于．设，则，当时，，当时，，所以在单调递减，在单调递增，故．因为，所以，于是．（2）不妨设，由（1）可知，也是的两个零点，且，，于是，由于在单调递减，故等价于．而，故等价于．①设，则①式为．因为．设，当时，，故在单调递增，所以，从而，因此在单调递增．又，故，故，于是．变式13．（2023·江西南昌·南昌县莲塘第一中学校联考二模）已知函数，．72 (1)当时，恒成立，求a的取值范围．(2)若的两个相异零点为，，求证：．【解析】（1）当时，恒成立，即当时，恒成立，设，所以，即，，设，则，所以，当时，，即在上单调递增，所以，所以当时，，即在上单调递增，所以，若恒成立，则．所以时，恒成立，a的取值范围为.（2）由题意知，，不妨设，由得，则，令，则，即：．要证，只需证，只需证，72 即证，即证（），令（），因为，所以在上单调递增，当时，，所以成立，故．变式14．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知．(1)当时，讨论函数的极值点个数；(2)若存在，，使，求证：．【解析】（1）当时，，则，当时，，故在上单调递增，不存在极值点；当时，令，则总成立，故函数即在上单调递增，且，，所以存在，使得，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；故在上存在唯一极值点，综上，当时，函数的极值点有且仅有一个．（2）由知，整理得，（*），不妨令，则，故在上单调递增，当时，有，即，那么，72 因此，（*）即转化为，接下来证明，等价于证明，不妨令（），建构新函数，，则在上单调递减，所以，故即得证，由不等式的传递性知，即．变式15．（2023·北京通州·统考三模）已知函数(1)已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，求实数a的值；(2)已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.(3)已知有两个零点，，求实数a的取值范围并证明.【解析】（1）因为，所以.所以，又f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，所以，解得..（2）f（x）的定义域为（0，+∞），因为f（x）在定义域上为增函数，所以在（0，+∞）上恒成立.即恒成立.，即，令，所以，时，时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即.（3）定义域为72 当时，，所以在（0，+∞）上单调递减，不合题意.当时，在（0，）上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，函数存在两个零点的必要条件是，即，又，所以在（1，）上存在一个零点（）.当时，，所以在（，+∞）上存在一个零点，综上函数有两个零点，实数a的取值范围是.不妨设两个零点由，所以，所以，所以，要证，只需证，只需证，由，只需证，只需证，只需证，令，只需证，72 令，，∴H（t）在（0，1）上单调递增，∴，即成立，所以成立.题型四：极值点偏移:商型例10．（2023·浙江杭州·高三浙江大学附属中学校考期中）已知函数，其中为自然对数的底数.（1）讨论函数的单调性；（2）若，且，证明：.【解析】（1），是减函数，是增函数，所以在单调递减，∵，∴时，，单调递增；时，，单调递减.（2）由题意得，，即，，设，，则由得，，且.不妨设，则即证，由及的单调性知，.令，，则，∵，∴，，∴，取，则，又，则，72 又，，且在单调递减，∴，.下证：.（i）当时，由得，；（ii）当时，令，，则，记，，则，又在为减函数，∴，在单调递减，在单调递增，∴单调递减，从而，在单调递增，又，，∴，又，从而，由零点存在定理得，存在唯一，使得，当时，单调递减；当时，单调递增.所以，，又，，所以，，显然，，所以，，即，取，则，又，则，结合，，以及在单调递增，得到，从而.72 例11．（2023·全国·统考高考真题）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.【解析】(1)的定义域为．由得，，当时，；当时；当时，．故在区间内为增函数，在区间内为减函数，(2)[方法一]：等价转化由得，即．由，得．由（1）不妨设，则，从而，得，①令，则，当时，，在区间内为减函数，，从而，所以，由（1）得即．①令，则，当时，，在区间内为增函数，，从而，所以．又由，可得，所以．②由①②得．[方法二]【最优解】：变形为，所以．令．则上式变为，72 于是命题转换为证明：．令，则有，不妨设．由（1）知，先证．要证：．令，则，在区间内单调递增，所以，即．再证．因为，所以需证．令，所以，故在区间内单调递增．所以．故，即．综合可知．[方法三]：比值代换证明同证法2．以下证明．不妨设，则，由得，，要证，只需证，两边取对数得，即，即证．记，则.记，则，所以，在区间内单调递减．，则，所以在区间内单调递减．72 由得，所以，即．[方法四]：构造函数法由已知得，令，不妨设，所以．由（Ⅰ）知，，只需证．证明同证法2．再证明．令．令，则．所以，在区间内单调递增．因为，所以，即又因为，所以，即．因为，所以，即．综上，有结论得证．【整体点评】(2)方法一：等价转化是处理导数问题的常见方法，其中利用的对称差函数，构造函数的思想，这些都是导数问题必备的知识和技能.方法二：等价转化是常见的数学思想，构造对称差函数是最基本的极值点偏移问题的处理策略.方法三：比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可.方法四：构造函数之后想办法出现关于的式子，这是本方法证明不等式的关键思想所在.例12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)设，为两个不相等的正数，且，证明：.【解析】（1）函数的定义域为，又，72 当时，，当时，，故的递增区间为，递减区间为（2）因为，故，即，故，设，则，不妨设，由（1）可知原命题等价于：已知，证明：.  证明如下：若，恒成立；若，即时，要证：，即证，而，即证，即证：，其中设，，则，因为，故，故，所以，故在为增函数，所以，故，即成立，所以成立，综上，成立.变式16．（2023·广东茂名·茂名市第一中学校考三模）已知函数，．(1)讨论函数的单调性；(2)若关于的方程有两个不相等的实数根、，（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）求证：．【解析】（1）因为，所以，其中.①当时，，所以函数的减区间为，无增区间；72 ②当时，由得，由可得.所以函数的增区间为，减区间为．综上：当时，函数的减区间为，无增区间；当时，函数的增区间为，减区间为．（2）（i）方程可化为，即．令，因为函数在上单调递增，易知函数的值域为，结合题意，关于的方程（*）有两个不等的实根．又因为不是方程（*）的实根，所以方程（*）可化为．令，其中，则．由可得或，由可得，所以，函数在和上单调递减，在上单调递增．所以，函数的极小值为，且当时，；当时，则.作出函数和的图象如下图所示：由图可知，当时，函数与的图象有两个交点，所以，实数的取值范围是.72 （ii）要证，只需证，即证．因为，所以只需证．由（ⅰ）知，不妨设．因为，所以，即，作差可得．所以只需证，即只需证．令，只需证．令，其中，则，所以在上单调递增，故，即在上恒成立．所以原不等式得证．题型五：极值点偏移:平方型例13．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知函数.(1)讨论函数的单调性：(2)若是方程的两不等实根，求证：；【解析】（1）由題意得，函数的定义域为.由得：，当时，在上单调递增；当时，由得，由得，所以在上单调递增，在上单调递减.（2）因为是方程的两不等实根，，即是方程的两不等实根，令，则，即是方程的两不等实根.令，则，所以在上递增，在上递减，，当时，；当时，且.72 所以0，即0.令，要证，只需证，解法1（对称化构造）：令，则，令，则，所以在上递增，，所以h，所以，所以，所以，即，所以.解法2（对数均值不等式）：先证，令，只需证，只需证，令，所以在上单调递减，所以.因为，所以，所以，即，所以.例14．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.(1)若，求实数的取值范围；(2)若有2个不同的零点（），求证：.【解析】（1）因为函数的定义域为，所以成立，等价于成立.令，则，令，则，所以在内单调递减，又因为，所以当时，，单调递增；当时，，单调递72 减，所以在处取极大值也是最大值.因此，即实数的取值范围为.（2）有2个不同的零点等价于有2个不同的实数根.令，则，当时，解得.所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以在处取极大值为.又因为，当时，，当时，.且时，.所以，且.因为是方程的2个不同实数根，即.将两式相除得，令，则，，变形得，.又因为，，因此要证，只需证.因为，所以只需证，即证.因为，即证.令，则，所以在上单调递增，，即当时，成立，命题得证.例15．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，．72 (1)若，求的取值范围；(2)证明：若存在，，使得，则．【解析】（1），，令，解得，所以当时，，在上单调递增；当时，，在单调递减，所以，要使，则有，而，故，所以的取值范围为．（2）证明：当时，由（1）知，当时，单调递增；当时，单调递减，设，所以，，①若，则，成立；②若，先证，此时，要证，即证，即，，令，，，所以在(1,2)上单调递增，所以，即，，所以，因为，，所以，即．变式17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数(1)讨论f(x)的单调性；(2)若，且，证明:.【解析】（1）  当时，，，所以单调递增；，，所以单调递减；当时，，所以单调递减；，所以单调递增；（2）证明：72 ，∴，即当时，由（1）可知，此时是的极大值点，因此不妨令要证，即证：①当时，成立；②当时先证此时  要证，即证：，即，即即：①令，∴∴在区间上单调递增∴，∴①式得证.∴∵，∴  ∴   ∴变式18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，，求证：.【解析】（1）当时，，导数为，可得切线的斜率为，且，所以切线的方程为，即为；（2）证明：由题意可得，72 若，则，所以在递增，因此不存在，使得，所以；设，，则，令，，所以在递减，又，所以在恒成立，从而在递减，从而.①又由，可得，所以.②由①②可得.又因为，所以，因此要证，只需证明，即证，③设，，则，所以在上为增函数，又因为，所以，即③式成立.所以获证.题型六：极值点偏移:混合型例16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（为自然对数的底数，）．(1)求的单调区间和极值；(2)若存在，满足，求证：．【解析】（1）.当时，，所以在上单调增，无极值；72 当时，令，得，当时，；当时，；所以在上单调递减，在单调递增．所以函数的极小值为，无极大值.（2）由题（1）可知，当时才存在，满足，不妨设，设，则，因为，所以，所以，所以在上单调递减，所以，所以，即故，因为，又在上单调递增，所以，所以，下面证明：；因为，所以，所以，所以，得证.例17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)若f（1）=2，求a的值；(2)若存在两个不相等的正实数，满足，证明：①；②.【解析】（1）由，化简得：，两边平方，解得：.72 （2）不妨令，①当时，在上单调递增，故不能使得存在两个不相等的正实数，满足，舍去；当时，为定值，不合题意；当时，，由对勾函数知识可知：当时，在上单调递增，在上单调递增，两个分段函数在处函数值相同，故函数在上单调递增，不能使得存在两个不相等的正实数，满足，舍去；当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且，即分段函数在处函数值相等，要想存在两个不相等的正实数，满足，则有三种类型，第一种：，显然，令，则，当时，，即在单调递增，所以，即，由于，所以，又因为，所以，因为，而在上单调递减，所以，即，综上：；第二种情况：，显然满足，接下来证明，令，则，当时，，即在单调递增，所以，又，所以，又，所以，因为，，在上单调递增，所以，即，综上：；第三种情况：，由第一种情况可知满足，由第二种情况可知：，则，综上：，证毕.②由①可知：当时，由得：，整理得：，即；72 当时，，整理得：，整理得：，因为，所以，综上：，证毕.例18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，在其定义域内有两个不同的极值点.(1)求的取值范围；(2)记两个极值点为，，且，当时，求证：不等式恒成立.【解析】（1）由题意知，函数的定义域为，方程在有两个不同根，即方程在有两个不同根，即方程在有两个不同根；令，则，则当时，，时，，则函数在上单调递增，在上单调递减，所以，又因为，当时，，当时，，所以的取值范围为；（2）证明：欲证两边取对数等价于要证，由（1）可知，分别是方程的两个根，即，所以原式等价于，因为，，所以原式等价于要证明.又由，作差得，，即.72 所以原式等价于，令，，则不等式在上恒成立.令，又，当时，可见时，，所以在上单调增，又，,所以在恒成立，所以原不等式恒成立.变式19．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）已知．（1）求的单调区间；（2）当时，若关于x的方程存在两个正实数根，证明：且．【解析】（1）的定义域为，又由得，当时，，当时，，的减区间为：，增区间为：，（2）证明：方法一：由存在两个正实数根，整理得方程存在两个正实数根．由，知，令，则，当时，减函数；当时，增函数．所以．因为．所以的值域为，问题等价于直线和有两个不同的交点．，且，72 所以，从而．令，则，解得，，而，下面证明时，，令，则，令，则，在为减函数，，在为减函数，，在为减函数，，即．方法二：由存在两个正实数根，整理得方程存在两个正实数根．由，知，令，则，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减．所以．因为有两个零点，即，得．因为实数是的两个根，所以，从而．令，则，变形整理，要证，则只需证，即只要证，结合对数函数的图象可知，只需要证两点连线的斜率要比两点连线的斜率小即可．72 因为，所以只要证，整理得．令，则，所以在上单调递减，即，所以成立，故成立．变式20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．（1）判断函数的单调性；（2）若方程有两个不同的根，求实数的取值范围；（3）如果，且，求证：．【解析】（1）因为，所以，令，解得，令，解得，即函数在上单调递增，在上单调递减．（2）由（1）可得函数在处取得最大值，，所以函数的图象大致如下：．易知函数的值域为．因为方程有两个不同的根，所以，即，，解得．即实数的取值范围为．72 （3）证明：由，，不妨设，构造函数，，，则，所以在，上单调递增，，也即对，恒成立．由，则，，所以，即，又因为，，且在上单调递减，所以，即证．即．变式21．（2023·天津河西·统考二模）设，函数．（1）若，求曲线在处的切线方程；（2）若无零点，求实数的取值范围；（3）若有两个相异零点，求证：．【解析】（1）函数的定义域为，，当时，，则切线方程为，即．（2）①若时，则，是区间上的增函数，∵，，∴，函数在区间有唯一零点；②若，有唯一零点；③若，令，得，在区间上，，函数是增函数；在区间上，，函数是减函数；故在区间上，的极大值为，由于无零点，须使，解得，故所求实数的取值范围是．（3）证明：设的两个相异零点为，，设，∵，，∴，，72 ∴，，∵，故，故，即，即，设上式转化为（），设，∴，∴在上单调递增，∴，∴，∴．变式22．（2023·四川成都·高二四川省成都列五中学校考阶段练习）已知函数，.(1)讨论f（x）的单调性；(2)若时，都有，求实数a的取值范围；(3)若有不相等的两个正实数，满足，证明：.【解析】（1）因为，定义域为，.①当时，令，解得即当时，，单调递增，当时，，单调递减；②当时，在单调递增；③当时令，解得，即当时，，单调递减，当时，，单调递增；综上：当时，在单调递增，在单调递减；当时，在单调递增；当时，在单调递减，在单调递增.72 （2）若时，都有，即，恒成立.令，则，，令，所以，当时，，单调递增，，所以，在单调递减，所以=，所以（3）原式可整理为，令，原式为，由（1）知，在单调递增，在单调递减，则为两根，其中，不妨令，要证，即证，，只需证，令，，，令，则，，单调递增，，，单调递减.又，故，所以恒成立，即成立，72 所以，原式得证.变式23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中a，b为常数，为自然对数底数，．(1)当时，若函数，求实数b的取值范围；(2)当时，若函数有两个极值点，，现有如下三个命题：①；②；③；请从①②③中任选一个进行证明．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【解析】（1）当时，，当时，因为，所以此时不合题意；当时，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，要，只需，令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，则由得，所以，故实数b的取值范围为．（2）当时，，，令，则，因为函数有两个极值点，，所以有两个零点，若，则，单调递增，不可能有两个零点，所以，令得，当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以，72 因为有两个零点，所以，则，设，因为，，则，因为，所以，，则，取对数得，令，，则，即①令，则，因为，所以在上单调递减，在上单调递增，令，则，在上单调递减，因为，所以，即，亦即，因为，，在上单调递增，所以，则，整理得，所以，故①成立②令，则，因为，所以在上单调递减，在上单调递增，令，则，在上单调递增，又，所以当时，，即，因为，，在上单调递增，所以，所以，即，所以，即，故②成立．③令，，则，72 令，则，∴在上单调递增，则，∴，则，两边约去后化简整理得，即，故③成立．变式24．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知函数.(1)讨论的单调性和最值；(2)若关于的方程有两个不等的实数根，求证：.【解析】（1），其中若，则在上恒成立，故在上为减函数，故无最值.若，当时，；当时，；故在上为增函数，在上为减函数，故，无最小值.（2）方程即为，故，因为为上的增函数，所以所以关于的方程有两个不等的实数根即为：有两个不同的实数根.所以，所以，不妨设，，故，要证：即证，72 即证，即证，即证，设，则，故，所以在上为增函数，故，所以在上为增函数，所以，故成立.变式25．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）已知函数.(1)若有两个零点，的取值范围；(2)若方程有两个实根、，且，证明：.【解析】（1）函数的定义域为.当时，函数无零点，不合乎题意，所以，，由可得，构造函数，其中，所以，直线与函数的图象有两个交点，，由可得，列表如下：增极大值减所以，函数的极大值为，如下图所示：72 且当时，，由图可知，当时，即当时，直线与函数的图象有两个交点，故实数的取值范围是.（2）证明：因为，则，令，其中，则有，，所以，函数在上单调递增，因为方程有两个实根、，令，，则关于的方程也有两个实根、，且，要证，即证，即证，即证，由已知，所以，，整理可得，不妨设，即证，即证，令，即证，其中，构造函数，其中，，所以，函数在上单调递增，当时，，故原不等式成立.变式26．（2023·广东佛山·高二统考期末）已知函数，其中．(1)若，求的极值：(2)令函数，若存在，使得，证明：．【解析】（1）当时，，所以，当时，，，所以，当时，，，所以，72 所以在上单调递减，在上单调递增，所以的极小值为，无极大值.（2）证明：，令，则上述函数变形为，对于，，则，即在上单调递增，所以若存在，使得，则存在对应的、，使得，对于，则，因为，所以当时，当时，即在上单调递减，在上单调递增，所以为函数的唯一极小值点，所以，则，令，则，所以在上单调递减，所以，即，又，所以，又的单调性可知，即有成立，所以.变式27．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若时，都有，求实数的取值范围；(3)若有不相等的两个正实数满足，求证：.【解析】（1）函数的定义域为，.①当时，令，即，解得：.令，解得：；令，解得：；所以函数在上单调递增，在上单调递减.②当时，则，所以函数在上单调递增.综上所述：当时，函数在上单调递增，在上单调递减.72 当时，函数在上单调递增.（2）当时，都有，即，亦即对恒成立.令，只需..令，则，所以当时，，所以在上单增，所以，所以当时，.所以，所以在上单减，所以.所以.综上所述：实数的取值范围为.（3）可化为：.令，上式即为.由（1）可知：在上单调递增，在上单调递减，则为的两根，其中.不妨设，要证，只需，即，只需证.令.72 则当时，；当时，.由零点存在定理可得：存在，使得.当时，，单增；当时，，单减；又，所以..因为，，所以.所以恒成立.所以.所以.所以即证.题型七：拐点偏移问题例19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程.（2）若正实数满足，求证：.【解析】（1），切点为.，.切线为：，即.（2）.令，，，，，，为减函数，，，为增函数，72 ，所以.即.得：，得到，即：.例20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，当时，恒成立．(1)求实数的取值范围；(2)若正实数、满足，证明：．【解析】（1）根据题意，可知的定义域为，而，当时，，，为单调递增函数，当时，成立；当时，存在大于1的实数，使得，当时，成立，在区间上单调递减，当时，；不可能成立，所以，即的取值范围为.（2）证明：不妨设，正实数、满足，有（1）可知，，又为单调递增函数，所以，又，所以只要证明：，设，则，可得，当时，成立，在区间上单调增函数，72 又，当时，成立，即，所以不等式成立，所以.例21．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程;(2)（ⅰ）若对于任意，都有，求实数的取值范围;（ⅱ）设，且，求证:.【解析】（1）由已知得，切点，则切线斜率，所以切线方程为.（2）（ⅰ）依题意知，只要，，因为，，，所以在递减，在递增，所以，，所以，解得：.（ⅱ）证明：因为，定义域为，由得，即，令令，，则，，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以72 即，又因为，所以，即.变式28．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，设，若正实数，，满足，求证：【解析】试题分析：求出函数的导数，通过讨论的范围求出函数的单调区间即可；结合已知条件构造函数，然后结合函数单调性得到要证的结论．解析：（1）①时，，即，则在和上单增，在上单减；②时，，，则在上单增③时，即，则在和上单增，在上单减.（2）由得：；；设函数.因为，所以在区间上，单调递减，在区间上，单调递增；因而函数的最小值为.由函数知，即，又，故.变式29．（2023·江苏盐城·江苏省东台中学校考一模）已知函数，．(1)若在处取得极值，求的值；(2)设，试讨论函数的单调性；(3)当时，若存在正实数满足，求证：．【解析】（1）因为，所以，因为在处取得极值，所以，解得．                     验证：当时，，72 令，即，解得；令，即，解得；在上单调递增，上单调递减，所以在处取得极大值．（2）因为，所以．①若，，，所以当时，，所以函数在上单调递增；当时，，所以函数在上单调递减．②若，，(i)当时，，令，即，解得或，令，即，解得，所以函数在和上单调递增，在上单调递减；(ii)当时，恒成立，所以函数在上单调递增；(iii)当时，，令，即，解得或，令，即，解得，所以函数在和上单调递增，在上单调递减．（3）证明：当时，，因为，所以，72 即，所以．               令，，则，当时，，所以函数在上单调递减；当时，，所以函数在上单调递增．所以函数在时，取得最小值，最小值为．   所以，即，所以或．因为为正实数，所以．当时，，此时不存在满足条件，所以．变式30．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．(1)若在处取得极值，求的值；(2)设，试讨论函数的单调性；(3)当时，若存在实数，满足，求证：．【解析】（1）因为，所以，因为在处取得极值，所以，解得：．验证：当时，，易得在处取得极大值．（2）因为，所以，①若，则当时，，所以函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减；②若，，当时，易得函数在和上单调递增，在上单调递减；当时，恒成立，所以函数在上单调递增；72 当时，易得函数在和上单调递增，在上单调递减.（3）证明：当时，因为，所以，所以，令，，则，当时，，所以函数在上单调递减；当时，，所以函数在上单调递增；所以函数在时，取得最小值，最小值为1，所以，即，所以，当时，此时不存在，满足等号成立条件，所以．变式31．（2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）对实数，令，正实数，满足，求的最小值.【解析】（1）.若，当时，，即在上单调递增；当时，，即在上单调递减.若，当时，，即在（，上均单调递增；当时，，即在上单调递减.若，则，即在上单调递增.若，当时，，即在，上均单调递增；当时，，即在上单调递减.（2）当实数时，，，72 ，，令，，由于，知当时，，即单调递减；当时，，即单调递增.从而，，于是，，即，而，所以，而当，时，取最小值6.变式32．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，.（1）若在处取得极值，求的值；（2）设，试讨论函数的单调性；（3）当时，若存在正实数满足，求证：.【解析】（1）因为，所以，因为在处取得极值，所以，解得．                     验证：当时，在处取得极大值．                        （2）因为所以．①若，则当时，，所以函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减．②若，，当时，易得函数在和上单调递增，72 在上单调递减；                                  当时，恒成立，所以函数在上单调递增；当时，易得函数在和上单调递增，在上单调递减．                                      （3）证明：当时，，因为，所以，即，所以．               令，，则，当时，，所以函数在上单调递减；当时，，所以函数在上单调递增．所以函数在时，取得最小值，最小值为．   所以，即，所以或．因为为正实数，所以．当时，，此时不存在满足条件，所以．72 72