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2024年高考数学一轮复习讲练测:重难点突破05 极值点偏移问题与拐点偏移问题(七大题型)(解析版)
2024年高考数学一轮复习讲练测:重难点突破05 极值点偏移问题与拐点偏移问题(七大题型)(解析版)
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重难点突破05极值点偏移问题与拐点偏移问题目录1、极值点偏移的相关概念所谓极值点偏移,是指对于单极值函数,由于函数极值点左右的增减速度不同,使得函数图像没有对称性。若函数在处取得极值,且函数与直线交于两点,则的中点为,而往往。如下图所示。72 图1极值点不偏移图2极值点偏移极值点偏移的定义:对于函数在区间内只有一个极值点,方程的解分别为,且,(1)若,则称函数在区间上极值点偏移;(2)若,则函数在区间上极值点左偏,简称极值点左偏;(3)若,则函数在区间上极值点右偏,简称极值点右偏。2、对称变换主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题.其解题要点如下:(1)定函数(极值点为),即利用导函数符号的变化判断函数单调性,进而确定函数的极值点x0.(2)构造函数,即根据极值点构造对称函数,若证,则令.(3)判断单调性,即利用导数讨论的单调性.(4)比较大小,即判断函数在某段区间上的正负,并得出与的大小关系.(5)转化,即利用函数的单调性,将与的大小关系转化为与之间的关系,进而得到所证或所求.【注意】若要证明的符号问题,还需进一步讨论与x0的大小,得出所在的单调区间,从而得出该处导数值的正负.构造差函数是解决极值点偏移的一种有效方法,函数的单调性是函数的重要性质之一,它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关,但如果我们能挖掘其内在联系,抓住其本质,那么运用函数的单调性解题,能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识,并掌握好使用的技巧和方法,这是非常必要的.根据题目的特点,构造一个适当的函数,利用它的单调性进行解题,是一种常用技巧.许多问题,如果运用这种思想去解决,往往能获得简洁明快的思路,有着非凡的功效72 3、应用对数平均不等式证明极值点偏移:①由题中等式中产生对数;②将所得含对数的等式进行变形得到;③利用对数平均不等式来证明相应的问题.4、比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径,然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可.题型一:极值点偏移:加法型例1.(2023·河南周口·高二校联考阶段练习)已知函数,(1)若,求的单调区间;(2)若,,是方程的两个实数根,证明:.【解析】(1)由题可知的定义域为,.令,则的两根分别为,.当或时,;当时,;所以的单调递增区间为,单调递减区间为,.(2)原方程可化为,设,则,.令,得.∵在上,,在上,,∴在上单调递增,在上单调递减,∴,且当,趋向于0时,趋向于,当趋向于时,趋向于.则在和上分别有一个零点,,不妨设,∵,∴,设,则72 ,.当时,,∴在上单调递增,而,∴当时,,,即.∵,∴.∵在上单调递减,∴,即.例2.(2023·河北石家庄·高三校联考阶段练习)已知函数.(1)求函数的单调区间;(2)若函数有两个零点、,证明.【解析】(1)因为的定义域为,则,令,解得,令,解得,所以的单调减区间为,单调增区间为.(2)证明:不妨设,由(1)知:必有.要证,即证,即证,又,即证.令,其中,则,令,则72 在时恒成立,所以在上单调递减,即在上单调递减,所以,所以在上单调递增,所以,即,所以;接下来证明,令,则,又,即,所以,要证,即证,有,不等式两边取对数,即证,即证,即证,令,,则,令,其中,则,所以,在上单调递增,则当时,,故当时,可得函数单调递增,可得,即,所以,综上,.例3.(2023·广东深圳·高三红岭中学校考期末)已知函数.(1)讨论函数的单调性;(2)①证明函数(为自然对数的底数)在区间内有唯一的零点;②设①中函数的零点为,记(其中表示中的较小值),若在区间内有两个不相等的实数根,证明:.【解析】(1)由已知,72 函数的定义域为,导函数当时,恒成立,所以在上单调递增;当时,令有,∴当时,,单调递增,当时,,单调递减.综上所述:当时,在上单调递增;当时,在上单调递增,在上单调递减.(2)①的定义域为,导函数,当时,,即在区间内单调递增,又,,且在区间内的图像连续不断,∴根据零点存在性定理,有在区间内有且仅有唯一零点.②当时,,函数在上单调递增,又,∴当时,,故,即;当时,,故,即,∴可得,当时,,由得单调递增;当时,,由得单调递减:若在区间内有两个不相等的实数根,,则,∴要证,需证,又,而在内递减,72 故需证,又,即证,即下证:记,,由知:,记,则:当时,;当时,,故,而,所以,由,可知.∴,即单调递增,∴当时,,即,故,得证.变式1.(2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测)已知函数为其极小值点.(1)求实数的值;(2)若存在,使得,求证:.【解析】(1)的定义域为,,依题意得,得,此时,当时,,,,故,在内单调递减,当时,,,,故,在内单调递增,故在处取得极小值,符合题意.综上所述:.72 (2)由(1)知,,不妨设,当时,不等式显然成立;当,时,不等式显然成立;当,时,由(1)知在内单调递减,因为存在,使得,所以,要证,只要证,因为,所以,又在内单调递减,所以只要证,又,所以只要证,设,则,令,则,因为,所以,在上为减函数,所以,即,所以在上为减函数,所以,即.综上所述:.变式2.(2023·湖北武汉·高二武汉市第六中学校考阶段练习)已知函数,a为实数.(1)求函数的单调区间;(2)若函数在处取得极值,是函数的导函数,且,,证明:【解析】(1)函数的定义域为,72 令,所以,得,当,,当,,故函数递减区间为,递增区间为.(2)因为函数在处取得极值,所以,得,所以,得,令,因为,当时,,所以函数在单调递减,在单调递增,且当时,,当时,,故. 先证,需证.因为,下面证明.设,则,故在上为增函数,故,所以,则,所以,即得,下面证明:令,当时,所以成立,所以,所以.当时,记,所以时,所以为减函数得,所以,即得.所以得证,综上,.变式3.(2023·江西景德镇·统考模拟预测)已知函数72 (1)若函数在定义域上单调递增,求的最大值;(2)若函数在定义域上有两个极值点和,若,,求的最小值.【解析】(1)因为,其中,则,因为函数在上单调递增,对任意的,,即,令,其中,则,,由可得,由可得,所以,函数的单调递减区间为,单调递增区间为,所以,,故,所以,的最大值为.(2)由题意可知,,设,由可得,则,可得,,所以,,令,其中,所以,,令,其中,则,因为,由,可得,由可得,所以,函数在上单调递减,在上单调递增,且,又因为且,所以,当时,,即,当时,,即,所以,函数在上单调递减,在上单调递增,所以,.变式4.(2023·全国·模拟预测)已知函数.72 (1)讨论函数的极值点的个数;(2)若函数恰有三个极值点、、,且,求的最大值.【解析】(1)函数的定义域为,且.①,,由,可得;由,可得.所以在上单调递增,在上单调递减,因此在处取得极大值,故当时,有一个极值点;②,令,其中,则,由可得,由可得,因此在上单调递增,在上单调递减,所以,所以,故,由可得,由可得,所以在上单调递减,在上单调递增,因此在处取得极小值,故当时,有一个极值点;③当时,,令得或,令,由②知,而,,令,则,所以在上单调递减,因此,故,所以函数在和上各存在唯一的零点,分别为、,所以函数在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,故函数在和处取得极小值,在处取得极大值,72 所以当时,有三个极值点.综上所述,当或时,有一个极值点;当时,有三个极值点.(2)因为函数恰有三个极值点、、,所以由(1)知,,,由,两式相除得到.令,则,则,,得,,因此,所以,则.令,其中,则,令,则,所以在上单调递增,则当时,,即,故在上单调递增,所以当时,,故的最大值为.变式5.(2023·广西玉林·高二广西壮族自治区北流市高级中学校联考阶段练习)已知函数.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当时,若,求证:【解析】(1)的定义域为,因为,当时,,所以在上单调递增;当时,令得,令得,所以在上单调递增,在上单调递减;综上,当时,在上单调递增;当时,在上单调递增,在上单调递减.72 (2)当时,,定义域为,,所以在上单调递增,在上单调递减,又因为,所以,设,则在上恒成立,所以在上单调递增,所以,即,又因为,,所以,又因为在上单调递减,所以,即.变式6.(2023·安徽·高二安徽师范大学附属中学校考阶段练习)已知函数.(1)若为定义域上的增函数,求a的取值范围;(2)令,设函数,且,求证:.【解析】(1)的定义域为,由为定义域上的增函数可得恒成立.则由得,令,所以当时,单调递增;当时,单调递减;故,则有解得.故a的取值范围为(2)72 由有有即即.令由可得当时,单调递增;当时,单调递减;则,即,解得或(负值舍去),故.变式7.(2023·全国·高二专题练习)已知函数().(1)试讨论函数的单调性;(2)若函数有两个零点,(),求证:.【解析】(1)由已知,的定义域为,,①当时,,恒成立,∴此时在区间上单调递增;②当时,令,解得,当时,,在区间上单调递增,当时,,在区间上单调递减,综上所述,当时,在区间上单调递增;当时,在区间上单调递增,在区间上单调递减.(2)若函数有两个零点,(),则由(1)知,,在区间上单调递增,在区间上单调递减,72 且,,,当时,,当时,,(*)∵,∴,∴,又∵,∴,∴只需证明,即有.下面证明,设,,设,则,令,解得,当时,,在区间单调递减,当时,,在区间单调递增,∴,在区间上单调递增,又∵,∴,即,∴由(*)知,,∴,即.又∵,,∴,原命题得证.变式8.(2023·全国·高二专题练习)已知函数.(1)讨论的单调性;72 (2)若有两个零点,证明:.【解析】(1)函数的定义域为,时,恒成立,所以在上单调递减;时,令得,当时,;当时,,所以在上单调递减,在上单调递增.(2)证明:时,由(1)知至多有一个零点.时,由(1)知当时,取得最小值,最小值为.①当时,由于,故只有一个零点;②当时,即,故没有零点;③当时,即,又,由(1)知在上有一个零点.又,由(1)知在有一个零点,所以在上有两个零点,的取值范围为不妨设,则,且,令,72 则,由于(且仅当等号成立,所以当时,在单调递减,又,所以,即,又,所以,又由于,且在上单调递增,所以即.变式9.(2023·全国·高三专题练习)设函数.(1)若对恒成立,求实数的取值范围;(2)已知方程有两个不同的根、,求证:,其中为自然对数的底数.【解析】(1)由,得.令,,则,令,则.所以,函数在上单增,故.①当时,则,所以在上单增,,此时对恒成立,符合题意;②当时,,,72 故存在使得,当时,,则单调递减,此时,不符合题意.综上,实数的取值范围.(2)证明:由(1)中结论,取,有,即.不妨设,,则,整理得.于是,即.变式10.(2023·江西宜春·高三校考开学考试)已知函数,.(1)当时,求曲线在处的切线方程;(2)设,是的两个不同零点,证明:.【解析】(1)当时,,,,,曲线在处的切线方程为,即;(2)令,可得,令,,设函数与相切于,由、、可得,,,,的大致图象如下,当时,与有两个不同的交点,72 即有两个零点,所以的取值范围为,,当时,,在上递增,当时,,在上递减,要证,只要证,不妨设,由,则,构造函数,,∵,∴,∴在是递增,又,∴,∴,∴,又,∴,而,,在上递减,∴,即,∴.变式11.(2023·海南·海南华侨中学校考模拟预测)已知函数.(1)讨论的单调性;(2)若存在,且,使得,求证:.【解析】(1)函数的定义域为,,令,得或,在上,,在上,,在上,,所以在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.72 (2)由(1)可知,设,, 则,因为,所以,在上单调递增.又,所以当时,,即.因为,所以,所以,因为在上单调递增,且,,所以,即.①设,,则.因为,所以,在上单调递增,又,所以当时,,即,因为,所以,所以.因为在上单调递增,且,,所以,即.②由①得,由②得,所以.题型二:极值点偏移:减法型例4.(2023·全国·模拟预测)已知函数.(1)求函数的单调区间与极值.(2)若,求证:.【解析】(1)定义域为,,令,解得:或,72 当时,;当时,;的单调递增区间为和,单调递减区间为;的极大值为,极小值为.(2)由(1)知:,,.令,,则;令,则;令,则,在上恒成立,在上单调递增,,在上恒成立,在上单调递增,,在上恒成立,在上单调递增,,对任意恒成立.,,又,,在上单调递增,,,即;令,,则;在上单调递增,,在上恒成立,在上单调递增,,对任意恒成立.,.又,,在上单调递增,且,,;由得:,,.例5.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,(其中是自然对数的底数)(1)试讨论函数的零点个数;(2)当时,设函数的两个极值点为、且,求证:.72 【解析】(1)由可得,令,其中,则函数的零点个数等于直线与函数图象的公共点个数,,令可得,列表如下:减极小值增如下图所示:当时,函数无零点;当时,函数只有一个零点;当时,函数有两个零点.(2)证明:,其中,所以,,由已知可得,上述两个等式作差得,要证,即证,因为,设函数的图象交轴的正半轴于点,则,因为函数在上单调递增,,,,设函数的图象在处的切线交直线于点,函数的图象在处的切线交直线于点,因为,所以,函数的图象在处的切线方程为,联立可得,即点,72 构造函数,其中,则,当时,,此时函数单调递减,当时,,此时函数单调递增,所以,,所以,对任意的,,当且仅当时等号成立,由图可知,则,所以,,因为,可得,函数在处的切线方程为,联立,解得,即点,因为,所以,,构造函数,其中,则,,当时,,此时函数单调递减,当时,,此时函数单调递增,则,所以,对任意的,,当且仅当时,等号成立,所以,,可得,因此,,故原不等式成立.例6.(2023·四川成都·高二川大附中校考期中)已知函数.(1)若在定义域上不单调,求的取值范围;(2)设分别是的极大值和极小值,且,求的取值范围.【解析】分析:(1)利用导数法求出函数单调递增或单调递减时,参数的取值范围为,则72 可知函数在定义域上不单调时,的取值范围为 ;(2)易知,设的两个根为,并表示出,则,令,则,再利用导数法求的取值范围. 详由已知,(1)①若在定义域上单调递增,则,即在上恒成立,而,所以;②若在定义域上单调递减,则,即在上恒成立,而,所以.因为在定义域上不单调,所以,即.(2)由(1)知,欲使在有极大值和极小值,必须.又,所以.令的两根分别为,,即的两根分别为,,于是.不妨设,则在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,所以,,所以.令,于是,,由,得,72 又,所以.因为,所以在上为减函数,所以.题型三:极值点偏移:乘积型例7.(2023·全国·高三统考阶段练习)已知函数.(1)当,和有相同的最小值,求的值;(2)若有两个零点,求证:.【解析】(1)问题转化为有两个零点,证明,进而只需要证明只需要证明,也即是,从而令,构造函数求出最值即可证出结论.【详解】(1)由.所以.所以.令,则为上的增函数,且.所以在上单调递减,上单调递增.所以.又.所以.令,则所以为上的增函数.又.令,因为在上单调递增,且,而,因此函数与直线有唯一交点,故方程在上有唯一解,所以存在唯一,使得.72 即,故,所以在上单调递减,在上单调递增.所以.所以.故而.(2)由题意有两个零点.所以,即.所以等价于:有两个零点,证明.不妨令.由.要证,只需要证明.即只需证明:.只需证明:,即.令.只需证明:.令.则,即在上为增函数.又.所以.综上所述,原不等式成立.例8.(2023·全国·高三专题练习)已知函数.(1)证明:.72 (2)若函数,若存在使,证明:.【解析】(1)令,,,令,解得:;令,解得:,∴在递增,在递减,则,∴恒成立,即.(2)∵,,∴,令,解得:;令,解得:;∴在递增,在递减.又∵,,,,且,.要证,即证.∵,∴,又∵,∴只证即可.令,,恒成立,∴在单调递增.又∵,∴,∴,即,∴.例9.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,.(1)求证:,;(2)若存在、,且当时,使得成立,求证:.72 【解析】(1)证明:构造函数,其中,则,因为,则,,即当时,,所以,函数在上单调递减,故当时,,即.(2)证明:先证明对数平均不等式,其中,即证,令,即证,令,其中,则,所以,函数在上为减函数,当时,,所以,当时,,本题中,若,则,此时函数在上单调递减,不合乎题意,所以,,由(1)可知,函数在上单调递减,不妨设,则,则,即,所以,,因为,则,所以,,所以,,72 所以,,所以,,由对数平均不等式可得,可得,所以,.变式12.(2023·全国·高二专题练习)已知函数.(1)证明:若,则;(2)证明:若有两个零点,,则.【解析】(1)因为定义域为,所以等价于.设,则,当时,,当时,,所以在单调递减,在单调递增,故.因为,所以,于是.(2)不妨设,由(1)可知,也是的两个零点,且,,于是,由于在单调递减,故等价于.而,故等价于.①设,则①式为.因为.设,当时,,故在单调递增,所以,从而,因此在单调递增.又,故,故,于是.变式13.(2023·江西南昌·南昌县莲塘第一中学校联考二模)已知函数,.72 (1)当时,恒成立,求a的取值范围.(2)若的两个相异零点为,,求证:.【解析】(1)当时,恒成立,即当时,恒成立,设,所以,即,,设,则,所以,当时,,即在上单调递增,所以,所以当时,,即在上单调递增,所以,若恒成立,则.所以时,恒成立,a的取值范围为.(2)由题意知,,不妨设,由得,则,令,则,即:.要证,只需证,只需证,72 即证,即证(),令(),因为,所以在上单调递增,当时,,所以成立,故.变式14.(2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测)已知.(1)当时,讨论函数的极值点个数;(2)若存在,,使,求证:.【解析】(1)当时,,则,当时,,故在上单调递增,不存在极值点;当时,令,则总成立,故函数即在上单调递增,且,,所以存在,使得,所以当时,,单调递减;当时,,单调递增;故在上存在唯一极值点,综上,当时,函数的极值点有且仅有一个.(2)由知,整理得,(*),不妨令,则,故在上单调递增,当时,有,即,那么,72 因此,(*)即转化为,接下来证明,等价于证明,不妨令(),建构新函数,,则在上单调递减,所以,故即得证,由不等式的传递性知,即.变式15.(2023·北京通州·统考三模)已知函数(1)已知f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为,求实数a的值;(2)已知f(x)在定义域上是增函数,求实数a的取值范围.(3)已知有两个零点,,求实数a的取值范围并证明.【解析】(1)因为,所以.所以,又f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为,所以,解得..(2)f(x)的定义域为(0,+∞),因为f(x)在定义域上为增函数,所以在(0,+∞)上恒成立.即恒成立.,即,令,所以,时,时,所以在上单调递增,在上单调递减,所以,即.(3)定义域为72 当时,,所以在(0,+∞)上单调递减,不合题意.当时,在(0,)上单调递减,在上单调递增,所以的最小值为,函数存在两个零点的必要条件是,即,又,所以在(1,)上存在一个零点().当时,,所以在(,+∞)上存在一个零点,综上函数有两个零点,实数a的取值范围是.不妨设两个零点由,所以,所以,所以,要证,只需证,只需证,由,只需证,只需证,只需证,令,只需证,72 令,,∴H(t)在(0,1)上单调递增,∴,即成立,所以成立.题型四:极值点偏移:商型例10.(2023·浙江杭州·高三浙江大学附属中学校考期中)已知函数,其中为自然对数的底数.(1)讨论函数的单调性;(2)若,且,证明:.【解析】(1),是减函数,是增函数,所以在单调递减,∵,∴时,,单调递增;时,,单调递减.(2)由题意得,,即,,设,,则由得,,且.不妨设,则即证,由及的单调性知,.令,,则,∵,∴,,∴,取,则,又,则,72 又,,且在单调递减,∴,.下证:.(i)当时,由得,;(ii)当时,令,,则,记,,则,又在为减函数,∴,在单调递减,在单调递增,∴单调递减,从而,在单调递增,又,,∴,又,从而,由零点存在定理得,存在唯一,使得,当时,单调递减;当时,单调递增.所以,,又,,所以,,显然,,所以,,即,取,则,又,则,结合,,以及在单调递增,得到,从而.72 例11.(2023·全国·统考高考真题)已知函数.(1)讨论的单调性;(2)设,为两个不相等的正数,且,证明:.【解析】(1)的定义域为.由得,,当时,;当时;当时,.故在区间内为增函数,在区间内为减函数,(2)[方法一]:等价转化由得,即.由,得.由(1)不妨设,则,从而,得,①令,则,当时,,在区间内为减函数,,从而,所以,由(1)得即.①令,则,当时,,在区间内为增函数,,从而,所以.又由,可得,所以.②由①②得.[方法二]【最优解】:变形为,所以.令.则上式变为,72 于是命题转换为证明:.令,则有,不妨设.由(1)知,先证.要证:.令,则,在区间内单调递增,所以,即.再证.因为,所以需证.令,所以,故在区间内单调递增.所以.故,即.综合可知.[方法三]:比值代换证明同证法2.以下证明.不妨设,则,由得,,要证,只需证,两边取对数得,即,即证.记,则.记,则,所以,在区间内单调递减.,则,所以在区间内单调递减.72 由得,所以,即.[方法四]:构造函数法由已知得,令,不妨设,所以.由(Ⅰ)知,,只需证.证明同证法2.再证明.令.令,则.所以,在区间内单调递增.因为,所以,即又因为,所以,即.因为,所以,即.综上,有结论得证.【整体点评】(2)方法一:等价转化是处理导数问题的常见方法,其中利用的对称差函数,构造函数的思想,这些都是导数问题必备的知识和技能.方法二:等价转化是常见的数学思想,构造对称差函数是最基本的极值点偏移问题的处理策略.方法三:比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径,然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可.方法四:构造函数之后想办法出现关于的式子,这是本方法证明不等式的关键思想所在.例12.(2023·全国·高三专题练习)已知函数.(1)讨论的单调性;(2)设,为两个不相等的正数,且,证明:.【解析】(1)函数的定义域为,又,72 当时,,当时,,故的递增区间为,递减区间为(2)因为,故,即,故,设,则,不妨设,由(1)可知原命题等价于:已知,证明:. 证明如下:若,恒成立;若,即时,要证:,即证,而,即证,即证:,其中设,,则,因为,故,故,所以,故在为增函数,所以,故,即成立,所以成立,综上,成立.变式16.(2023·广东茂名·茂名市第一中学校考三模)已知函数,.(1)讨论函数的单调性;(2)若关于的方程有两个不相等的实数根、,(ⅰ)求实数a的取值范围;(ⅱ)求证:.【解析】(1)因为,所以,其中.①当时,,所以函数的减区间为,无增区间;72 ②当时,由得,由可得.所以函数的增区间为,减区间为.综上:当时,函数的减区间为,无增区间;当时,函数的增区间为,减区间为.(2)(i)方程可化为,即.令,因为函数在上单调递增,易知函数的值域为,结合题意,关于的方程(*)有两个不等的实根.又因为不是方程(*)的实根,所以方程(*)可化为.令,其中,则.由可得或,由可得,所以,函数在和上单调递减,在上单调递增.所以,函数的极小值为,且当时,;当时,则.作出函数和的图象如下图所示:由图可知,当时,函数与的图象有两个交点,所以,实数的取值范围是.72 (ii)要证,只需证,即证.因为,所以只需证.由(ⅰ)知,不妨设.因为,所以,即,作差可得.所以只需证,即只需证.令,只需证.令,其中,则,所以在上单调递增,故,即在上恒成立.所以原不等式得证.题型五:极值点偏移:平方型例13.(2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测)已知函数.(1)讨论函数的单调性:(2)若是方程的两不等实根,求证:;【解析】(1)由題意得,函数的定义域为.由得:,当时,在上单调递增;当时,由得,由得,所以在上单调递增,在上单调递减.(2)因为是方程的两不等实根,,即是方程的两不等实根,令,则,即是方程的两不等实根.令,则,所以在上递增,在上递减,,当时,;当时,且.72 所以0,即0.令,要证,只需证,解法1(对称化构造):令,则,令,则,所以在上递增,,所以h,所以,所以,所以,即,所以.解法2(对数均值不等式):先证,令,只需证,只需证,令,所以在上单调递减,所以.因为,所以,所以,即,所以.例14.(2023·全国·高二专题练习)已知函数.(1)若,求实数的取值范围;(2)若有2个不同的零点(),求证:.【解析】(1)因为函数的定义域为,所以成立,等价于成立.令,则,令,则,所以在内单调递减,又因为,所以当时,,单调递增;当时,,单调递72 减,所以在处取极大值也是最大值.因此,即实数的取值范围为.(2)有2个不同的零点等价于有2个不同的实数根.令,则,当时,解得.所以当时,,单调递增,当时,,单调递减,所以在处取极大值为.又因为,当时,,当时,.且时,.所以,且.因为是方程的2个不同实数根,即.将两式相除得,令,则,,变形得,.又因为,,因此要证,只需证.因为,所以只需证,即证.因为,即证.令,则,所以在上单调递增,,即当时,成立,命题得证.例15.(2023·全国·高二专题练习)已知函数,.72 (1)若,求的取值范围;(2)证明:若存在,,使得,则.【解析】(1),,令,解得,所以当时,,在上单调递增;当时,,在单调递减,所以,要使,则有,而,故,所以的取值范围为.(2)证明:当时,由(1)知,当时,单调递增;当时,单调递减,设,所以,,①若,则,成立;②若,先证,此时,要证,即证,即,,令,,,所以在(1,2)上单调递增,所以,即,,所以,因为,,所以,即.变式17.(2023·全国·高三专题练习)已知函数(1)讨论f(x)的单调性;(2)若,且,证明:.【解析】(1) 当时,,,所以单调递增;,,所以单调递减;当时,,所以单调递减;,所以单调递增;(2)证明:72 ,∴,即当时,由(1)可知,此时是的极大值点,因此不妨令要证,即证:①当时,成立;②当时先证此时 要证,即证:,即,即即:①令,∴∴在区间上单调递增∴,∴①式得证.∴∵,∴ ∴ ∴变式18.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,.(1)当时,求曲线在点处的切线方程;(2)若,,求证:.【解析】(1)当时,,导数为,可得切线的斜率为,且,所以切线的方程为,即为;(2)证明:由题意可得,72 若,则,所以在递增,因此不存在,使得,所以;设,,则,令,,所以在递减,又,所以在恒成立,从而在递减,从而.①又由,可得,所以.②由①②可得.又因为,所以,因此要证,只需证明,即证,③设,,则,所以在上为增函数,又因为,所以,即③式成立.所以获证.题型六:极值点偏移:混合型例16.(2023·全国·高三专题练习)已知函数(为自然对数的底数,).(1)求的单调区间和极值;(2)若存在,满足,求证:.【解析】(1).当时,,所以在上单调增,无极值;72 当时,令,得,当时,;当时,;所以在上单调递减,在单调递增.所以函数的极小值为,无极大值.(2)由题(1)可知,当时才存在,满足,不妨设,设,则,因为,所以,所以,所以在上单调递减,所以,所以,即故,因为,又在上单调递增,所以,所以,下面证明:;因为,所以,所以,所以,得证.例17.(2023·全国·高三专题练习)已知函数.(1)若f(1)=2,求a的值;(2)若存在两个不相等的正实数,满足,证明:①;②.【解析】(1)由,化简得:,两边平方,解得:.72 (2)不妨令,①当时,在上单调递增,故不能使得存在两个不相等的正实数,满足,舍去;当时,为定值,不合题意;当时,,由对勾函数知识可知:当时,在上单调递增,在上单调递增,两个分段函数在处函数值相同,故函数在上单调递增,不能使得存在两个不相等的正实数,满足,舍去;当时,函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,且,即分段函数在处函数值相等,要想存在两个不相等的正实数,满足,则有三种类型,第一种:,显然,令,则,当时,,即在单调递增,所以,即,由于,所以,又因为,所以,因为,而在上单调递减,所以,即,综上:;第二种情况:,显然满足,接下来证明,令,则,当时,,即在单调递增,所以,又,所以,又,所以,因为,,在上单调递增,所以,即,综上:;第三种情况:,由第一种情况可知满足,由第二种情况可知:,则,综上:,证毕.②由①可知:当时,由得:,整理得:,即;72 当时,,整理得:,整理得:,因为,所以,综上:,证毕.例18.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,在其定义域内有两个不同的极值点.(1)求的取值范围;(2)记两个极值点为,,且,当时,求证:不等式恒成立.【解析】(1)由题意知,函数的定义域为,方程在有两个不同根,即方程在有两个不同根,即方程在有两个不同根;令,则,则当时,,时,,则函数在上单调递增,在上单调递减,所以,又因为,当时,,当时,,所以的取值范围为;(2)证明:欲证两边取对数等价于要证,由(1)可知,分别是方程的两个根,即,所以原式等价于,因为,,所以原式等价于要证明.又由,作差得,,即.72 所以原式等价于,令,,则不等式在上恒成立.令,又,当时,可见时,,所以在上单调增,又,,所以在恒成立,所以原不等式恒成立.变式19.(2023·陕西宝鸡·校考模拟预测)已知.(1)求的单调区间;(2)当时,若关于x的方程存在两个正实数根,证明:且.【解析】(1)的定义域为,又由得,当时,,当时,,的减区间为:,增区间为:,(2)证明:方法一:由存在两个正实数根,整理得方程存在两个正实数根.由,知,令,则,当时,减函数;当时,增函数.所以.因为.所以的值域为,问题等价于直线和有两个不同的交点.,且,72 所以,从而.令,则,解得,,而,下面证明时,,令,则,令,则,在为减函数,,在为减函数,,在为减函数,,即.方法二:由存在两个正实数根,整理得方程存在两个正实数根.由,知,令,则,当时,在上单调递增;当时,在上单调递减.所以.因为有两个零点,即,得.因为实数是的两个根,所以,从而.令,则,变形整理,要证,则只需证,即只要证,结合对数函数的图象可知,只需要证两点连线的斜率要比两点连线的斜率小即可.72 因为,所以只要证,整理得.令,则,所以在上单调递减,即,所以成立,故成立.变式20.(2023·全国·高三专题练习)已知函数.(1)判断函数的单调性;(2)若方程有两个不同的根,求实数的取值范围;(3)如果,且,求证:.【解析】(1)因为,所以,令,解得,令,解得,即函数在上单调递增,在上单调递减.(2)由(1)可得函数在处取得最大值,,所以函数的图象大致如下:.易知函数的值域为.因为方程有两个不同的根,所以,即,,解得.即实数的取值范围为.72 (3)证明:由,,不妨设,构造函数,,,则,所以在,上单调递增,,也即对,恒成立.由,则,,所以,即,又因为,,且在上单调递减,所以,即证.即.变式21.(2023·天津河西·统考二模)设,函数.(1)若,求曲线在处的切线方程;(2)若无零点,求实数的取值范围;(3)若有两个相异零点,求证:.【解析】(1)函数的定义域为,,当时,,则切线方程为,即.(2)①若时,则,是区间上的增函数,∵,,∴,函数在区间有唯一零点;②若,有唯一零点;③若,令,得,在区间上,,函数是增函数;在区间上,,函数是减函数;故在区间上,的极大值为,由于无零点,须使,解得,故所求实数的取值范围是.(3)证明:设的两个相异零点为,,设,∵,,∴,,72 ∴,,∵,故,故,即,即,设上式转化为(),设,∴,∴在上单调递增,∴,∴,∴.变式22.(2023·四川成都·高二四川省成都列五中学校考阶段练习)已知函数,.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若时,都有,求实数a的取值范围;(3)若有不相等的两个正实数,满足,证明:.【解析】(1)因为,定义域为,.①当时,令,解得即当时,,单调递增,当时,,单调递减;②当时,在单调递增;③当时令,解得,即当时,,单调递减,当时,,单调递增;综上:当时,在单调递增,在单调递减;当时,在单调递增;当时,在单调递减,在单调递增.72 (2)若时,都有,即,恒成立.令,则,,令,所以,当时,,单调递增,,所以,在单调递减,所以=,所以(3)原式可整理为,令,原式为,由(1)知,在单调递增,在单调递减,则为两根,其中,不妨令,要证,即证,,只需证,令,,,令,则,,单调递增,,,单调递减.又,故,所以恒成立,即成立,72 所以,原式得证.变式23.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,其中a,b为常数,为自然对数底数,.(1)当时,若函数,求实数b的取值范围;(2)当时,若函数有两个极值点,,现有如下三个命题:①;②;③;请从①②③中任选一个进行证明.(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分)【解析】(1)当时,,当时,因为,所以此时不合题意;当时,当时,,单调递减,当时,,单调递增,所以,要,只需,令,则,当时,,单调递增;当时,,单调递减,所以,则由得,所以,故实数b的取值范围为.(2)当时,,,令,则,因为函数有两个极值点,,所以有两个零点,若,则,单调递增,不可能有两个零点,所以,令得,当时,,单调递减;当时,,单调递增;所以,72 因为有两个零点,所以,则,设,因为,,则,因为,所以,,则,取对数得,令,,则,即①令,则,因为,所以在上单调递减,在上单调递增,令,则,在上单调递减,因为,所以,即,亦即,因为,,在上单调递增,所以,则,整理得,所以,故①成立②令,则,因为,所以在上单调递减,在上单调递增,令,则,在上单调递增,又,所以当时,,即,因为,,在上单调递增,所以,所以,即,所以,即,故②成立.③令,,则,72 令,则,∴在上单调递增,则,∴,则,两边约去后化简整理得,即,故③成立.变式24.(2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测)已知函数.(1)讨论的单调性和最值;(2)若关于的方程有两个不等的实数根,求证:.【解析】(1),其中若,则在上恒成立,故在上为减函数,故无最值.若,当时,;当时,;故在上为增函数,在上为减函数,故,无最小值.(2)方程即为,故,因为为上的增函数,所以所以关于的方程有两个不等的实数根即为:有两个不同的实数根.所以,所以,不妨设,,故,要证:即证,72 即证,即证,即证,设,则,故,所以在上为增函数,故,所以在上为增函数,所以,故成立.变式25.(2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模)已知函数.(1)若有两个零点,的取值范围;(2)若方程有两个实根、,且,证明:.【解析】(1)函数的定义域为.当时,函数无零点,不合乎题意,所以,,由可得,构造函数,其中,所以,直线与函数的图象有两个交点,,由可得,列表如下:增极大值减所以,函数的极大值为,如下图所示:72 且当时,,由图可知,当时,即当时,直线与函数的图象有两个交点,故实数的取值范围是.(2)证明:因为,则,令,其中,则有,,所以,函数在上单调递增,因为方程有两个实根、,令,,则关于的方程也有两个实根、,且,要证,即证,即证,即证,由已知,所以,,整理可得,不妨设,即证,即证,令,即证,其中,构造函数,其中,,所以,函数在上单调递增,当时,,故原不等式成立.变式26.(2023·广东佛山·高二统考期末)已知函数,其中.(1)若,求的极值:(2)令函数,若存在,使得,证明:.【解析】(1)当时,,所以,当时,,,所以,当时,,,所以,72 所以在上单调递减,在上单调递增,所以的极小值为,无极大值.(2)证明:,令,则上述函数变形为,对于,,则,即在上单调递增,所以若存在,使得,则存在对应的、,使得,对于,则,因为,所以当时,当时,即在上单调递减,在上单调递增,所以为函数的唯一极小值点,所以,则,令,则,所以在上单调递减,所以,即,又,所以,又的单调性可知,即有成立,所以.变式27.(2023·全国·高三专题练习)已知函数.(1)讨论的单调性;(2)若时,都有,求实数的取值范围;(3)若有不相等的两个正实数满足,求证:.【解析】(1)函数的定义域为,.①当时,令,即,解得:.令,解得:;令,解得:;所以函数在上单调递增,在上单调递减.②当时,则,所以函数在上单调递增.综上所述:当时,函数在上单调递增,在上单调递减.72 当时,函数在上单调递增.(2)当时,都有,即,亦即对恒成立.令,只需..令,则,所以当时,,所以在上单增,所以,所以当时,.所以,所以在上单减,所以.所以.综上所述:实数的取值范围为.(3)可化为:.令,上式即为.由(1)可知:在上单调递增,在上单调递减,则为的两根,其中.不妨设,要证,只需,即,只需证.令.72 则当时,;当时,.由零点存在定理可得:存在,使得.当时,,单增;当时,,单减;又,所以..因为,,所以.所以恒成立.所以.所以.所以即证.题型七:拐点偏移问题例19.(2023·全国·高三专题练习)已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程.(2)若正实数满足,求证:.【解析】(1),切点为.,.切线为:,即.(2).令,,,,,,为减函数,,,为增函数,72 ,所以.即.得:,得到,即:.例20.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,,当时,恒成立.(1)求实数的取值范围;(2)若正实数、满足,证明:.【解析】(1)根据题意,可知的定义域为,而,当时,,,为单调递增函数,当时,成立;当时,存在大于1的实数,使得,当时,成立,在区间上单调递减,当时,;不可能成立,所以,即的取值范围为.(2)证明:不妨设,正实数、满足,有(1)可知,,又为单调递增函数,所以,又,所以只要证明:,设,则,可得,当时,成立,在区间上单调增函数,72 又,当时,成立,即,所以不等式成立,所以.例21.(2023·陕西咸阳·统考模拟预测)已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程;(2)(ⅰ)若对于任意,都有,求实数的取值范围;(ⅱ)设,且,求证:.【解析】(1)由已知得,切点,则切线斜率,所以切线方程为.(2)(ⅰ)依题意知,只要,,因为,,,所以在递减,在递增,所以,,所以,解得:.(ⅱ)证明:因为,定义域为,由得,即,令令,,则,,,所以在上单调递减,在上单调递增,所以,所以72 即,又因为,所以,即.变式28.(2023·全国·高三专题练习)已知函数.(1)当时,讨论函数的单调性;(2)当时,设,若正实数,,满足,求证:【解析】试题分析:求出函数的导数,通过讨论的范围求出函数的单调区间即可;结合已知条件构造函数,然后结合函数单调性得到要证的结论.解析:(1)①时,,即,则在和上单增,在上单减;②时,,,则在上单增③时,即,则在和上单增,在上单减.(2)由得:;;设函数.因为,所以在区间上,单调递减,在区间上,单调递增;因而函数的最小值为.由函数知,即,又,故.变式29.(2023·江苏盐城·江苏省东台中学校考一模)已知函数,.(1)若在处取得极值,求的值;(2)设,试讨论函数的单调性;(3)当时,若存在正实数满足,求证:.【解析】(1)因为,所以,因为在处取得极值,所以,解得. 验证:当时,,72 令,即,解得;令,即,解得;在上单调递增,上单调递减,所以在处取得极大值.(2)因为,所以.①若,,,所以当时,,所以函数在上单调递增;当时,,所以函数在上单调递减.②若,,(i)当时,,令,即,解得或,令,即,解得,所以函数在和上单调递增,在上单调递减;(ii)当时,恒成立,所以函数在上单调递增;(iii)当时,,令,即,解得或,令,即,解得,所以函数在和上单调递增,在上单调递减.(3)证明:当时,,因为,所以,72 即,所以. 令,,则,当时,,所以函数在上单调递减;当时,,所以函数在上单调递增.所以函数在时,取得最小值,最小值为. 所以,即,所以或.因为为正实数,所以.当时,,此时不存在满足条件,所以.变式30.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,.(1)若在处取得极值,求的值;(2)设,试讨论函数的单调性;(3)当时,若存在实数,满足,求证:.【解析】(1)因为,所以,因为在处取得极值,所以,解得:.验证:当时,,易得在处取得极大值.(2)因为,所以,①若,则当时,,所以函数在上单调递增;当时,,函数在上单调递减;②若,,当时,易得函数在和上单调递增,在上单调递减;当时,恒成立,所以函数在上单调递增;72 当时,易得函数在和上单调递增,在上单调递减.(3)证明:当时,因为,所以,所以,令,,则,当时,,所以函数在上单调递减;当时,,所以函数在上单调递增;所以函数在时,取得最小值,最小值为1,所以,即,所以,当时,此时不存在,满足等号成立条件,所以.变式31.(2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习)已知函数,.(1)讨论函数的单调性;(2)对实数,令,正实数,满足,求的最小值.【解析】(1).若,当时,,即在上单调递增;当时,,即在上单调递减.若,当时,,即在(,上均单调递增;当时,,即在上单调递减.若,则,即在上单调递增.若,当时,,即在,上均单调递增;当时,,即在上单调递减.(2)当实数时,,,72 ,,令,,由于,知当时,,即单调递减;当时,,即单调递增.从而,,于是,,即,而,所以,而当,时,取最小值6.变式32.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,.(1)若在处取得极值,求的值;(2)设,试讨论函数的单调性;(3)当时,若存在正实数满足,求证:.【解析】(1)因为,所以,因为在处取得极值,所以,解得. 验证:当时,在处取得极大值. (2)因为所以.①若,则当时,,所以函数在上单调递增;当时,,函数在上单调递减.②若,,当时,易得函数在和上单调递增,72 在上单调递减; 当时,恒成立,所以函数在上单调递增;当时,易得函数在和上单调递增,在上单调递减. (3)证明:当时,,因为,所以,即,所以. 令,,则,当时,,所以函数在上单调递减;当时,,所以函数在上单调递增.所以函数在时,取得最小值,最小值为. 所以,即,所以或.因为为正实数,所以.当时,,此时不存在满足条件,所以.72 72
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高考 - 一轮复习
发布时间:2024-09-09 16:00:01
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