2024年高考数学一轮复习讲练测：重难点突破06 双变量问题（六大题型）（解析版）

重难点突破06双变量问题目录破解双参数不等式的方法：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.题型一：双变量单调问题例1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)设，证明：对任意，，．【解析】（1）当时，，，切点为求导，切线斜率曲线在处的切线方程为．（2），的定义域为，求导，在上单调递减．不妨假设，∴等价于．即．令，则．，，．从而在单调减少，故，即，故对任意．例2．（2023·安徽·校联考三模）设，函数.（Ⅰ）讨论函数在定义域上的单调性；46 （Ⅱ）若函数的图象在点处的切线与直线平行，且对任意，，不等式恒成立，求实数的取值范围.【解析】（Ⅰ）的定义域是..（1）当时，，的定义域内单增；（2）当时，由得，.此时在内单增，在内单减；（3）当时，，的定义域内单减.（Ⅱ）因为，所以，.此时.由（Ⅰ）知，时，的定义域内单减.不妨设，则，即，即恒成立.令，，则在内单减，即.，，.而，当且仅当时，取得最小值，所以，故实数的取值范围是.例3．（2023·福建漳州·高二福建省漳州第一中学校考期末）已知函数（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）若时，任意的，总有，求实数的取值范围.【解析】（Ⅰ）（）①当时，故在上单调递增；46 ②当时，故在上单调递减；③当时，令解得  则当时；当时，故在上单调递减；在上单调递增；综上所述：当时，故在上单调递增；当时，故在上单调递减；当时，在上单调递减；在上单调递增．                                     （II）由（Ⅰ）知当时故在上单调递增；对任意即令因为所以在上单调递增；所以即在上恒成立  故令则又因为所以>1当且仅当时取等号，所以，故不等式恒成立的条件是即.所以，实数的取值范围为.变式1．（2023·全国·模拟预测）已知函数，，且．（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．46 【解析】（1）函数的定义域为，将代入的解析式，得，求导得．当时，，故在上单调递增；当时，令，得．所以当时，，当时，，于是在区间上单调递减，在区间上单调递增．综上，当时，在上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增．（2）当时，．因为，所以不等式可化为，所以对任意的恒成立，所以函数为上的减函数，所以在上恒成立，可得在上恒成立，设，则，令，得．所以当上单调递增，在区间上单调递减，所以，得．所以实数的取值范围为．变式2．（2023·天津南开·高三南开大学附属中学校考开学考试）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)当时，证明；(3)若对任意的不等正数，总有，求实数的取值范围．【解析】（1）由题意得：定义域为，；当时，，，在上恒成立，46 在上单调递增；当时，令，解得：，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减；综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）知：；要证，只需证，即证；设，则，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，；又，，即.（3）不妨设，则由得：，即，令，则在上单调递增，在上恒成立，即，又，；令，则，令，解得：（舍）或，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，46 ，，解得：；的取值范围为.题型二：双变量不等式:转化为单变量问题例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）已知，若存在两个极值点，且，求的取值范围.【解析】（1）函数的定义域为，，当时，，当且仅当即“=”，则，在上单调递减，当时，方程有两个正根为，，当或时，，当时，，于是得在、上单调递减，在上单调递增；（2）因存在两个极值点，且，由(1)知，即，则，显然，对是递增的，从而有，，令，，令，，即在上单调递增，，则，于是得在上单调递增，46 从而得，即，所以的取值范围.例5．（2023·新疆·高二克拉玛依市高级中学校考阶段练习）已知函数(1)若，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；(2)当时，讨论f（x）的单调性；(3)设f（x）存在两个极值点且，若求证：.【解析】（1）若，则，所以，又，所以，即f（x）在点（1，0）处的切线斜率为2，所以切线方程为.（2）f（x）的定义域为（0，+∞），，设，其.①当时，即时，，即，此时f（x）在（0，+∞）为单调递增函数.②当时，即时，设两根为.当时，，即，即f（x）的增区间为，.当时，，即，即f（x）的减区间为.综上：当时，f（x）的单增区间为；当时，f（x）的增区间为减区间为().（3）由（2），因为f（x）存在两个极值点，所以存在两个互异的正实数根，所以，则，所以，所以.46 令，则，∵，∴，∴在上单调递减，∴，而，即，∴.例6．（2023·山东东营·高二东营市第一中学校考开学考试）已知函数（为常数）(1)讨论的单调性(2)若函数存在两个极值点，且，求的范围.【解析】（1）∵，，当时，，，在定义域上单调递增；当时，在定义域上，时，在定义域上单调递增；当时，令得，，，时，；时，则在，上单调递增，在上单调递减.综上可知：当时，在定义域上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减.（其中，）（2）由（1）知有两个极值点，则，的二根为，则，，46 ，设，又，∴.则，，∴在递增，.即的范围是变式3．（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）已知函数，其中．(1)当时，求函数在处的切线方程；(2)讨论函数的单调性；(3)若存在两个极值点的取值范围为，求的取值范围．【解析】（1）当时，，定义域为，所以，所以，又，所以函数在处的切线方程为，即.（2）的定义域是，，，令，则．①当或，即时，恒成立，所以在上单调递增．②当，即时，由，得或；由，得，所以在和上单调递增，在上单调递减．综上所述，当时，在上单调递增；46 当时，在和上单调递增，在上单调递减（3）由（2）当时，在上单调递增，此时函数无极值；当时，有两个极值点，即方程有两个正根，所以，则在上是减函数．所以，因为，所以，令，则，，所以在上单调递减，又，且，所以，由，又在上单调递减，所以且，所以实数的取值范围为．46 变式4．（2023·江苏苏州·高三统考阶段练习）已知函数(1)讨论函数的单调性；(2)若函数存在两个极值点，记,求的取值范围.【解析】（1）的定义域为，对求导得：，令1）若，则，即，所以在上单调递增.2）若①当时，即，则，即，所以在上单调递增.②当时，即，由，得当时，当时，综上所述，当时，在上单调递增；当时,在上是单调递增的，在上是单调递减的.（2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当.由于的两个极值点满足，所以，所以，同理，，46 所以，令，所以，所以在上是单调递减的，在上是单调递增的因为，且当，所，所以的取值范围是变式5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，，且，求的取值范围．【解析】（1）由题意，函数，可得，其中，当时，即时，，所以在上单调递增；当时，令，即，解得，，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以函数在区间单调递减，在单调递增；当时，令，即，解得，，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，（2）由（1）值，当时，函数存在两个极值点，且，因为，46 所以，整理得，所以，即，因为，可得，令，则，所以在为单调递增函数，又因为，所以当时，，即实数的取值范围为．变式6．（2023·吉林长春·高二长春市实验中学校考期中）设函数．(1)当时，求的单调区间；(2)若有两个极值点，①求a的取值范围；②证明：．【解析】（1）当时，，故，  所以，当时，；当时，，所以的单调递减区间为，单调递增区间为．（2）①，依据题意可知有两个不等实数根，即有两个不等实数根．                由，得，所以有两个不等实数根可转化为函数和的图象有两个不同的交点，令，则，46 由，解得；由，解得；所以在单调递增，在单调递减，所以．又当时，，当时，，因为与的图象有两个不同的交点，所以．          ②由①可知有两个不等实数根，联立可得，所以不等式等价于．令，则，且等价于．所以只要不等式在时成立即可．                设函数，则，设，则，故在单调递增，得，所以在单调递减，得．综上，原不等式成立．题型三：双变量不等式:极值和差商积问题例7．（2023·黑龙江牡丹江·高三牡丹江一中校考期末）已知，函数.(1)当时，求的单调区间和极值；(2)若有两个不同的极值点，.（i）求实数的取值范围；（ii）证明：（……为自然对数的底数）.【解析】（1）当时，()，则，故当时，，当时，，故的递减区间为，递增区间为，46 极小值为，无极大值；（2）(i)因为()，令()，问题可转化函数有个不同的零点，又，令，故函数在上递减，在上递增，故，故，即，当时，在时，函数，不符题意，当时，则，，，即当时，存在，，使得在上递增，在上递减，在上递增，故有两个不同的极值点的a的取值范围为；（ii）因为，，且，令，则，，又，令，即只要证明，即，令，则，46 故在上递增，且，所以，即，从而，又因为二次函数的判别式，即，即，所以在上恒成立，故.例8．（2023·内蒙古·高三霍林郭勒市第一中学统考阶段练习）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若存在两个极值点，证明：．【解析】（1）∵，当且仅当时等号成立．当时，恒有，则在上单调递增；当时，，令，．∵，∴方程有两个不相等的实数根，∴，，显然，∴当和时，；当时，．∴当和时，，∴在和上单调递增；当时，，∴在上单调递减．综上，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减．（2）证明：由（1）知，当时，存在两个极值点，∴，，∴，，∴．设，由（1）易知，∴．要证明，只要证明．46 设，则，∴当时，单调递增，从而，即，∴成立，从而成立．要证明，只要证明．由（1）知，，，只要证明．设，则，，则当时，单调递增，从而；则当时，单调递减，从而，即成立，从而．综上，得．例9．（2023·全国·模拟预测）已知函数．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)若存在两个极值点、，求实数的取值范围，并证明：．【解析】（1）当时，，则，，∴，∴曲线在处的切线方程为，即．（2）由题意知，令，，∵存在两个极值点，∴有两个零点，易知，当时，，在上单调递增，g(x)至多有一个零点，不合题意．当时，由得，46 若，则，单调递增；若，则，单调递减．要使有两个零点，需，解得．当时，，∴在上存在唯一零点，记为．∵，∴，，设，则，令，，则，∴在上单调递减，∴，即，∴在上存在唯一零点，记为．则，随的变化情况如下表：﹣0﹢0﹣↘极小值↗极大值↘∴实数的取值范围是．∵，，∴，∵，∴，∵，∴要证，只要证，只要证，只要证，又，∴只要证，即证．设，，则，46 ∴F(x)在时单调递增，∴，∴成立，即得证．变式7．（2023·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期中）已知函数，.(1)当时，讨论方程解的个数；(2)当时，有两个极值点，，且，若，证明：（i）；（ii）.【解析】（1）方法一：，.设，则.设，则，单调递减.，当时，，，单调递增；当时，，，单调递减.，当时，方程有一解，当时，方程无解；方法二：设，则.设，则.单调递增当时，，当时，，单调递减；当时，，单调递增.，方程有一解.当时，.令,令，则在上单调递增，又46 ，则在上单调递减，在上单调递增，则.即，无解，即方程无解.综上，当时，方程有一解，当时，方程无解．（2）（i）当时，，则，，是方程的两根.设，则，令，解得，在上单调递减，在上单调递增.，，当时，，，.由.令，，，.等价于.设，，则，单调递增，，，即，，综上，；（ii）由（i）知，，..46 由（i）知，，设，，则.单调递减，，即..设，，则.单调递增，又，当时，.，，即命题得证.变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（1）讨论函数的单调区间；（2）设，是函数的两个极值点，证明：恒成立．【解析】（1）由题意，函数的定义域为，且，①当时，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减；②当时，令，解得或，令，解得，所以在，上单调递增，在上单调递减；③当时，则，所以在上单调递增，④当时，令，解得或，令，解得，所以在，上单调递增，在上单调递减；46 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；（2）由，则的定义域为，且，若有两个极值点，，则方程的判别式，且，，解得，又由，所以，即，所以，设函数，其中，，由得，又，所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，即的最大值为，从而恒成立．变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若有两个极值点，求证：.46 【解析】（1），当时，f（x）递增区间为；当m<0时，f（x）递增区间为，通减区间是；（2），当时，在递增，无极值点；当或时，令，得若，则，在递增，无极值点；若，则，不妨设.此时g（x）有两个极值点.因为，故，即.题型四：双变量不等式:中点型例10．（2023·天津北辰·高三天津市第四十七中学校考期末）已知函数．（1）已知为的极值点，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）当时，若对于任意，都存在，使得，证明：．【解析】（1），由为的极值点.所以，解得,由，得，由，得，所以在上单调递减，在上单调递增.满足在处取得极值.46 则，所以过点的切线方程为(2),则当时，，则在上单调递增.令,，，对称轴方程为当时，开口向下，对称轴方程为，所以在上单调递减，所以，所以.则在上单调递增.当时，，有两个不等实数根，所以得出，得出则在上单调递增，在上单调递减综上所以：当时，在上单调递增.当时，在上单调递增，在上单调递减.（3）所以又所以即46 则由，则，设设，则所以在上单调递减,所以所以恒成立,即由，则由，则在时恒成立.所以在上单调递增.所以由，可得成立.例11．（2023·湖北武汉·统考一模）已知函数.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）设，证明：当时，；（Ⅲ）设是的两个零点，证明.【解析】（Ⅰ）求导，并判断导数的符号，分别讨论的取值，确定函数的单调区间．（Ⅱ）构造函数，利用导数求函数当时的最大值小于零即可．（Ⅲ）由（Ⅱ）得，从而，于是，由（Ⅰ）知，46 .试题解析：（Ⅰ）的定义域为，求导数，得，若，则，此时在上单调递增，若，则由得，当时，，当时，，此时在上单调递减，在上单调递增.（Ⅱ）令，则.求导数，得，当时，，在上是减函数.而，，故当时，（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，当时，函数至多有一个零点，故，从而的最小值为，且，不妨设，则，，由（Ⅱ）得，从而，于是，由（Ⅰ）知，.点晴:本题考查函数导数的单调性.不等式比较大小，函数的零点问题：在（Ⅰ）中通过求导，并判断导数的符号，分别讨论的取值，确定函数的单调区间．（Ⅱ）通过构造函数，把不等式证明问题转化为函数求最值问题，求函数当时的最大值小于零即可．（Ⅲ）要充分利用（Ⅰ）（Ⅱ）问的结论.例12．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知函数且.（1）讨论函数的单调性;（2）当时，若函数的图象与轴交于，两点，设线段中点的横坐标为，证明:.46 【解析】（1）函数的定义域为，，解得(舍去)，．当时，在上恒成立，所以函数单调递增；当时，在上，函数单调递减，在上，函数单调递增．综上，时，函数单调递增；时，在上单调递减；在上单调递增；（2）由（1）知，，，令，，则，当时，恒成立，所以单调递增，即单调递增；又，故要证，即证；设，，且，由题设条件知，，因此只需证；由题意，，两式作差可得，，即，即，下面先证明，即证，令，，则显然成立，所以在上单调递增，则，所以，即，46 所以，因此，即，，即因此，所以原命题得证.变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若函数的图像与x轴交于A，B两点，线段中点的横坐标为，证明：.【解析】（1）的定义域为，．①若，则，所以在单调递增．②若，则由得，且当时，，当时，．所以在单调递增，在单调递减．（2）由（1）可知：当时，函数在上单调递增，故图像与x轴至多有一个交点，不符合题意，从而．当时，在单调递增，在单调递减，不妨设，，，则．由，两式相减得：，46 即：，又令，，则，从而函数在上单调递减，故，从而，又，所以．变式11．（2023·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设函数图象上不重合的两点.证明：.（是直线的斜率）【解析】（1）函数的定义域为，且①当时，，此时在单调递增；②当时，令可得或（舍），，由得，由得，所以在上单调递增，在上单调递减.综上：①当时，函数在上单调递增；②当时，函数在上单调递增，在上单调递减.（2）由题意得，46 所以又，要证成立，即证：成立，即证：成立.令，即证时，成立.设则所以函数在上是增函数，所以，都有，即，，所以变式12．（2023·福建泉州·高二福建省永春第一中学校考阶段练习）已知函数（）．（1）讨论函数的单调性；（2）设，若函数的两个极值点，（）恰为函数的两个零点，且的取值范围是，求实数的取值范围．【解析】（1）由题意，函数的定义域为，可得，对于方程的判别式（其中），46 （i）若，即时，恒成立，故在上单调递增；（ii）若，即时，令，解得，．当，；当时，．所以当时，单调递增区间为，无单调递减区间；当时，单调递增区间为和；单调递增区间为．（2）由（1）知：且，，其中，因为，可得（），所以，由，可得两式相减，得．（）∴令，可得，则，所以在上单调递减，由的取值范围是，得的取值范围是，所以，46 又因为，故实数的取值范围是．题型五：双变量不等式:剪刀模型例13．（2023·天津和平·耀华中学校考模拟预测）已知函数在点(，)处的切线方程为．(1)求a、b；(2)设曲线y＝f(x)与x轴负半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y＝h(x)，求证：对于任意的实数x，都有f(x)≥h(x)；(3)若关于的方程有两个实数根、，且，证明：．【解析】（1）将代入切线方程中，有，∴，即，又，∴．若，则，与矛盾，故．（2）由(1)可知，，，令，有或，故为．曲线在点处的切线方程为，则，令，则，∴，令g(x)＝，则，∴在R上单调递增，∵，∴当时，，单调递减，当x＞－1时，，单调递增．46 ∴，即成立．（3）由(2)知在处的切线方程为，且f(x)≥h(x)，则，设，则，故，∵单调递减，∴，设在处的切线方程为，易得，令，则，令，则，当时，,单调递减，，当时，,单调递增，又∵，∴当时，，T(x)单调递减，当时，，T(x)单调递增，∴，即，∴，设，则，故，∵单调递增，故，又，则.例14．（2023·辽宁沈阳·统考三模）已知函数在点处的切线方程为．（1）求，；（2）函数图像与轴负半轴的交点为，且在点处的切线方程为，函数，，求的最小值；（3）关于的方程有两个实数根，，且，证明：．46 【解析】（1）将代入切线方程中，得，所以，又或，又，所以，若，则（舍去）；所以，则；（2）由（1）可知，，所以，令，有或，故曲线与轴负半轴的唯一交点为曲线在点处的切线方程为，则，因为，所以，所以，．若，，若，，，所以.若，，46 ，，所以在上单调递增，，函数在上单调递增．当时，取得极小值，也是最小值，所以最小值．（3），设的根为，则，又单调递减，由（2）知恒成立．又，所以，设曲线在点处的切线方程为，则，令，．当时，，当时，，故函数在上单调递增，又，所以当时，，当时，，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，即，设的根为，则，又函数单调递增，故，故．又，所以．46   例15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，是的极值点．(1)求的值；(2)设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线为直线．求证：曲线上的点都不在直线的上方；(3)若关于的方程有两个不等实根，，求证：．【解析】(1)；由题意知，，；(2)证明：设曲线在，处切线为直线；令；；；在上单调递增，在，上单调递减；；，即，即上的点都不在直线的上方；(3)由（2）设方程的解为；则有，解得；由题意知，；令，；；在上单调递增；；的图象不在的下方；与交点的横坐标为；则有，即；；46 关于的函数在上单调递增；．变式13．（2023·安徽·校联考二模）已知函数，其中是自然对数的底数.(1)设曲线与轴正半轴相交于点，曲线在点处的切线为，求证：曲线上的点都不在直线的上方；(2)若关于的方程（为正实数）有两个不等实根，求证：.【解析】（1）证明：由题意可得：，，可得曲线在点处的切线为.令，，当时，，当时，∴函数在上单调递减，在上单调递增，曲线上的点都不在直线的上方.（2）证明：由（1）可得，解得，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，所以的最大值为，，曲线在点处的切线为，由（1）得，令，，，∴由零点的存在性定理知，同理可得曲线在点处的切线为，设与的交点的横坐标分别为则，46 .下面证明：.，，且，.变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，在点处的切线方程记为，令．(1)设函数的图象与轴正半轴相交于，在点处的切线为，证明：曲线上的点都不在直线的上方；(2)关于的方程为正实数）有两个实根，，求证：．【解析】(1)证明：由，则，即切点为求导，则切线斜率，在点处的切线方程为：，记为，．由．，解得．求导，则切线斜率．在点处的切线为．令．．求导，恒成立，令，得，解得当时，，函数单减；当时，，函数单增．，即．因此曲线上的点都不在直线的上方．(2)由（1）知，求导当时，，函数单增，当时，，函数单减；，且有两个零点：0，又在点处的切线为．46 同理可得：在点处的切线为：．设与，的交点的恒坐标分别为，．又，则，．．．题型六：双变量不等式:主元法例16．（2023·江苏盐城·高三盐城中学校联考开学考试）已知函数．(1)求函数的单调区间和最小值；(2)当时，求证：（其中为自然对数的底数）；(3)若，求证：．【解析】(1)令得：，，；令得：；在上为增函数；在上为减函数；.(2)由（1）知：当时，有，，即：，.(3)将变形为：46 即只证：设函数，令，得：．在上单调递增；在上单调递减；的最小值为：，即总有：．，即：，令，，则，成立．例17．（2023·河南信阳·高二校联考阶段练习）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数的最小值，并证明：当时，．（其中e为自然对数的底数）【解析】(1)的定义域为，因为，所以，又因为，所以曲线在点处的切线方程为，即．(2)令，，解得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以．46 证明如下：当时，有，所以，即，所以．例18．（2023·山西晋中·高二校考阶段练习）已知函数（其中为自然对数的底数）．(1)若，求函数的单调区间；(2)若，求证：，．【解析】（1）由题知，所以，当时，，当时，，当时，，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，（2）由题知，，，所以，因为，所以令即证在上恒成立，因为当时，，当时，，即在上单调递增，当时，，即在上单调递减，46 因为，，令，所以，因为，所以，所以在上单调递增，所以，所以恒成立，因为，所以在上恒成立，即得证.变式15．（2023·广东广州·高三广州大学附属中学校考阶段练习）已知函数（其中且为常数，为自然对数的底数，．(1)若函数的极值点只有一个，求实数的取值范围；(2)当时，若（其中恒成立，求的最小值的最大值．【解析】（1）函数的定义域为，其导数为．由或，设，，当时，；当时，．即在区间上递增，在区间上递减，，又当时，，当时，且恒成立．当或时，方程无根，函数只有一个极值点．当时，方程的根也为，此时的因式恒成立，故函数只有一个极值点．当时，方程有两个根、且，，函数在区间单调递减；，单调递增；单调递减；，单调递增，此时函数46 有、1、三个极值点．综上所述，当或时，函数只有一个极值点．（2）依题意得，令，则对，都有成立．，当时，函数在上单调递增，注意到，若，，有成立，这与恒成立矛盾；当时，因为在上为减函数，且，函数在区间上单调递增，在上单调递减，，若对，都有成立，则只需成立，，当时，则的最小值，，函数在上递增，在上递减，，即的最小值的最大值为；综上所述，的最小值的最大值为．变式16．（2023·全国·高三专题练习）设函数.(1)求的极值；(2)设，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围；(3)若，证明：.【解析】(1)函数，则，令，解得：，且当时，，时，因此：的极小值为，无极大值.(2)令，则，注意到：，若要，必须要求，即，亦即另一方面：当时，因为单调递增，则当时，46 恒成立，所以在时单调递增，故；故实数的取值范围为：；(3)构造函数，，，，，，在上是单调递增的；故即：另一方面，构造函数，，在上是单调递减的故即：综上，.变式17．（2023·广东珠海·高一珠海市第二中学校考期中）已知函数.(1)求不等式的解集；(2)设函数，若存在，使得，求实数的取值范围；(3)若对任意的，关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）由，得，即，解得或，所以不等式的解集为或；（2）由题可知，若存在，使得，则不等式的解集非空，则，解得或，所以实数的取值范围是或；（3）对任意的，关于的不等式在区间上恒成立，等价于对于任意的，不等式在区间上恒成立，令，对称轴，46 由，可知，所以在区间单调递增，，所以只要当时，恒成立即可，即当时，恒成立，所以.所以实数的取值范围是.46 46