2023-2024学年高一联合测评数学试卷（原卷版）

2023-2024学年高一联合测评数学试卷全卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列说法正确的是（）A．若空间两直线没有公共点，则这两条直线异面；B．与两条异面直线都相交的两直线可能是异面直线，也可能是相交直线；C．空间三点确定一个平面；D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直．2．已知向量a=(2,xb),=−−(2,1)，若ab⊥，则x=（）A．1B．−1C．−2D．−43．如图，圆柱形容器内部盛有高度为2cm的水，若放入3个相同的铁球（球的半径与圆柱底面半径相等）后，水恰好淹没最上面的铁球，则一个铁球的表面积为（）A．3πB．4πC．5πD．6π4．温州市的“永嘉昆曲”、“乐清细纹刻纸”、“瑞安东源木活字印刷术”、“泰顺编梁木拱桥营造技艺”四个项目已入选联合国教科文组织非遗名录．某学校计划周末两天分别从四个非遗项目中随机选择两个不同项目 开展研学活动，则周六欣赏“永嘉昆曲”，周日体验“瑞安东源木活字印刷术”的概率为（）1111A．B．C．D．246125．建盏是福建省南平市建阳区的特产，是中国国家地理标志产品，其多是口大底小，底部多为圈足且圈足较浅（如图所示），因此可将建盏看作是圆台与圆柱拼接而成的几何体.现将某建盏的上半部分抽象成圆台OO，已知该圆台的上､下底面积分别为16πcm2和9πcm2，高超过1cm，该圆台上､下底面圆周上的各个122点均在球O的表面上，且球O的表面积为100πcm，则该圆台的体积为（）3259πcm3260πcm33A．80πcmB．C．D．87πcm336．“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》，“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具，今有一块圆形木板，按图中数据，以“矩”量之，然3后将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角α满足cosα=，则这块四5边形木板周长的最大值为（）A．20cmB．203cmC．303cmD．30cm7．已知向量a，b满足a=3，b=−(2,0)，且ab⋅=3，则下列说法错误的是（）333A．a=−,B．ab+=1922πC．向量a，b的夹角是D．ab−=738．折扇深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉棚齐编凤翅长”.折扇平面图为下图的扇形OCD，其中∠=°AOB120，OD=4，OB=1，动点P在弧CD上（含端点），连接OP交扇形OAB的弧AB于点Q，且OP=xOC+yOD，则下列说法错误的是（） A．若yx=，则xy+=2B．ABPQ⋅>−523C．PAPB⋅≥D．若yx=3，则OAOP⋅=02二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知样本数据xxx123,,的平均数为2，方差为1，则下列说法正确的是（）A．数据31x1−，31x2−，31x3−的平均数为6B．数据31x1−，31x2−，31x3−的方差为9C．数据xxx123,,,2的方差为1223D．数据xxx,,的平均数为512310．已知复数zab=+i，下列说法正确的是（）A．若z为纯虚数，则ab+=01i+2B．若z是的共轭复数，则ab+=−13i−5C．若z=+−(1i13i)()，则ab+=2D．若z−=i1，则z取最大值时，ab+=211．已知等腰直角ABC的斜边AB=4,D是斜边AB上的一点，且满足CD=2，若将ACD沿着CD翻折到△ACD′位置，得到三棱锥A′−BCD，则（）A．CD⊥AB′4B．当AD′⊥BD时，三棱锥B−ACD′的体积为3πC．当AB′=23时，二面角A′−−CDB的大小为32πD．当∠=ADB′时，三棱锥A′−BCD的外接球的表面积为20π3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．古希腊数学家托勒密于公元150年在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理：圆的内接凸四边形 的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知平面凸四边形ABCD外接圆半径为1，2ACsin∠∠∠ABD:sinADB:sinBAD=3:5:7．则（1）BD=；（2）的最小值为．BCCD⋅13．已知海岛B在海岛A的北偏东75°的方向上，且两岛的直线距离为30nmile.一艘海盗船以30nmile/h的速度沿着北偏东15°方向从海岛B出发，同时海警船以303nmile/h的速度从海岛A进行追赶，经过t小时后两船相遇，则海警船的航行方向是北偏东.14．在三棱锥P−ABC中，已知ABC是边长为2的正三角形，且PA=PB.若PAB和ABC的面积之积5为3，且二面角PABC的余弦值为，则该三棱锥外接球的表面积为.5四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题13分）已知a=(1,1)，b=1，a与b的夹角为45°.(1)求23ab−；(2)若向量(2ab−λ)与(λab−3)的夹角为钝角，求实数λ的取值范围.16.（本小题15分）π已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2sinbA+−=2ac．6(1)求B；(2)若∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=2，a=3，求ABC的面积．17.（本小题15分）袋中装有质地均匀、大小相同的红球和白球共10个．现进行摸球游戏．21(1)若采取有放回的方式从袋中每次摸出1个球，共摸球两次，至少有一次摸出白球的概率是．求袋中25红球的个数；(2)已知袋中有红球5个，从袋中每次摸出1个球，若是红球则放回袋中，若是白球则不放回袋中，求摸球三次共取出两个白球的概率；(3)若采取不放回的方式从袋中每次摸出1个球，若连续两次摸到红球则停止摸球，否则继续摸球直至第六次摸球后结束．若第三次摸球后停止摸球的概率大于第五次摸球后停止摸球的概率，求袋中红球个数的所有可能取值． 18.（本小题17分）近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行的营销形式．某直播平台1200个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图所示．(1)该直播平台为了更好地服务买卖双方，打算随机抽取60个直播商家进行问询交流．如果按照比例分层抽样的方式抽取，则应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？(2)在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对（1）中抽取的60个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率分布直方图如右图所示，请根据频率分布直方图计算下面的问题：①估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（结果保留一位小数，求平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；②若将平均日利润超过430元的商家评为“优秀商家”，估计该直播平台“优秀商家”的个数．19.（本小题17分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马P−ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD=2，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE. (1)证明：DE⊥平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖臑.若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；π(2)设H点是AD的中点，若面EDB与面ABCD所成二面角的大小为，求四棱锥E−HBD的外接球的表3面积.