初中数学知识总结专题12 二次函数（教师版）

专题12二次函数专题知识回顾1．二次函数的概念：一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。抛物线叫做二次函数的一般式。2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与性质yxO（1）对称轴：（2）顶点坐标：（3）与y轴交点坐标（0，c）（4）增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小。3.二次函数的解析式三种形式。（1）一般式y=ax2+bx+c(a≠0).已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.（2）顶点式已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。（3）交点式14,已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式。4．根据图像判断a,b,c的符号（1）a确定开口方向：当a>0时，抛物线的开口向上；当a<0时，抛物线的开口向下。（2）b——对称轴与a左同右异。（3）抛物线与y轴交点坐标（0，c）5．二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根。抛物线y=ax2+bx+c，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax2+bx+c=0>0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x轴有两个交点；=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x轴有一个交点；<0时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与x轴没有交点。6．函数平移规律：左加右减、上加下减.图像平移步骤（1）配方为：，确定顶点（h,k）（2）对x轴，左加右减；对y轴，上加下减。7.二次函数的对称性二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为x1,x2其对应的纵坐标相等，那么对称轴专题典型题考法及解析【例题1】（2019湖北荆州）二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5的最大值是　　．【答案】7【解析】y＝﹣2x2﹣4x+5＝﹣2（x+1）2+7，即二次函数y＝﹣x2﹣4x+5的最大值是7，故答案为：7．【例题2】（2019广西贺州）已知抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图所示，下列说法中：①；②；③；④当时，，正确的是　　（填写序号）．14,【答案】①③④【解析】根据图象可得：，，对称轴：，，，，，故①正确；把代入函数关系式中得：，由抛物线的对称轴是直线，且过点，可得当时，，，故②错误；，，即：，故③正确；由图形可以直接看出④正确．故答案为：①③④．【例题3】（2019贵州省毕节市）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种士特产每袋成本10元．试销阶段每袋的销售价x（元）与该士特产的日销售量y（袋）之间的关系如表：x（元）152030…y（袋）252010…若日销售量y是销售价x的一次函数，试求：（1）日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式；14,（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元【答案】见解析。【解析】根据表格中的数据，利用待定系数法，求出日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式即可；利用每件利润×总销量＝总利润，进而求出二次函数最值即可．（1）依题意，根据表格的数据，设日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为y＝kx+b得，解得故日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为：y＝﹣x+40（2）依题意，设利润为w元，得w＝（x﹣10）（﹣x+40）＝﹣x2+50x+400整理得w＝﹣（x﹣25）2+225∵﹣1＜0∴当x＝2时，w取得最大值，最大值为225故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元．专题典型训练题一、选择题1.（2019广西河池）如图，抛物线的对称轴为直线，则下列结论中，错误的是　　A．B．C．D．【答案】．【解析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．.由抛物线的开口向下知，与轴的交点在轴的正半轴上，可得，因此14,，故本选项正确，不符合题意；.由抛物线与轴有两个交点，可得，故本选项正确，不符合题意；.由对称轴为，得，即，故本选项错误，符合题意；.由对称轴为及抛物线过，可得抛物线与轴的另外一个交点是，所以，故本选项正确，不符合题意．故选：．2.（2019哈尔滨）将抛物线向上平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度,所得到的抛物线为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为y＝2（x﹣2）2+3，故选B．3.（2019湖北咸宁）已知点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m﹣n）（n＞0）在同一个函数的图象上，这个函数可能是（　　）A．y＝xB．y=-2xC．y＝x2D．y＝﹣x2【答案】D【解析】∵A（﹣1，m），B（1，m），∴点A与点B关于y轴对称；由于y＝x，y=-2x的图象关于原点对称，因此选项A、B错误；∵n＞0，∴m﹣n＜m；由B（1，m），C（2，m﹣n）可知，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，对于二次函数只有a＜0时，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，∴D选项正确。4.（2019年陕西省）已知抛物线，当时，，且当时，y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围是（）．A．B．C．D．14,【答案】C【解析】根据“当时，”，得到一个关于m不等式，在根据抛物线，可知抛物线开口向上，再在根据“当时，y的值随x值的增大而减小”，可知抛物线的对称轴在直线的右侧或者是直线，从而列出第二个关于m的不等式，两个不等式联立，即可解得答案．因为抛物线，所以抛物线开口向上．因为当时，，所以①，因为当时，y的值随x值的增大而减小，所以可知抛物线的对称轴在直线的右侧或者是直线，所以②，联立不等式①，②，解得．5.（2019广西梧州）已知，关于的一元二次方程的解为，，则下列结论正确的是　　A．B．C．D．【答案】A【解析】关于的一元二次方程的解为，，可以看作二次函数与轴交点的横坐标，二次函数与轴交点坐标为，，如图：当时，就是抛物线位于轴上方的部分，此时，或；又，；，故选：A．14,6.（2019四川泸州）已知二次函数y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣3a+7（其中x是自变量）的图象与x轴没有公共点，且当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（　　）A．a＜2B．a＞﹣1C．﹣1＜a≤2D．﹣1≤a＜2【答案】D【解析】y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣3a+7＝x2﹣2ax+a2﹣3a+6，∵抛物线与x轴没有公共点，∴△＝（﹣2a）2﹣4（a2﹣3a+6）＜0，解得a＜2，∵抛物线的对称轴为直线x=--2a2=a，抛物线开口向上，而当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，∴a≥﹣1，∴实数a的取值范围是﹣1≤a＜2．7.（2019四川省雅安市）在平面直角坐标系中，对于二次函数y=(x-2)2+1，下列说法中错误的是（）A．y的最小值为1B．图像顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x=2C．当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小D．它的图像可以由y=x2的图像向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到【答案】C【解析】根据二次函数的性质进行判断，由二次函数y=(x-2)2+1，得它的顶点是（2，1），对称轴为直线x=2，当x=2时，函数的最小值是1，图像开口向上，当x≥2时，y的值随x值的增大而增大，当x＜2时，y的值随x值的增大而减小，可由y=x2的图像向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，所以C是错误的，故选C．二、填空题8.（2019黑龙江哈尔滨）二次函数的最大值是．14,【答案】8【解析】∵a＝﹣1＜0，∴y有最大值，当x＝6时，y有最大值8．故答案为8．9.(2019黑龙江大庆)如图抛物线y＝(p>0),点F(0,p),直线l:y＝－p,已知抛物线上的点到点F的距离与到直线l的距离相等,过点F的直线与抛物线交于A,B两点,AA1⊥l,BB1⊥l,垂足分别为A1,B1,连接A1F,B1F,A1O,B1O,若A1F＝a,B1F＝b,则△A1OB1的面积＝______(只用a,b表示).【答案】【解析】先由边相等得到∠A1FB1＝90°,进而得到A1B1的长度,由等面积法得到点F到A1B1的距离,进而得到△A1OB1的高,求出三角形面积.设∠A＝x,则∠B＝180°－x,由题可知,AA1＝AF,BB1＝BF,所以∠AFA1＝,∠BFB1＝,所以∠A1FB1＝90°,所以△A1FB1是直角三角形,A1B1＝,所以点F到A1B1的距离为,因为点F(0,p),直线l:y＝－p,△A1OB1的高为,所以△A1OB1的面积＝··＝10.（2019江苏镇江）已知抛物线y＝ax2＋4ax＋4a＋1（a≠0）过点A(m，3)，B(n，3)两点，若线段AB的长不大于4，则代数式a2＋a＋1的最小值是．【答案】．【解析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是根据线段AB的长不大于4，求出a的取值范围，再利用二次函数的增减性求代数式a2＋a＋1的最小值．∵y＝ax2＋4ax＋4a＋1＝a(x＋2)2＋1，∴该抛物线的顶点坐标为(－2，1)，对称轴为直线x＝－2．14,∵抛物线过点A(m，3)，B(n，3)两点，∴当y＝3时，a(x＋2)2＋1＝3，(x＋2)2＝，当a＞0时，x＝－2±．∴A(－2－，3)，B(－2＋，3)．∴AB＝2．∵线段AB的长不大于4，∴2≤4．∴a≥．∵a2＋a＋1＝(a＋)2＋，∴当a＝，(a2＋a＋1)min＝(a＋)2＋＝．11.（2019江苏镇江）已知抛物线过点，两点，若线段的长不大于4，则代数式的最小值是　　．【答案】【解析】抛物线过点，两点，线段的长不大于4，的最小值为：；故答案为．12.（2019内蒙古赤峰）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＞0；②a﹣b+c＝0；③一元二次方程ax2+bx+c+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；④当x＜﹣1或x＞3时，y＞0．上述结论中正确的是　　．（填上所有正确结论的序号）14,【答案】②③④【解析】由图可知，对称轴x＝1，与x轴的一个交点为（3，0），∴b＝﹣2a，与x轴另一个交点（﹣1，0），①∵a＞0，∴b＜0；∴①错误；②当x＝﹣1时，y＝0，∴a﹣b+c＝0；②正确；③一元二次方程ax2+bx+c+1＝0可以看作函数y＝ax2+bx+c与y＝﹣1的交点，由图象可知函数y＝ax2+bx+c与y＝﹣1有两个不同的交点，∴一元二次方程ax2+bx+c+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；∴③正确；④由图象可知，y＞0时，x＜﹣1或x＞3∴④正确；故答案为②③④．三、解答题13.（2019北京市）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）求点B的坐标（用含的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点，．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求14,的取值范围．【答案】见解析。【解析】先求出A点的坐标为，由平移规律求得点B的坐标；由A、B两点的纵坐标相同，得A、B为对称点进而求出抛物线对称轴方程；根据a的符号分类讨论分析解答即可.（1）∵当x=0时，抛物线；∴抛物线与y轴交点A点的坐标为，∴由点A向右平移2个单位长度得点B的坐标为；即.（2）∵由A、B两点的纵坐标相同，得A、B为对称点.∴抛物线对称轴方程为；即直线.（3）①当时，.分析图象可得，根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A和点P；也不可能同时经过点B和点Q，所以线段PQ和抛物线没有交点.②当时，.分析图象可得，根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A和点P；但当点Q在点B上方或与点B重合时，抛物线与线段PQ恰好有一个公共点，此时，即.综上所述：当时，抛物线与线段PQ恰好有一个公共点.14.（2019辽宁本溪）工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本16元，工厂将该产品进行网络批发，批发单价y（元）与一次性批发量x（件）（x为正整数）之间满足如图所示的函数关系.（1）直接写出y与x之间所满足的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若一次性批发量不超过60件，当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？【答案】见解析。【解析】本题主要考查一次函数和二次函数的应用.14,认真观察图象，分别写出该定义域下的函数关系式，定义域取值全部是整数；根据利润=（售价-成本）×件数，列出利润的表达式，求出最值．（1）当0＜x≤20且x为整数时，y=40；当20＜x≤60且x为整数时，y=-x+50；当x＞60且x为整数时，y=20；（2）设所获利润w（元），当0＜x≤20且x为整数时，y=40，∴w=(40-16)×20=480元，当0＜x≤20且x为整数时，y=40，∴当20＜x≤60且x为整数时，y=-x+50，∴w=(y-16)x=(-x+50-16)x，∴w=-x2+34x，∴w=-（x-34）2+578，∵-＜0，∴当x=34时，w最大，最大值为578元．答：一次批发34件时所获利润最大，最大利润是578元．15．（2019•湘潭）湘潭政府工作报告中强调，2019年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店A、B两种湘莲礼盒一个月的销售情况，A种湘莲礼盒进价72元/盒，售价120元/盒，B种湘莲礼盒进价40元/盒，售价80元/盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元，平均每天的总利润为1280元．（1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？（2）小亮调査发现，A种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒．若B种湘莲礼盒的售价和销量不变，当A种湘莲礼盒降价多少元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？【答案】见解析。【解析】根据题意，可设平均每天销售A礼盒x盒，B种礼盒为y盒，列二元一次方程组即可解题；根据题意，可设A种礼盒降价m元/盒，则A种礼盒的销售量为：（10+）盒，再列出关系式即可．（1）根据题意，可设平均每天销售A礼盒x盒，B种礼盒为y盒，14,则有，解得故该店平均每天销售A礼盒10盒，B种礼盒为20盒．（2）设A种湘莲礼盒降价m元/盒，利润为W元，依题意总利润W＝（120﹣m﹣72）（10+）+800化简得W＝m2+6m+1280＝﹣（m﹣9）2+1307∵a＝＜0∴当m＝9时，取得最大值为1307，故当A种湘莲礼盒降价9元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是1307元．16.（2019广西省贵港市）如图，已知抛物线的顶点为，与轴相交于点，对称轴为直线，点是线段的中点．（1）求抛物线的表达式；（2）写出点的坐标并求直线的表达式；（3）设动点，分别在抛物线和对称轴上，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求，两点的坐标．【答案】见解析。【解析】函数表达式为：，将点坐标代入上式，即可求解；、，则点，设直线的表达式为：，将点坐标代入上式，即可求解；分当是平行四边形的一条边、是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．（1）函数表达式为：，将点坐标代入上式并解得：，14,故抛物线的表达式为：；（2）、，则点，设直线的表达式为：，将点坐标代入上式得：，解得：，故直线的表达式为：；（3）设点、点，①当是平行四边形的一条边时，点向左平移2个单位、向下平移4个单位得到，同样点向左平移2个单位、向下平移4个单位得到，即：，，解得：，，故点、的坐标分别为、；②当是平行四边形的对角线时，由中点定理得：，，解得：，，故点、的坐标分别为、；故点、的坐标分别为或、或．14