初中数学知识总结专题08 分式方程及其应用（教师版）

专题08分式方程及其应用专题知识回顾1．分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.2．解分式方程的一般方法:解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。（1）去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);（2）按解整式方程的步骤求出未知数的值;（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，原分式方程无解；若不等于零，就是原方程的根。专题典型题考法及解析【例题1】（2019•湖北孝感）方程＝的解为　　．【答案】x＝1．【解析】解一个分式方程时，可按照“一去（去分母）、二解（解整式方程）、三检验（检查求出的根是否是增根）”的步骤求出方程的解即可．注意：解分式方程时，最后一步的验根很关键．观察可得方程最简公分母为2x（x+3）．去分母，转化为整式方程求解．结果要检验．两边同时乘2x（x+3），得x+3＝4x，解得x＝1．经检验x＝1是原分式方程的根．【例题2】（2019黑龙东地区）已知关于x的分式方程的解是非正数，则m的取值范围是（）A．m≤3B．m＜3C．m＞－3D．m≥－3【答案】A【解析】知识点是分式方程的增根。由得x=m-3，∵方程的解是非正数，11,∴m-3≤0，∴m≤3.当x-3=0即x=3时，3=m-3，m=6，∵m=6不在m≤3内，∴m≤3.故选A.【例题3】（2019•广东省广州市）甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是（　　）A．＝B．＝C．＝D．＝【答案】【解析】设甲每小时做x个零件，根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等得出方程解答即可．设甲每小时做x个零件，可得：【例题4】（2019•四川自贡）解方程：﹣＝1．【答案】x＝2．【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．去分母得：x2﹣2x+2＝x2﹣x，解得：x＝2，检验：当x＝2时，方程左右两边相等，所以x＝2是原方程的解．【例题5】（2019•江苏扬州）“绿水青山就是金山银山”，为了进一步优化河道环境，甲乙两工程队承担河道整治任务，甲、乙两个工程队每天共整治河道1500米，甲工程队整治3600米所用的时间与乙工程队整治2400米所用时间相等。甲工程队每天整治河道多少米？【答案】甲工程队每天整治河道900米.【解析】解设甲工程队每天整治河道xm，则乙工程队每天整治（1500-x）m由题意得：＝，解得：x=900经检验的x=900是该方程的解。11,专题典型训练题一、选择题1.（2019▪黑龙江哈尔滨）方程＝的解为（　　）A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝【答案】C【解析】本题考查解分式方程；熟练掌握分式方程的解法及验根是解题的关键．将分式方程化为，即可求解x＝；同时要进行验根即可求解。＝，，∴2x＝9x﹣3，∴x＝；将检验x＝是方程的根，∴方程的解为x＝2.（2019山东淄博）解分式方程＝﹣2时，去分母变形正确的是（　　）A．﹣1+x＝﹣1﹣2（x﹣2）B．1﹣x＝1﹣2（x﹣2）C．﹣1+x＝1+2（2﹣x）D．1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2）【答案】D【解析】分式方程去分母转化为整式方程，即可得到结果．去分母得：1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2）3.（2019•广西贵港）若分式的值等于0，则x的值为（　　）A．±1B．0C．﹣1D．1【答案】D【解析】化简分式＝＝x﹣1＝0即可求解。11,＝＝x﹣1＝0，∴x＝1；经检验：x＝1是原分式方程的解。4.（2019辽宁本溪）为推进垃圾分类，推动绿色发展，某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类.用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为140万元.若设甲型机器人每台x万元，根据题意，所列方程正确的是A.B.C.D.【答案】A.【解析】本题考查了分式方程的应用，设甲种型号机器人每台的价格是x万元，根据“用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同”，列出关于x的分式方程．设甲型机器人每台x万元，根据题意，可得：5.（2019•湖北十堰）十堰即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成．现还有6000米的钢轨需要铺设，为确保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设20米，就能提前15天完成任务．设原计划每天铺设钢轨x米，则根据题意所列的方程是（　　）A．﹣＝15B．﹣＝15C．﹣＝20D．﹣＝20【答案】A【解析】考查由实际问题抽象出分式方程，关键是设出未知数以时间为等量关系列出方程．设原计划每天铺设钢轨x米，根据如果实际施工时每天比原计划多铺设20米，就能提前15天完成任务可列方程．设原计划每天铺设钢轨x米，可得：6.（2019•山东省济宁市）世界文化遗产“三孔”景区已经完成5G基站布设，“孔夫子家”自此有了5G网络．5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G网络比4G网络快45秒，求这两种网络的峰值速率．设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，依题意，可列方程是（　　）A．﹣＝45B．﹣＝4511,C．﹣＝45D．﹣＝45【答案】A【解析】由实际问题抽象出分式方程直接利用5G网络比4G网络快45秒得出等式进而得出答案．设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，依题意，可列方程是：﹣＝45．7.（2019•江苏苏州）小明5元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本（两人的钱恰好用完），已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本，设软面笔记本每本售价为元，根据题意可列出的方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】考察分式方程的应用，简单题型。找到等量关系为两人买的笔记本数量二、填空题8.（2019•甘肃）分式方程＝的解为　　．【答案】x＝【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．去分母得：3x+6＝5x+5，解得：x＝，经检验x＝是分式方程的解．9.（2019•山东省滨州市）方程+1＝的解是　　．【答案】x＝1．【解析】本题考查了解分式方程．（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，（2）解分式方程一定注意要验根．去分母，得x﹣3+x﹣2＝﹣3，移项、合并，得2x＝2，11,解得x＝1，检验：当x＝1时，x﹣2≠0，所以，原方程的解为x＝110.（2019•山东省德州市）方程﹣＝1的解为　　．【答案】x＝﹣4【解析】根据分式方程的解法，先将式子通分化简为＝1，最后验证根的情况，进而求解。﹣＝1，＝1，＝1，＝1，x+1＝﹣3，x＝﹣4，经检验x＝﹣4是原方程的根。11.（2019▪湖北黄石）分式方程：﹣＝1的解为　　．【答案】x＝﹣1【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．去分母得：4﹣x＝x2﹣4x，即x2﹣3x﹣4＝0，解得：x＝4或x＝﹣1，经检验x＝4是增根，分式方程的解为x＝﹣112.（2019四川巴中）若关于x的分式方程+＝2m有增根，则m的值为　　．【答案】1【解析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣2＝0，得到x＝2，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．方程两边都乘x﹣2，得x﹣2m＝2m（x﹣2）∵原方程有增根，11,∴最简公分母x﹣2＝0，解得x＝2，当x＝2时，m＝1故m的值是113.（2019•江苏宿迁）关于x的分式方程+＝1的解为正数，则a的取值范围是　　．【答案】a＜5且a≠3．【解析】直接解分式方程，进而利用分式方程的解是正数得出a的取值范围，进而结合分式方程有意义的条件分析得出答案．去分母得：1﹣a+2＝x﹣2，解得：x＝5﹣a，5﹣a＞0，解得：a＜5，当x＝5﹣a＝2时，a＝3不合题意，故a＜5且a≠3．14.（2019•贵州省安顺市）某生态示范园计划种植一批蜂糖李，原计划总产量达36万千克，为了满足市场需求，现决定改良蜂糖李品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万千克，种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克？设原计划平均亩产量为x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万千克，根据题意列方程为　　．【答案】﹣＝20．【解析】设原计划平均亩产量为x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万千克，依题意，得：﹣＝20．故答案为：﹣＝20．15.(2019黑龙江绥化)甲乙两辆汽车同时从A地出发,开往相距200km的B地,甲,乙两车的速度之比是4:5,结果乙车比甲车早30分钟到达B地,则甲车速度为______km/h.【答案】80【解析】分式方程的应用。设甲车速度为4x,乙车速度为5x,根据题意得:,11,解之,得x＝20,∴甲车速度为4x＝80.三、解答题16.（2019广西梧州）解方程：．【答案】是分式方程的解．【解析】直接利用分式方程的解法解方程得出答案．正确去分母、检验是解题关键．方程两边同乘以得：，则，，解得：，，检验：当时，，故不是方程的根，是分式方程的解．17.（2019•湖北天门）解分式方程：＝．【答案】见解析。【解析】去分母化分式方程为整式方程，解之求得x的值，再检验即可得．两边都乘以（x+1）（x﹣1），得：2（x+1）＝5，解得：x＝，检验：当x＝时，（x+1）（x﹣1）＝≠0，∴原分式方程的解为x＝．18.（2019贵州省毕节市）解方程：1－＝．【答案】见解析。【解析】观察可得最简公分母是2（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．去分母得，2x+2﹣（x﹣3）＝6x，∴x+5＝6x，解得，x＝111,经检验：x＝1是原方程的解．19.（2019年陕西省）解分式方程：．【答案】．【解析】去分母，解整式方程，检验根的情况，回答问题．方程两边同乘，得解得检验：当时，，所以是原分式方程的解所以原分式方程的解为．20.(2019黑龙江大庆)某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器,现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同,求该工厂原来平均每天生产多少台机器?【答案】见解析。【解析】由已知列出分式方程,解之可得.设原来每天生产x台机器,则现在每天生产(x+50)台,根据题意得:,解之,得x＝150,经检验,x＝150是原分式方程的解.答:该工厂原来平均每天生产150台机器.21.（2019吉林长春）为建国70周年献礼，某灯具厂计划加工9000套彩灯，为尽快完成任务，实际每天加工彩灯的数量是原计划的1.2倍，结果提前5天完成任务。求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量.【答案】300套．【解析】该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为x套，则实际每天加工彩灯的数量为1.2x套，由题意得：，解得：x=300，经检验，x=300是原方程的解，且符合题意。11,22.（2019•湖南衡阳）某商店购进A、B两种商品，购买1个A商品比购买1个B商品多花10元，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等．（1）求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元；（2）商店准备购买A、B两种商品共80个，若A商品的数量不少于B商品数量的4倍，并且购买A、B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？【答案】见解析。【解析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．（1）设购买一个B商品需要x元，则购买一个A商品需要（x+10）元，依题意，得：＝，解得：x＝5，经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意，∴x+10＝15．答：购买一个A商品需要15元，购买一个B商品需要5元．（2）设购买B商品m个，则购买A商品（80﹣m）个，依题意，得：，解得：15≤m≤16．∵m为整数，∴m＝15或16．∴商店有2种购买方案，方案①：购进A商品65个、B商品15个；方案②：购进A商品64个、B商品16个．23.（2019湖南湘西）列方程解应用题：某列车平均提速80km/h，用相同的时间，该列车提速前行驶300km，提速后比提速前多行驶200km，求该列车提速前的平均速度．【答案】该列车提速前的平均速度为120km/h．【解析】设该列车提速前的平均速度为xkm/h，则提速后的平均速度为（x+80）km/h，根据时间＝路程÷速度结合提速前行驶300km和提速后行驶500km（300+200）所用时间相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．设该列车提速前的平均速度为xkm/h，则提速后的平均速度为（x+80）km/h，11,依题意，得：300x=300+200x+80，解得：x＝120，经检验，x＝120是原方程的解，且符合题意．11